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高三数学竞赛标准教材讲义:几个初等函数的性质


第四章

几个初等函数的性质

一,基础知识 x 1. 指数函数及其性质: 形如 y=a (a>0, a ≠ 1)的函数叫做指数函数, 其定义域为 R, 值域为 (0, x x +∞) ,当 0<a<1 时,y=a 是减函数,当 a>1 时,y=a 为增函数,它的图象恒过定点(0,1) .
1 m n

2.分数指数幂: a n =

a , a n = n a m , a n =

1 n ,a = an

m

1
n

.

3.对数函数及其性质:形如 y=logax(a>0, a ≠ 1)的函数叫做对数函数,其定义域为(0,+∞) , 值域为 R,图象过定点(1,0) .当 0<a<1,y=logax 为减函数,当 a>1 时,y=logax 为增函数. 4.对数的性质(M>0, N>0) ; x 1)a =M x=logaM(a>0, a ≠ 1); 2)loga(MN)= loga M+ loga N;

am

M n )= loga M- loga N;4)loga M =n loga M; , N log c b 1 loga M =M; 7) loga b= (a,b,c>0, a, c ≠ 1). 5)loga n M = loga M;6)a n log c a a 5. 函数 y=x+ (a>0) 的单调递增区间是 ∞, a 和 a ,+∞ , 单调递减区间为 a ,0 和 x 0, a . (请读者自己用定义证明)
3)loga( 6.连续函数的性质:若 a<b, f(x)在[a, b]上连续,且 f(a)f(b)<0,则 f(x)=0 在(a,b) 上至少有一个实根. 二,方法与例题 1.构造函数解题. 例 1 已知 a, b, c∈(-1, 1),求证:ab+bc+ca+1>0. 【证明】 设 f(x)=(b+c)x+bc+1 (x∈(-1, 1)),则 f(x)是关于 x 的一次函数. 所以要证原不等式成立,只需证 f(-1)>0 且 f(1)>0(因为-1<a<1). 因为 f(-1)=-(b+c)+bc+1=(1-b)(1-c)>0, f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)>0, 所以 f(a)>0,即 ab+bc+ca+1>0. 例 2 (柯西不等式) a1, a2,…,an 是不全为 0 的实数, 1, b2,…,bn∈R, ( 若 b R 则 ≥(

(

]

(

] [

)

[

)

∑a
i =1

n

2 i

) (

∑b
i =1

n

2 i

)

∑a b
i =1 i

n

i

) ,等号当且仅当存在 ∈ R,使 ai= bi , i=1, 2, …, n 时成立.
2

【证明】 令 f(x)= ( 因为

∑a
i =1

n

2 i

)x -2(

2

∑a b
i =1 i

n

i

)x+

∑ b = ∑ (a
i =1

n

n

2 i

i =1

i

x bi ) 2 ,

∑a
i =1

n

2 i

>0,且对任意 x∈R, f(x)≥0, R

所以△=4( 展开得(

∑ ai2 )( ∑ bi2 )≥( ∑ ai bi )2.
i =1 i =1 i =1
+

i =1 n

∑a b
i

n

i

)-4(
n

∑a
i =1

n

2 i

)(
n

∑b
i =1

n

2 i

)≤0.

等号成立等价于 f(x)=0 有实根,即存在 ,使 ai= bi , i=1, 2, …, n. 例 3 设 x, y∈R , x+y=c, c 为常数且 c∈(0, 2],求 u= x + R



1 1 y + 的最小值. x y

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专心

【解】u= x + =xy+



x y 1 1 x y 1 1 ≥xy+ +2 y + =xy+ + + y x xy xy y x x y

1 +2. xy

令 xy=t,则 0<t=xy≤

( x + y) 2 c 2 1 c2 = ,设 f(t)=t+ ,0<t≤ . 4 4 t 4 c2 c2 因为 0<c≤2,所以 0< ≤1,所以 f(t)在 0, 上单调递减. 4 4
c2 c2 4 c2 4 )= + 2 ,所以 u≥ + +2. 4 4 c 4 c2 c c2 4 当 x=y= 时,等号成立. 所以 u 的最小值为 + +2. 2 4 c2
所以 f(t)min=f(

2.指数和对数的运算技巧. 例 4 设 p, q∈R 且满足 log9p= log12q= log16(p+q),求 【解】 令 log9p= log12q= log16(p+q)=t,则 p=9
t
+

q 的值. p
t

, q=12

, p+q=16 ,

t

4 4 所以 9 +12 =16 ,即 1+ = . 3 3
t t t

t

2t

1± 5 q 12 t 4 = t = ,则 1+x=x2,解得 x = . 2 p 9 3 q q 1± 5 又 >0,所以 = . p p 2
t

记 x=

例 5 对于正整数 a, b, c(a≤b≤c)和实数 x, y, z, w,若 a =b =c =70 ,且 求证:a+b=c. x y z w 【证明】 由 a =b =c =70 取常用对数得 xlga=ylgb=zlgc=wlg70.

x

y

z

w

1 1 1 1 + + = , x y z w

1 1 1 1 1 1 lga= lg70, lgb= lg70, lgc= lg70, w x w y w z 1 1 1 1 1 1 1 1 相加得 (lga+lgb+lgc)= + + lg70,由题设 + + = , x y z w x y z w
所以 所以 lga+lgb+lgc=lg70,所以 lgabc=lg70. 所以 abc=70=2×5×7. 若 a=1,则因为 xlga=wlg70,所以 w=0 与题设矛盾,所以 a>1. 又 a≤b≤c,且 a, b, c 为 70 的正约数,所以只有 a=2, b=5, c=7. 所以 a+b=c. 2 logab 例 6 已知 x ≠ 1, ac ≠ 1, a ≠ 1, c ≠ 1. 且 logax+logcx=2logbx,求证 c =(ac) . 【证明】 由题设 logax+logcx=2logbx,化为以 a 为底的对数,得

log a x 2 log a x = , log a c log a b 2 2 logab 因为 ac>0, ac ≠ 1,所以 logab=logacc ,所以 c =(ac) . log a x +
注:指数与对数式互化,取对数,换元,换底公式往往是解题的桥梁. 3.指数与对数方程的解法. 解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解.值得注意的是函数单调
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性的应用和未知数范围的讨论. x x x x 例 7 解方程:3 +4 +5 =6 .

1 2 5 1 2 5 【解】 方程可化为 + + =1.设 f(x)= + + , 则 f(x)在(2 3 6 2 3 6
∞,+∞)上是减函数,因为 f(3)=1,所以方程只有一个解 x=3.

x

x

x

x

x

x

x x + y = y 12 + 例 8 解方程组: (其中 x, y∈R ). R x+ y 3 y =x ( x + y ) lg x = 12 lg y 【解】 两边取对数,则原方程组可化为 . ( x + y ) lg y = 3 glx
把①代入②得(x+y)2lgx=36lgx,所以[(x+y) -36]lgx=0. 2 + 由 lgx=0 得 x=1,由(x+y) -36=0(x, y∈R )得 x+y=6, R 2 2 代入①得 lgx=2lgy,即 x=y ,所以 y +y-6=0. 又 y>0,所以 y=2, x=4.
2

①②

x1 = 1 x 2 = 4 . ; y1 = 1 y 2 = 2 2 2 2 例 9 已知 a>0, a ≠ 1,试求使方程 loga(x-ak)=loga (x -a )有解的 k 的取值范围. ( x ak ) 2 = x 2 a 2 【解】由对数性质知,原方程的解 x 应满足 x ak > 0 .①②③ 2 2 x a > 0
所以方程组的解为 若①,②同时成立,则③必成立, 故只需解

( x ak ) 2 = x 2 a 2 . x ak > 0
2

由①可得 2kx=a(1+k ), ④ 当 k=0 时,④无解;当 k ≠ 0 时,④的解是 x=
2 2

a (1 + k 2 ) 1+ k 2 ,代入②得 >k. 2k 2k

若 k<0,则 k >1,所以 k<-1;若 k>0,则 k <1,所以 0<k<1. 综上,当 k∈(-∞,-1) ∪(0, 1)时,原方程有解. 三,基础训练题 x x -y -y 1.命题 p: "(log23) -(log53) ≥(log23) -(log53) "是命题 q:"x+y≥0"的_________条件. x 2.如果 x1 是方程 x+lgx=27 的根,x2 是方程 x+10 =27 的根,则 x1+x2=_________. -1 3.已知 f(x)是定义在 R 上的增函数,点 A(-1,1) B(1,3)在它的图象上,y=f (x)是它 , -1 的反函数,则不等式|f (log2x)|<1 的解集为_________.

1+ a2 4.若 log2a <0,则 a 取值范围是_________. 1+ a a 2 5.命题 p: 函数 y=log2 x + 3 在[2,+∞)上是增函数;命题 q: 函数 y=log2(ax -4x+1) x
的值域为 R,则 p 是 q 的_________条件. 6.若 0<b<1, a>0 且 a ≠ 1,比较大小:|loga(1-b)|_________|loga(1+b). 2 2 7.已知 f(x)=2+log3x, x∈[1, 3],则函数 y=[f(x)] +f(x )的值域为_________. 8.若 x=

1 1 log 1 3 2

+

1 1 log 1 3 5

,则与 x 最接近的整数是_________.

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专心

9.函数 y = log 1 10.函数 f(x)=

1 1 + 的单调递增区间是_________. 1 x 1+ x 2
2

x 1 3 x ∈ ,2 的值域为_________. x 2x + 5 2
x x x x

11.设 f(x)=lg[1+2 +3 +…+(n-1) +n a],其中 n 为给定正整数, n≥2, a∈R.若 f(x) R 在 x∈(-∞,1]时有意义,求 a 的取值范围. 12.当 a 为何值时,方程 四,高考水平训练题 1.函数 f(x)=

lg 2 x =2 有一解,二解,无解? lg( x + a )

8 1 +lg(x2-1)的定义域是_________. x
2

2.已知不等式 x -logmx<0 在 x∈ 0, 时恒成立,则 m 的取值范围是_________. 3.若 x∈{x|log2x=2 },则 x , x, 1 从大到小排列是_________. 4. 若 f(x)=ln
-x 2



1 2

1 x a+b ,则使 f(a)+f(b)= f _________. 1+ x 1 + ab

5. 命题 p: 函数 y=log2 x +



a 3 在[2,+∞)上是增函数;命题 q:函数 y=log2(ax2-4x+1) x

的值域为 R,则 p 是 q 的_________条件. 6.若 0<b<1, a>0 且 a ≠ 1,比较大小:|loga(1-b)| _________|loga(1+b)|. 2 2 7.已知 f(x)=2+log3x, x∈[1, 3],则函数 y=[f(x)] +f(x )的值域为_________. 8.若 x=

1 1 log 1 3 2

+

1 1 log 1 3 5

,则与 x 最接近的整数是_________.

9.函数 y= log 1 10.函数 f(x)=

1 1 + 的单调递增区间是_________. 1 x 1+ x 2

x 1 3 x ∈ ,2 的值域为_________. x 2x + 5 2
2
x x x x

11.设 f(x)=lg[1+2 +3 +…+(n-1) +n a],其中 n 为给定正整数,n≥2,a∈R.若 f(x) 在 x∈(-∞,1]时有意义,求 a 的取值范围. 12.当 a 为何值时,方程 四,高考水平训练题 1.函数 f(x)=

lg 2 x =2 有一解,二解,无解? lg( x + a )

8 1 +lg(x2-1)的定义域是__________. x
2

2.已知不等式 x -logmx<0 在 x∈ 0, 时恒成立,则 m 的取值范围是 ________. 3.若 x∈{x|log2x=2 },则 x , x, 1 从大到小排列是________. 4.若 f(x)=ln
-x 2



1 2

1 x a+b ,则使 f(a)+f(b)= f 成立的 a, b 的取值范围是________. 1+ x 1 + ab

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1023

5.已知 an=logn(n+1),设

∑ log a 100 =
n=2 n

1

q ,其中 p, q 为整数,且(p ,q)=1,则 pq 的值 p

为_________. 6.已知 x>10, y>10, xy=1000,则(lgx)(lgy)的取值范围是________. 7.若方程 lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解,则实数 k 的取值范围是________. 8.函数 f(x)=

| lg | x 1 || 0

x ≠1 -2 的定义域为 R,若关于 x 的方程 f (x)+bf(x)+c=0 有 7 个 x =1

不同的实数解,则 b, c 应满足的充要条件是________. (1)b<0 且 c>0; (2)b>0 且 c<0; (3)b<0 且 c=0; (4)b≥0 且 c=0. 9.已知 f(x)= 偶性). 10.已知 f(x)=lg

1 1 + x, F(x)=f(x+t)-f(x-t)(t ≠ 0),则 F(x)是________函数(填奇 x 2 1 2 1+ x a+b ab ,若 f =1, f =2,其中|a|<1, |b|<1,则 1 x 1 ab 1 ab a+b ,求证: 2
-1

f(a)+f(b)=________. 11.设 a∈R,试讨论关于 x 的方程 lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实数解的个数. R
12.设 f(x)=|lgx|,实数 a, b 满足 0<a<b, f(a)=f(b)=2f (1)a +2a -4a+1=0, b -4b +2b +1=0; (2)3<b<4. 13.设 a>0 且 a ≠ 1, f(x)=loga(x+ x 1 )(x≥1), (1)求 f(x)的反函数 f (x); (2)若
2
4 2 4 3 2

3n + 3n f (n)< (n∈N+),求 a 的取值范围. 2
-1

五,联赛一试水平训练题 1.如果 log2[log 1 (log2x)]= log3[log 1 (log3x)]= log5[log 1 (log5z)]=0,那么将 x, y, z 从
2 3 5

小到大排列为___________. 2.设对任意实数 x0> x1> x2> x3>0,都有 log x 1993+ log x 1993+ log x 1993> klog x 1993
0 10 2 0

x1

x2

x3

x3

恒成立,则 k 的最大值为___________. 3.实数 x, y 满足 4x -5xy+4y =5,设 S=x +y ,则
0 0 2 2 2 2

1 S max

+

1 S min

的值为___________.
log sina log sina

4.已知 0<b<1, 0 <α<45 ,则以下三个数:x=(sinα) b , y=(cosα) b , z=(sinα) b 从小到大排列为___________. 2 5.用[x]表示不超过 x 的最大整数,则方程 lg x-[lgx]-2=0 的实根个数是___________. -1 -1 -1 6.设 a=lgz+lg[x(yz) +1], b=lgx +lg[xyz+1], c=lgy+lg[(xyz) +1],记 a, b, c 中的最大 数为 M,则 M 的最小值为___________. 7.若 f(x)(x∈R)是周期为 2 的偶函数,当 x∈[0,1]时,f(x)= x R
1 1998

log sina

,则 f

98 , 19

101 104 f , f 由小到大排列为___________. 17 15 1 2 8.不等式 log 2 x 1 + log 1 x +2>0 的解集为___________. 2 2
9.已知 a>1, b>1,且 lg(a+b)=lga+lgb,求 lg(a-1)+lg(b-1).

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lg(6 x) + lg( x 2) + log 1 ( x 2)
10. (1)试画出由方程 (2)若函数 y=ax+
10

lg 2 y

=

1 所确定的函数 y=f(x)图象. 2

1 与 y=f(x)的图象恰有一个公共点,求 a 的取值范围. 2 11.对于任意 n∈N+(n>1),试证明:[ n ]+[ 3 n ]+…+[ n n ]=[log2n]+[log3n]+…+[lognn].
六,联赛二试水平训练题

3x 2 x 3 y 2 y 3z 2 z 1.设 x, y, z∈R 且 x+y+z=1,求 u= + + 的最小值. R 1+ x2 1+ y2 1+ z2
+

2.当 a 为何值时,不等式 log 1 ( x + ax + 5 + 1) log5(x +ax+6)+loga3≥0 有且只有一个解
2
2

(a>1 且 a ≠ 1) . 3.f(x)是定义在(1,+∞)上且在(1,+∞)中取值的函数,满足条件;对于任何 x, y>1 及 u, v>0, f(x y )≤[f(x)] [f(y)] ①都成立,试确定所有这样的函数 f(x). 4. 求所有函数 f:R→R,使得 xf(x)-yf(x)=(x-y)f(x+y)①成立. R R 5.设 m≥14 是一个整数,函数 f:N→N 定义如下:
u v

n

1 4u

1 4v

n m + 14 f(n)= f ( f (n + m 13))

n > m2 n ≤ m2

,

求出所有的 m,使得 f(1995)=1995. 6.求定义在有理数集上且满足下列条件的所有函数 f: f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)f(y), x, y∈Q. 7.是否存在函数 f(n),将自然数集 N 映为自身,且对每个 n>1, f(n)=f(f(n-1))+f(f(n+1)) 都成立. 8.设 p, q 是任意自然数,求证:存在这样的 f(x) ∈Z(x)(表示整系数多项式集合) ,使对

x 轴上的某个长为

1 p 1 < 2. 的开区间中的每一个数 x, 有 f ( x ) q q q
+ + 2

+ β 9. 设α, β为实数, 求所有 f: R →R, f R 使得对任意的 x,y∈R , f(x)f(y)=y + x f R

x 2

f 2

成立.

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