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2018版高中数学人教B版选修1-1学案:第二单元 2.1.2 椭圆的几何性质(一) Word版含答案


2.1.2 学习目标 椭圆的几何性质(一) 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质,并正确地画出它的图形.2.根据几何条件 求出曲线方程,并利用曲线的方程研究它的性质、图形. 知识点一 椭圆的简单几何性质 x2 y2 y2 x2 已知两椭圆 C1、C2 的标准方程:C1: + =1,C2: + =1. 25 16 25 16 思考 1 怎样求 C1、C2 与两坐标轴的交点?交点坐标是什么? 思考 2 椭圆具有对称性吗? 思考 3 椭圆方程中 x,y 的取值范围分别是什么? 梳理 x2 y2 + =1(a>b>0) a2 b2 y2 x2 + =1(a>b>0) a2 b2 标准方程 图形 焦点 性质 焦距 |F1F2|=2c (c= a2-b2) |F1F2|=2c (c= a2-b2) 范围 对称性 顶点 轴 知识点二 椭圆的离心率 思考 观察不同的椭圆可见它们的扁平程度不一样,哪些量影响其扁平程度?怎样刻画? 长轴长________,短轴长________ 关于________________对称 c 梳理 (1)定义:椭圆的焦距与长轴长的比 e= ,叫做椭圆的____________. a (2)性质:离心率 e 的取值范围是________,当 e 越接近于 1,椭圆越________,当 e 越接近于 ________,椭圆就越接近于圆. 类型一 椭圆的几何性质 例 1 求椭圆 9x2+16y2=144 的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标. 引申探究 已知椭圆方程为 4x2+9y2=36,求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率. 反思与感悟 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式,然后根据方程判断出椭圆 的焦点在哪个坐标轴上,再利用 a,b,c 之间的关系和定义,求椭圆的基本量. 1 跟踪训练 1 设椭圆方程 mx2+4y2=4m(m>0)的离心率为 , 试求椭圆的长轴长和短轴长、 焦点 2 坐标及顶点坐标. 类型二 求椭圆的离心率 命题角度 1 焦点三角形的性质 x2 y2 例 2 椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两焦点为 F1,F2,以 F1F2 为边作正三角形,若椭圆恰好平分正 a b 三角形的另两条边,则椭圆的离心率为________. 反思与感悟 涉及到焦点三角形注意利用椭圆的定义找到 a 与 c 的关系或利用 e= 解. x2 y2 跟踪训练 2 已知 F1, F2 是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、 右焦点, 过 F1 的直线与椭圆相交于 A, a b B 两点,若∠BAF2=60° ,|AB|=|AF2|,则椭圆的离心率为________. b2 1- 2求 a 命题角度 2 利用 a,c 的齐次式,求椭圆的离心率(或其取值范围) x2 y2 例 3 (1)设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,过 F2 作 x 轴的垂线与 C 相 a b 交于 A,B 两点,F1B 与 y 轴相交于点 D,若 AD⊥F1B,则椭圆 C 的离心率等于________. x2 y2 (2)若椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上存在一点 M,使得∠F1MF2=90° (F1,F2 为椭圆的两个焦点),则 a b 椭圆的离心率 e 的取值范围是________. 反思与感悟 若 a,c 的值不可求,则可根据条件建立 a,b,c 的关系式,借助于 a2=b2+c2, 转化为关于 a,c 的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以 a 的最高次

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