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26.2.4二次函数y=a(x-h)^2+k的图象与性质课件_图文

y=a(x-h)2+k 的图象和性质

x ….. y=x2 …… y=x2+1 ……

-2 4

-1 1

0 0
y
8

1 1

2 4

…… ……

5

2

0

2

5

y=x2+1
函数y=x2+1的图象与y=x2的 图象的位置有什么关系? 函数y=x2+1的图 象与y=x2的图象 的形状相同吗?
5

函数y=x2+1的图 象可由y=x2的图 象沿y轴向上平移 1个单位长度得到. 形状相同
-10 -5

6

4

2

y=x2
O
-2

x

10

x y=x2 y=x2-2

….. …… ……

-2 4

-1 1

0 0

1 1

2 4

……

2

-1
y
8

-2

-1

2 ……

函数y=x2-2的图象 可由y=x2的图象 沿y轴向下平移2 个单位长度得到.

函数y=x2-2的图象与y=x2的 图象的位置有什么关系?

6

4

y=x2

2

形状相同
-10 -5

函数y=x2-2的图象 与y=x2的图象的 形状相同吗?
5

O
-2

x

10

y=x2-2

y=ax2+k(a≠0) 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性 极值

a>0 向上 (0 ,k) y轴
当x<0时, y随着x的增大而减小。 当x>0时, y随着x的增大而增大。

a<0 向下 (0 ,k) y轴
当x<0时, y随着x的增大而增大。 当x>0时, y随着x的增大而减小。

x=0时,y最小=k

x=0时,y最大=k

抛物线y=ax2 +k (a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上 下平移得到.

说出平移方式,并指出其顶点与对称轴。 k>0 上移 y=ax2 k<0 下移 左加 y=ax2 右减 y=a(x-h)2 y=ax2+k

1 2 例3.画出函数 y ? ? ( x ? 1) ? 1 的图像.指出它的开口方向、 2 顶点与对称轴、

解:
x

先列表
… -4 -5.5 -3 -2 -1 0 1 2 …

1 y ? ? ( x ? 1) 2 ? 1 … 2

-3 -1.5

-1 -1.5

-3 -5.5 …

再描点

后连线.

解: 先列表
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
1 y ? ? ( x ? 1) 2 ? 1 … 2

-5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 … 直线x=-1
1 y

再描点、连线 (1)抛物线
1 y ? ? ( x ? 1) 2 ? 1 2

的开口方向、对称轴、顶点? 1 2 抛物线 y ? ? ( x ? 1) ? 1 2 的开口向下,

对称轴是直线x=-1,

顶点是(-1, -1).

-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 y ? ? 1 ( x ? 1) 2 ? 1
2

1 (2)抛物线 y ? ? ( x ? 1) 2 ? 1 2 1 y ? ? x2 2

有什么关系?

1

y x

-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 -1 1 2 -2 y ? ? ( x ? 1 ) ?1 平移方法1: 2 -3 -4 1 2向下平移 1 2 y?? x y ? ? x ?1 -5 2 1个单位 2 -6 -7 向左平移 y ? ? 1 ( x ? 1) 2 ? 1 -8 2 1个单位 -9 -10

平移方法2:

x=-1

1 1 2 向左平移 1 2 2 向下平移 y ? ? ( x ? 1 ) ?1 y?? x y ? ? ( x ? 1) 2 2 1个单位 2 1个单位

一般地,抛物线y=a(x-h)2+k 与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线 y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到 抛物线y=a(x-h)2+k.平移的方向、距 离要根据h、k的值来决定.
平移方法: y=ax2向左(右)平移 y=a(x-h)2 向上(下)平y=a(x-h)2+k |h|个单位 移|k|个单位 y=ax2 向上(下)平 y=ax2+k 向左(右)平 y=a(x-h)2+k 移|h|个单位 移|k|个单位

2 抛物线y=a(x-h) +k有如下

特点:

(1)当a>0时, 开口向上; 当a<0时,开口向下; (2)对称轴是直线x=h;
(3)顶点是(h,k).

1.完成下列表格: 二次函数 y=2(x+3)2+5 开口方向 向上 对称轴 顶点坐标

直线x=-3 (-3, 5 ) 直线x=1 ( 1 , -2 )

y=-3(x-1)2-2
y = 4(x-3)2+7

向下
向上 向下

直线x=3
直线x=2

( 3 , 7)
( 2 , -6 )

y=-5(2-x)2-6

2.请回答抛物线y = 4(x-3)2+7由抛物线y=4x2怎 样平移得到? 3.抛物线y =-4(x-3)2+7能够由抛物线y=4x2平移 得到吗?

画出下列函数图象,并说出抛物线的 开口方向、对称轴、顶点,最大值或 最小值各是什么及增减性如何?。

y= 2(x-3)2+3 y= ?2(x+3)2-2 y= ?2(x-2)2-1
y= 3(x+1)2+1

各种形式的二次函数的关系
左 个 右 单 平 位 移

y = a( x - h )2 + k

上 个 下 单 平 位 移

|k|

y = ax2 + k
上下平移

结论: 一般地,抛物线 y = a(x-h)2+k 与y = ax2形状相同,位置不同。

|h|

y = a(x - h )2
左右平移 |h|个单位

|k|个单位

y = ax2

如何平移:
3 y ? ( x ? 1) 2 4

3 2 y ? ( x ? 1) ? 2 4

3 y ? ( x ? 3) 2 ? 3 4

3 y ? ( x ? 5) 2 ? 2 4

例4.要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直 安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水 头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水 平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落 地处离池中心3m,水管应多长?
解:如图建立直角坐标系, 点(1,3)是图中这段抛物线的顶点. 因此可设这段抛物线对应的函数是 y=a(x-1)2+3 (0≤x≤3) ∵这段抛物线经过点(3,0) 0=a(3-1)2+3

y
3 A 2

B(1,3)

3 ∴ 解得: a=- 4 1 因此抛物线的解析式为: 3 2+3 (0≤x≤3) y= -(x - 1) O 4 当x=0时,y=2.25 答:水管长应为2.25m.

1

2

C(3,0) x 3


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