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2017届安徽寿县一中高三上学期月考二数学(文)试卷

2017 届安徽寿县一中高三上学期月考二数学(文)试卷
考试范围:xxx;考试时间:100 分钟;命题人:xxx 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上

1.已知集合 A ? {0,1,3} B ? {x | x ? 3x ? 0} ,则 A ? B ? (
2



A. {0} C. {0,3}

B. {0,1} D. {0,1,3}

2.已知复数 z ? A. ? 1
?

2?i ( i 为虚数单位) ,则复数 z ? ( 1 ? 2i B. 1 C. i D. ? i
? ? ?



3. sin 18 ? sin 78 ? cos162 ? cos78 ? ( A. ?



3 2

B. ?

1 2

C.

3 2

D.

1 2

2 4. “ x ? 2 ”是“ x ? 2 x ? 8 ? 0 ”成立的(



A.必要不充分条件 C.充要条件

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

5. ?ABC 的角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 cos A ? 则a ?( A. 2 ) B.

7 ,c ? a ? 2,b ? 3, 8

5 2

C. 3

D.

7 2

6.已知 {an } 为等差数列, a1 ? a3 ? a5 ? 156, a2 ? a4 ? a6 ? 147 , {an } 的前 n 项和 为 Sn ,则使得 Sn 达到最大值时 n 是( A.19 B.20 C.21 ) D.22

?x ? y ? 3 ? 0 x ? 2y ? 7. 若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? 的最小值为( x ?y ? 1 ?
A.0 B.1 C.2 D.3



8 .如图,在底面边长为 1 ,高为 2 的正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中,点 P 是平面

A1B1C1D1 内一点,则三棱锥 P ? BCD 的正视图与侧视图的面积之和为(



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A.2

B.3

C.4

D.5

9.已知向量 a ? (cos? ,? sin ? ) ,b ? (? cos2? , sin 2? ) , (? ? (?, 2? )) ,若向量 a, b 的夹角为 ? ,则有( A. ? ? ? ) C. ? ? ? ? ? D. ? ? ? ? 2?

B. ? ? ? ? ?

10. 对于使不等式 f ( x) ? M 成立的所有常数 M 中, 我们把 M 的最小值叫做函数 f ( x) 的上确界,若 a, b ? R , a ? b ? 1 ,则 ? A. ?
?

1 2 ? 的上确界为( 2a b



9 2

B.

9 2

C.

1 4
x

D. ? 4

11.直线 x ? t 分别与函数 f ( x) ? e ? 1 的图象及 g ( x) ? 2 x ? 1 的图象相交于 A, B 两 点,则 | AB | 的最小值为( A.2 B.3 ) D. 3 ? 2 ln 2

C. 4 ? 2 ln 2

| x ?1| ? ?5 ? 1, x ? 0 2 12.已知函数 f ( x) ? ? 2 ,则关于 x 的方程 f ( x) ? 5 f ( x) ? 4 ? 0 的 ? ? x ? 4 x ? 4, x ? 0

实数根的个数为( A.2 B.3

) C.6

D.7

13.不等式

1 ? 1 的解集是 x?2

.

14 . 已 知 正 方 形 A B C D 的 边 长 为 1 , AB ? a , BC ? b , AC ? c , 则

| a ? b ? c |?

.

15 . 已 知 正 项 等 比 数 列 {an } 满 足 a10 a11 ? a9 a12 ? 2e5 , 则

ln a1 ? ln a2 ? ? ? ln a20 ?
16.对任意实数 x 均有 e
2x

. .

? (a ? 3)e x ? 4 ? 3a ? 0 ,则实数 a 的取值范围为

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17.已知函数 f ( x) ? 2 cos x(sin x ? cos x) ? 1 . (1)求函数 f ( x) 的最小正周期和单调增区间; (2) ?ABC 中,锐角 A 满足 f ( A) ? 1 , b ?

2 , c ? 3 ,求 a 的值.
?

18.设数列 {an } 满足 a1 ? 2 , an?1 ? 2an ? n ? 1 , n ? N . (1)证明:数列 {an ? n} 为等比数列,并求 {an } 的通项公式; (2)若数列 bn ?

1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . n(an ? 2n?1 ? 1)

2 19.解关于 x 的不等式 ax ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 ( a 为常数且 a ? 0 ).

20.某化工厂近期要生产一批化工试剂,经市场调查得知,生产这批试剂厂家的生产成 本有以下三个部分:①生产 1 单位试剂需要原料费 50 元;②支付所有职工的工资总额 由 7500 元的基本工资和每生产 1 单位试剂补贴所有职工 20 元组成; ③后续保养的平均 费用是每单位 ( x ?

600 ? 30 ) 元(试剂的总产量为 x 单位, 50 ? x ? 200 ). x

(1)把生产每单位试剂的成本表示为 x 的函数关系 P ( x) ,并求 P ( x) 的最小值; (2)如果产品全部卖出,据测算销售额 Q ( x) (元)关于产量 x (单位)的函数关系为

Q ( x) ? 1240 x ?

1 3 x ,试问:当产量为多少时生产这批试剂的利润最高? 30
2

21.已知函数 f ( x) ? x ln x ? ax ? x . (1)当 a ?

1 时,证明: f ( x) 在定义域上为减函数; 2

(2)若 a ? R 时,讨论函数 f ( x) 的零点情况. 22.选修 4-1:几何证明选讲 如图,在 ?ABC 中, CD 是 ?ACB 的角平分线, ?ACD 的外接圆交 BC 于点 E , AB ? 2 AC .

(1)求证: BE ? 2 AD ; (2)当 AC ? 1 , EC ? 2 时,求 AD 的长. 23.选修 4-4:坐标系与参数方程

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已知在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 ? 2 cos? ( ? 为参数) , ? y ? 2 sin ?

在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴非负 半轴为极轴)中,直线 l 的极坐标方程为 ? sin(? ? (1)求曲线 C 在极坐标系中的方程; (2)求直线 l 被曲线 C 截得的弦长. 24.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1 | ? | x | ?2 . (1)解不等式 f ( x) ? 0 ; (2)若存在实数 x ,使得 f ( x) ?| x | ?a ,求实数 a 的取值范围.

?
4

)?2 2.

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参考答案 1.C 【解析】 试题分析:因为 B ? {x | x2 ? 3x ? 0} ? ?0,3? ,所以 A ? B ? ?0,3? ,故选 C. 考点:集合的运算; 2.C 【解析】 试题分析: z ?

2 ? i ? 2 ? i ??1 ? 2i ? 5i ? ? ? i ,故选 C. 1 ? 2i ?1 ? 2i ??1+2i ? 5

考点:复数的运算. 3.D 【解析】 试









sin18? ? sin 78? ? cos162? ? cos 78? ? sin18? ? cos12? ? cos18? sin12? ? sin 30? ?
D. 考点:1.诱导公式;2.两角和与差的三角公式. 4.B. 【解析】

1 ,故选 2

2 2 试题分析: x ? 2 x ? 8 ? 0 ? x ? ?4或x ? 2 ,所以“ x ? 2 ”是“ x ? 2 x ? 8 ? 0 ”成立的

充分不必要条件,故选 B. 考点:1.一元二次不等式解法;2.充分条件与必要条件. 5.A 【解析】 试题分析:由 c ? a ? 2 得 c ? 2 ? a ,所以 cos A ? 之得 a ? 2 ,故选 A. 考点:余弦定理. 6.B 【解析】 试题分析: 由 a1 ? a3 ? a5 ? 156 得 3a3 ? 156 , 即 a3 ? 52 , 由 a2 ? a 4 ? 6 a ? 147 得 3a4 ? 147 , 即 a4 ? 49 , 所 以 d ? a4 ? a3 ? ?3 , an ? a4 ? (n ? 4)d ? 49 ? (n ? 4) ? 3 ? 61 ? 3n , 由

7 b2 ? c 2 ? a 2 9 ? (2 ? a)2 ? a 2 ,解 ? ? 8 2bc 6(2 ? a)

an ? 0 得 n ?

61 ,所以 n 取到的最大值为 20 ,即 Sn 达到最大值时 n 是 20 ,故选 B. 3

考点:1.等差数列的性质;2.等差数列前 n 项和的性质. 7.C 【解析】

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试题分析:在直角坐标系内作出可行域如下图所示,因为 z ?

x ? 2y 2y ? 1? ,所以 z 的几 x x

何意义为可行域内的与坐标原点连线斜率的 2 倍再加 1 ,由图可知,可行域内的与坐标原点 连线斜率的最小值为 kOB ?

1 1 ,所以 zmin ? 2 ? ? 1 ? 2 ,故选 C. 2 2

考点:线性规划. 8.A 【解析】 试题分析: 该三棱锥的正视图的面积为 S1 ?

1 1 ? 1? 2 ? 1 , 侧视图的面积为 S 2 ? ? 1? 2 ? 1 , 2 2

所以其面积之和为 S ? S1 ? S2 ? 2 ,故选 A. 考点:三视图. 9.C 【解析】 试

? ? a ? b ? cos ? cos 2? ? sin ? sin 2? cos ? ? ? ? ? ? ? cos ? ? cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) 1? 1 a?b







: , 又

? ? (?, 2? ) , ? ? ? ? (0,? ) ,所以 ? ? ? ? ? ,故选 C.
考点:1.向量的坐标运算;2.诱导公式. 10.A 【解析】 试 题 分 析 : 由 题 意 可 知 , 函 数 f ( x) 的 上 确 界 为 函 数 f ( x) 的 最 大 值 , 因 为

?

b 2a 1 2 9 ? 1 2? ? 5 b 2a ? ?5 ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ,当且仅当 2a b 2a b 2 ? 2a b ? ? 2 2a b ? ?2 ?

即 b ? 2a 时,所以 ?

1 2 1 2 9 9 ? 的上确界为 ? ,故选 A. ? 的最大值为 ? ,即 ? 2a b 2 2a b 2

考点:1.新定义问题;2.基本不等式. 【名师点睛】本题考查新定义下函数的最值问题与基本不等式相结合的问题,属中档题;对
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于新定义问题,要根据题意将问题进行适当适当转化,转化为熟悉的问题求解,旨在考查学 生的学习新知的能力与转化能力、运算求解能力. 11.C 【解析】
t 试 题 分 析 : 由 题 意 可 知 点 A 、 B 两 点 的 坐 标 为 A(t , e ? 1) , B(t , 2t ? 1) , 所 以

则 h?() () ? e t?2 t ?2 , t ? e AB ? et ?1? 2 t? 1 ? et ? t 2? , 2令 ht

t

在区间 (??,ln 2) ? 2 ,

上, h?(t ) ? 0 , h(t ) 单调递减,在区间 (ln 2, ??) 上, h?(t ) ? 0 , h(t ) 单调递增,所以 C. h(t )min ? h(ln 2)? eln 2 ? 2 ln 2 ? 2? 4 ? 2 ln ,故选 2 考点:导数与函数的单调性、最值. 【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性、最值,属中档题;利用导数求函数的极值与最 值是高考的热点、重点,已知函数求极值时,先求函数的导数 f ?( x ) ,再解方程 f ?( x) ? 0 , 列表检验 f ?( x ) 在 f ?( x) ? 0 的根的附近两侧的符号,可求函数的极值. 12.D 【解析】 试题分析:由 f ( x) ? 5 f ( x) ? 4 ? 0 得 f ( x) ? 1 或 f ( x) ? 4 ,在直角坐标系内作出函数
2

f ( x) 的图象,由图象可知,方程 f ( x) ? 1 有 4 个不同的实根,方程 f ( x) ? 4 有 3 个不同的
实根,所以关于 x 的方程 f ( x) ? 5 f ( x) ? 4 ? 0 的实数根的个数为 7 ,故选 D.
2

考点:函数与方程. 【名师点睛】本题考查函数与方程,属中档题;函数与方程是高考的热点与难点,通常通过 函数的图象、导数等知识求解,函数图象在高中数学不等式问题中的运用,可将函数与方程 问题变得形象直观,把复杂问题变得简单,把抽象问题变得具体,将数的大小问题变成形位 置问题,简化解题步骤. 13. (??, 2) ? [3, ??) . 【解析】

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试题分析:

1 3? x x ?3 1 ?1? ?0? ? 0 ? x ? 2 或 x ? 3 ,即不等式 ? 1 的解 x?2 x?2 x?2 x?2

集是 (??, 2) ? [3, ??) . 考点:不等式的解法. 14. 2 2 【解析】 试题分析: a ? b ? c ? AB ? BC ? AC ? 2 AC ? 2 2 .

? ? ?

??? ? ??? ? ????

????

D

C

A

B

考点:向量的几何运算. 15. 50 【解析】 试题分析: a10a11 ? a9a12 ? 2a10a11 ? 2e5 ,?a10a11 ? e5 , 所以 ln a1 ? ln a2 ? ? ? ln a20 ? ln ? a1a2 ? a20 ? ? ln ? a10 a11 ? ? 10 ln ? a10 a11 ? ? 50 .
10

考点:1.等比数列的性质;2.对数的运算性质. 【名师点睛】本题考查等比数列的性质、对数的运算性质,属中档题;等比数列基本量运算 常见问题有:1.化基本量求通项,即求等比数列的两个基本量 a1 , q ,通项便可求出,或利 用知三求二,用方程求解; 2.化基本量求特定项, 利用等比数列的通项公式或等比数列的性质求解; 3.化基本量求公比, 利用等比数列的定义和性质,建立方程组求解;4.化基本量求和,直接将基本量代入前 n 项 和公式求解. 16. (??, ] 【解析】 试题分析: e
2x

4 3

? (a ? 3)e x ? 4 ? 3a ? 0 ? (e x ? 3)a ? e 2 x ? 3e x ? 4 ? a ?

e2 x ? 3e x ? 4 , ex ? 3
, 令



t ? e ?3
x





e2 x ? 3e x ? 4 t 2 ? 3t ? 4 a? ?a? (t ? 0) ex ? 3 t ?3 3 )

t 2 ? 3t ? 4 4 h(t ? ) ?t? t ? ,( t ?3 t ?3

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? t ? 3? ? 4 , 4 h(t ) ? h(0) ? , 因为 t ? 0 , 所以 h?(t ) ? 0 , 即当 t ? 0 时, h?(t ) ? 1 ? ? 2 2 3 ? t ? 3? ? t ? 3?
4
2

所以 a ?

4 4 ,即数 a 的取值范围 (??, ] . 3 3

考点:1.函数与不等式;2.导数与函数的单调性. 【名师点睛】本题考查函数与不等式、导数与函数的单调性,属难题;导数在不等式应用问 题中是每年高考的必考内容, 解答题中出现较多, 主要考查不等式的证明与不等式恒成立问 题.利用导数解决不等式恒成立问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出 最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的范围,也可分离变量,构造函数,直接 把问题转化为函数的最值问题.本题就是釆用参变分离的方法求解的. 17. (1) f ( x) 的最小正周期为 ? ; 单调增区间为 [k? ? 【解析】 试题分析: (1) 由二倍角公式及两角和与差公式化简函数的解析式得 f ( x) ? 由T ?

?
8

, k? ?

3? ]( k ? Z ) ; (2) a ? 5 . 8 2 sin(2 x ? ) , 4

?

2? ? ? ? ? ? 可求该函数的最小正周期,由 ? ? 2k? ? 2 x ? ? ? 2k? (k ? Z ) 可求 2 4 2 2

函数的单调递增区间; (2)由 f ( A) ? 1先求出角 A ?
2

?

4

,再利用正弦定理即可求 a .

试题解析: (1) f ( x) ? 2 sin x cos x ? 2 cos x ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? ∴函数 f ( x) 的最小正周期为 ? . 由?

2 sin( 2 x ?

?
4

)

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
4

?

?
2

? 2k? (k ? Z ) 得: k? ?

?
8

? x ? k? ?

∴函数 f ( x) 的单调增区间为 [k? ? (2)由题意知 f ( A) ? 又 A 为锐角,∴ 2 A ?
2

?
8

, k? ?

3? ]( k ? Z ) 8

3? (k ? Z ) 8

2 sin( 2 A ?

?

? 2 ) ? 1, sin(2 A ? ) ? , 4 4 2
?
4


?
4

?

?
4

,∴ A ?

由余弦定理得 a ? 2 ? 9 ? 2 ? 2 ? 3 cos

?
4

? 5 ,∴ a ? 5 .

考点:1.三角恒等变换;2.三角函数的图象与性质;3.余弦定理. 【名师点睛】本题考查.三角恒等变换、三角函数的图象与性质、余弦定理,属中档题;利 用同角三角函数基本关系化简的基本方法是切化弦, 角的表示与化为一个角的三角函数是解 本题的关键,熟练掌握公式是解题的基础. 18. (1)证明见解析, an ? 2n?1 ? n ; (2) S n ? 【解析】 试 题 分 析 : ( 1 ) 在 已

n . n ?1
式 两 边 同 减 去



n ?1 得

答案第 5 页,总 10 页

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an?1 ? (n ? 1) ? 2an ? n ? 1 ? (n ? 1) ? 2(an ? n) , 即

an?1 ? (n ? 1) ?2 an ? n

,再求出首项

a1 ? 1 ? 1 即可证明该数列为等比数列,由等比数列的通项公式先求出数列 {an ? n} 的通项
公式,即可求数列 {an } 的通项公式; ( 2 )将数列 {an } 的通项公式代入 bn 的表达式得

bn ?

1 1 1 1 ,代入 Sn 即可. ? ? ? n?1 n(an ? 2 ? 1) n(n ? 1) n n ? 1

试题解析: ( 1 ) 证 明 : 由 已 知 得 an?1 ? (n ? 1) ? 2an ? n ? 1 ? (n ? 1) ? 2(an ? n) , 即

an?1 ? (n ? 1) ?2, an ? n
∴数列 {an ? n} 为等比数列, 公比为 2, 首项为 a1 ? 1 ? 1 , ∴ an ? n ? 2n?1 , ∴ an ? 2n?1 ? n . (2)解: bn ? ∴ Sn ? 1 ?

1 1 1 1 , ? ? ? n?1 n(an ? 2 ? 1) n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 1 1 n ? ? ??? ? ?1? ? . 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1 1 a 1 a

考点:等比数列的定义与性质;2.裂项相消法求和. 19.a ? 0 时不等式的解集为 ( ,1) ; 0 ? a ? 1 时不等式的解集为 (?? ,1) ? ( ,?? ) ;a ? 1 时不等式的解集为 (??,1) ? (1,??) ; a ? 1 时不等式的解集为 (?? , ) ? (1,?? ) . 若 a ? 1, 0 ? 【解析】 试题分析: ax ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 ? a( x ? )( x ? 1) ? 0 ,先讨论 a ? 0 时不等式的解集;当
2

1 a

1 1 ? 1 ,不等式的解集为 (?? , ) ? (1,?? ) a a 1 a

1 的大小,即分 0 ? a ? 1 , a ? 1 , a ? 1 分别写出不等式的解集即可. a 1 试题解析:原不等式可化为 a ( x ? )( x ? 1) ? 0 a 1 (1) a ? 0 时,不等式的解集为 ( ,1) ; a 1 1 (2) a ? 0 时,若 0 ? a ? 1 , ? 1 ,不等式的解集为 (?? ,1) ? ( ,?? ) ; a a
a ? 0 时,讨论 1 与
若 a ? 1 ,不等式的解集为 (??,1) ? (1,??) ; 若 a ? 1, 0 ?

1 1 ? 1 ,不等式的解集为 (?? , ) ? (1,?? ) ; a a
答案第 6 页,总 10 页

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考点:1.一元二次不等式的解法;2.含参不等式的解法. 20. (1) P ( x) ? x ? 批试剂的利润最高. 【解析】 试题分析: (1) P ( x) ?

8100 ? 40 , P( x) 的最小值为 220 元; (2)产量为 100 单位时生产这 x

总成本 ,只要计算出总成本代入即可求出 P ( x) 的解析式;由基本 x

不等式可求出譔函数的最小值; ( 2 ) 由 利 润 ? 销 售 额 Q( x) 减 去 成 本 可 得

L( x) ? 1240 x ?

1 3 x ? ( x 2 ? 40 x ? 8100) ,求其导数,由导数与极值关系可求出利润的最 30

大値及相应的产量 x . 试题解析: (1) P( x) ? [50 x ? 7500 ? 20 x ? x( x ?

600 8100 ? 30)] ? x ? x ? ? 40 x x

∵ 50 ? x ? 200 ,∴ x ? 90 时, P ( x) 的最小值为 220 元. (2)生产这批试剂的利润 L( x) ? 1240 x ?

1 3 x ? ( x 2 ? 40 x ? 8100 ) , 30

∴ L' ( x) ? 1200 ?

1 2 1 x ? 2 x ? ? ( x ? 120 )( x ? 100 ) , 10 10

∴ 50 ? x ? 100 时, L' ( x) ? 0 ; 100 ? x ? 200 时, L' ( x) ? 0 ; ∴ x ? 100 时,函数取得极大值,也是最大值,即产量为 100 单位时生产这批试剂的利润最 高. 考点:1.函数建模问题;2.基本不等式;3.导数与函数的单调性、极值、最值. 21. (1)见解析; (2)当 a ? 有一个零点;当 0 ? a ? 【解析】 试题分析: ( 1 )先求函数 f ( x) 的定义域,再求函数 f ( x) 的导数 f '( x) ? ln x ? x ,令令

1 1 时,函数 f ( x) 没有零点; 当 a ? 2 或 a ? 0 时,函数 f ( x) 2 e e

1 时,函数 f ( x) 有两个零点. e2

1? x , 由此可得 g ( x) max ? g (1) ? ?1, 即即 g ( x) ? ln x ? x ? 0 , x ln x ? 1 2 f ' ( x) ? 0 , 可 证 结 论 成 立 ; ( 2 ) x ln x ? ax ? x ? 0 ? a ? ,构造函数 x 2 ? ln x ln x ? 1 h( x ) ? ,求函数 h( x) 的导数 h '( x ) ? ,由导数研究函数的单调性,画出函 x x2

g ( x) ? ln x ? x , 则 g(' )x ?

数的图象,数形结合零点情况. 试题解析: (1)由题意可知函数 f ( x) 的定义域为 (0,??)
答案第 7 页,总 10 页

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f ' ( x) ? ln x ? 1 ? x ? 1 ? ln x ? x .
令 g ( x) ? ln x ? x ,则 g ' ( x) ?

1 1? x ?1 ? , x x

当 0 ? x ? 1 时, g ' ( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, g ' ( x) ? 0 ; ∴ g ( x) max ? g (1) ? ?1,即 g ( x) ? ln x ? x ? 0 , ∴ f ' ( x) ? 0 ,∴ f ( x) 在定义域上为减函数.
2 (2)函数 f ( x) ? x ln x ? ax ? x 的零点情况,即方程 x ln x ? ax ? x ? 0 的根情况,
2

ln x ? 1 , x ln x ? 1 1 ? (ln x ? 1) 2 ? ln x ? 令 h( x ) ? ,则 h' ( x) ? , x x2 x2
∵ x ? 0 ,∴方程可化为 a ? 令 h' ( x) ? 0 ,可得 x ? e ,
2

当 0 ? x ? e 时, h' ( x) ? 0 ;当 x ? e 时, h' ( x) ? 0 ;
2 2

∴ h( x) max ? h(e ) ?
2

1 2 ,且当 x ? 0 时, f ( x) ? ?? ;当 x ? e 时, h( x) ? 0 . 2 e

∴ h( x) 的图象大致如图示:

1 ln x ? 1 时,方程 a ? 没有根, 2 e x 1 ln x ? 1 当 a ? 2 或 a ? 0 时,方程 a ? 有一个根, x e 1 ln x ? 1 当 0 ? a ? 2 时,方程 a ? 有两个根. e x 1 ∴当 a ? 2 时,函数 f ( x) 没有零点; e 1 当 a ? 2 或 a ? 0 时,函数 f ( x) 有一个零点; e 1 当 0 ? a ? 2 时,函数 f ( x) 有两个零点. e
当a ?
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考点:1.导数与函数的单调性、极值、最值;2.函数与方程. 【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性、极值、最值、函数与方程,属难题;求函数的 单调区间的步骤:①确定函数 y ? f ( x) 的定义域;②求导数 y? ? f ?( x) ,令 f ?( x) ? 0 ,解 此方程,求出在定义区间内的一切实根;③把函数 y ? f ( x) 的间断点(即 y ? f ( x) 的无定 义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数

y ? f ( x) 的定义区间分成若干个小区间;④确定 f ?( x ) 在各个区间内的符号,根据符号判
定函数在每个相应区间内的单调性. 22. (1)见解析; (2)

1 . 2

【解析】 试题分析: ( 1 ) 连 接 DE , 因 为 AC ED 是 圆 的 内 接 四 边 形 , ?BDE ? ?BCA , 又

?DBE ? ?CBA , ∴ ?D B E ∽ ?CBA , 即 有

BE DE ? , 由 已 知 AB ? 2 AC 可 得 BA CA BE ? 2 DE ,由角平分线性质可知 AD ? DE ,从而证出结论.(2)设 AD ? t ,由割线定

理 得 , BD ? BA ? BE ? BC , 即 ( AB ? AD) ? BA ? 2 AD ? (2 AD ? CE ) , 从 而 得 到 方 程

2t 2 ? 3t ? 2 ? 0 ,解之即可.
试 题 解 析 : ( 1 ) 证 明 : 如 图 所 示 , 连 接 DE , 因 为 AC ED 是 圆 的 内 接 四 边 形 , ?BDE ? ?BCA ,又 ?DBE ? ?CBA ,

BE DE ? . 又 AB ? 2 AC ,∴ BE ? 2 DE . BA CA 又 CD 是 ?ACB 的角平分线,∴ AD ? DE ,从而 BE ? 2 AD .
∴ ?DBE ∽ ?CBA ,即有

( 2 ) 解 : ∵ AC ? 1 , EC ? 2 , ∴ AB ? 2 AC ? 2 , 设 AD ? t , 由 割 线 定 理 得 , BD ? BA ? BE ? BC , 即 ( AB ? AD) ? BA ? 2 AD ? (2 AD ? CE ) , ∴ (2 ? t ) ? 2 ? 2t (2t ? 2) , 即 2t ? 3t ? 2 ? 0 ,
2

解得 t ?

1 1 或 t ? ?2 (舍去) ,即 AD ? . 2 2

考点:1.圆的性质;2.三角形相似. 23. (1) ? ? 4 cos? ; (2) 2 2 . 【解析】 试题分析: (1) 将 ?

? x ? ? cos? 代入曲线 C 的直角坐标方程,整理即可得到曲线 C 的极坐 ? y ? ? sin ?
答案第 9 页,总 10 页

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标方程; (2) 将直线 l 的极坐标方程转化直角坐标方程与曲线 C 的直角坐标方程联立,求 出交点坐标,由两点间距离公式即可求弦长. 试题解析: (1)曲线 C 的普通方程为 ( x ? 2) ? y ? 4 ,即 x ? y ? 4x ? 0 .
2 2 2 2

将?

? x ? ? cos? 2 2 代入方程 x ? y ? 4x ? 0 化简得 ? ? 4 cos? . ∴曲线的极坐标方程为 ? y ? ? sin ?

? ? 4 cos? .
(2)直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 4 ? 0 .

由?

?x 2 ? y 2 ? 4x ? 0 得直线 l 与曲线 C 的交点坐标为 ( 2,2) , ( 4,0) , ?x ? y ? 4 ? 0
2 2

∴弦长为 ( 2 ? 4) ? ( 2 ? 0) ? 2 2 . 考点:1.直角坐标方程与极坐标方程的相互转化;2.直线与圆的位置关系. 24. (1) (??,?3] ? [1,??) ; (2) a ? ?3 . 【解析】

1 1 、 ? ? x ? 0 、 x ? 0 三段分别去掉绝对值符号解不等式即可; 2 2 1 a (2) f ( x) ?| x | ? a ?| 2 x ? 1| ?2 | x |? 2 ? a ?| x ? | ? | x |? 1 ? ,又因为存在实数 x 使 2 2 1 a 该不等式成立,所以由绝对值不等式的性质求出 | x ? | ? | x | 的最小值,只要 1 ? 大于等 2 2
试题分析: (1)分 x ? ? 于其最小值即可.

1 时, ? 1 ? 2 x ? x ? 2 ? x ? ?3 ,∴ x ? ?3 2 1 1 当 ? ? x ? 0 时, 2 x ? 1 ? x ? 2 ? x ? ,∴解为 ? 2 3 当 x ? 0 时, x ? 1 ? 2 ? x ? 1 ,∴ x ? ?3
试题解析: (1)当 x ? ? 综上可得不等式的解集为 (??,?3] ? [1,??) . (2) f ( x) ?| x | ? a ?| 2 x ? 1 | ?2 | x |? 2 ? a ?| x ? 由?

1 a | ? | x |? 1 ? 2 2

1 1 1 1 a ?| x ? | ? | x |? ,只需 ? ? 1 ? ? a ? ?3 . 2 2 2 2 2

考点:1.含绝对值不等式的解法;2.绝对值不等式的性质.

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