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2018版高中数学人教B版选修1-1学案:第二单元 2.1.2 椭圆的几何性质(一) Word版含答案

2.1.2 学习目标 椭圆的几何性质(一) 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质,并正确地画出它的图形.2.根据几何条件 求出曲线方程,并利用曲线的方程研究它的性质、图形. 知识点一 椭圆的简单几何性质 x2 y2 y2 x2 已知两椭圆 C1、C2 的标准方程:C1: + =1,C2: + =1. 25 16 25 16 思考 1 怎样求 C1、C2 与两坐标轴的交点?交点坐标是什么? 思考 2 椭圆具有对称性吗? 思考 3 椭圆方程中 x,y 的取值范围分别是什么? 梳理 x2 y2 + =1(a>b>0) a2 b2 y2 x2 + =1(a>b>0) a2 b2 标准方程 图形 焦点 性质 焦距 |F1F2|=2c (c= a2-b2) |F1F2|=2c (c= a2-b2) 范围 对称性 顶点 轴 知识点二 椭圆的离心率 思考 观察不同的椭圆可见它们的扁平程度不一样,哪些量影响其扁平程度?怎样刻画? 长轴长________,短轴长________ 关于________________对称 c 梳理 (1)定义:椭圆的焦距与长轴长的比 e= ,叫做椭圆的____________. a (2)性质:离心率 e 的取值范围是________,当 e 越接近于 1,椭圆越________,当 e 越接近于 ________,椭圆就越接近于圆. 类型一 椭圆的几何性质 例 1 求椭圆 9x2+16y2=144 的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标. 引申探究 已知椭圆方程为 4x2+9y2=36,求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率. 反思与感悟 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式,然后根据方程判断出椭圆 的焦点在哪个坐标轴上,再利用 a,b,c 之间的关系和定义,求椭圆的基本量. 1 跟踪训练 1 设椭圆方程 mx2+4y2=4m(m>0)的离心率为 , 试求椭圆的长轴长和短轴长、 焦点 2 坐标及顶点坐标. 类型二 求椭圆的离心率 命题角度 1 焦点三角形的性质 x2 y2 例 2 椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两焦点为 F1,F2,以 F1F2 为边作正三角形,若椭圆恰好平分正 a b 三角形的另两条边,则椭圆的离心率为________. 反思与感悟 涉及到焦点三角形注意利用椭圆的定义找到 a 与 c 的关系或利用 e= 解. x2 y2 跟踪训练 2 已知 F1, F2 是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、 右焦点, 过 F1 的直线与椭圆相交于 A, a b B 两点,若∠BAF2=60° ,|AB|=|AF2|,则椭圆的离心率为________. b2 1- 2求 a 命题角度 2 利用 a,c 的齐次式,求椭圆的离心率(或其取值范围) x2 y2 例 3 (1)设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,过 F2 作 x 轴的垂线与 C 相 a b 交于 A,B 两点,F1B 与 y 轴相交于点 D,若 AD⊥F1B,则椭圆 C 的离心率等于________. x2 y2 (2)若椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上存在一点 M,使得∠F1MF2=90° (F1,F2 为椭圆的两个焦点),则 a b 椭圆的离心率 e 的取值范围是________. 反思与感悟 若 a,c 的值不可求,则可根据条件建立 a,b,c 的关系式,借助于 a2=b2+c2, 转化为关于 a,c 的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以 a 的最高次幂,得到关 于 e 的方程或不等式,即可求得 e 的值或取值范围. x2 y2 跟踪训练 3 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左顶点为 A,左焦点为 F,上顶点为 B,且∠BAO+ a b ∠BFO=90° (O 为坐标原点),则椭圆的离心率 e=________. 类型三 利用几何性质求椭圆的标准方程 例 4 (1)椭圆过点(3,0),离心率 e= 6 ,求椭圆的标准方程. 3 (2)已知椭圆的中心在原点, 它在 x 轴上的一个焦点 F 与短轴两个端点 B1, B2 的连线互相垂直, 且这个焦点与较近的长轴的端点 A 的距离为 10- 5,求这个椭圆的方程. 反思与感悟 此类问题应由所给的几何性质充分找出 a, b, c 所应满足的关系式, 进而求出 a, b.在求解时,需注意当焦点所在位置不确定时,应分类讨论. 跟踪训练 4 根据下列条件,求中心在原点,对称轴在坐标轴上的椭圆方程: (1)长轴长是短轴长的 2 倍,且过点(2,-6); (2)焦点在 x 轴上,一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直,且半焦距为 6. 1.已知椭圆的方程为 2x2+3y2=m(m>0),则此椭圆的离心率为( 1 A. 3 C. 2 2 B. 3 3 ) 1 D. 2 ) 2.椭圆 6x2+y2=6 的长轴端点坐标为( A.(-1,0),(1,0) C.(- 6,0),( 6,0) 2 2 B.(-6,0),(6,0) D.(0,- 6),(0, 6) x y 3.设 P(m,n)是椭圆 + =1 上任意一点,则 m 的取值范围是________. 25 9 4.若椭圆的对称轴为坐标轴,且长轴长为 10,有一个焦点坐标是(3,0),则此椭圆的标准方程 为____________. 5.已知椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点是(0,13),另一个顶点是(-10,0),则焦点坐标为 ________. 1.已知椭圆的方程讨论性质时,若不是标准形式,应先化成标准形式. 2.根据椭圆的几何性质,可以求椭圆的标准方程,其基本思路是“先定型,再定量”,常用 的方法是待定系数法.在椭圆的基本量中,能确定类型的量有焦点、顶点,而不能确定类型 的量有长轴长、短轴长、离心率 e、焦距. 3.求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用. 答案精析 问题导学 知

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