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《三角函数的图像和性质(1)》教学案例研究


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《三角函数的图像和性质(1) 》教学案例研究
数学组 侯爱娟 摘要:课堂教学是新课程实施的基本途径,是教师进行课程参与,实现专业化发展的重要渠道。 “一切为 了每一位学生的发展”是新课程改革的核心理念。为此,教师必须关注整体课程观、关注学生的实际、关 注知识的生成过程和学生数学认识过程的融合、关注教学的实效。更好地理解数学、理解学生、理解教学。 一、教学设计及实效 以《三角函数的图像和性质》为例,说明如何实施“二二三四” 课堂教学范式。 ? 教学目标: 1、会求三角函数定义域、值域; 2、初步会运用数形结合解决三角函数中的一些简单问题; 3、培养学生的转化与划归能力,增强学生自主学习的精神,增进学习数学的信心。 ? 教学重点:求三角函数的定义域、值域。 ? 教学难点:求三角函数与其他函数复合型的函数的值域。 ? 教学过程: ? 课前导学: 导学活动 1、让学生阅读教材(高一第二学期) ,复习三角函数的图像与 性质,并借助于教材的序列展开自我复习与回顾,能够感受到 知识形成的过程,特别是了解三角函数的图像和性质的知识结 构。 2、完成学案课题预习中的函数图像与性质的表格 3、完成学案例 1、例 2 ? 设计意图 回归课本 了解知识 结构 知识梳理 自我检测 激活旧知 灵活运用 教学实效 复习旧知 完善知识体 系 诊断质疑

课内导学 导学活动 设计意图 激活知识 网络 完备知识 体系 教学实效 低起点 (建构 学生基本知 识经验) 高视点 (注重 知识横向与 纵向联系)

11、知识建构 首先从正弦、余弦、正切函数的图像与性质入手,以表格形式让 学生 到 黑 板 上 写 出 三 个 典 型 的 三 角 函 数 y ? sin x , y ? cos x ,

y ? tan x 的性质,并作出这三个函数的图像。
函数 定义域 值域 最值 图像

y ? sin x

y ? cos x
y ? tan x

问题诊断 反馈

2.典例分析: 精心选题,利用典型题目,一题多变,把一道题变为一类题型, 体验探究 使知识在学生大脑中形成网络,有利于开发学生的思维潜能,以提 过程 高学生的能力。 例 1、求下列函数定义域:
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导思,导言 小坡度 (低台 阶)

1

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tan(x ? ) 4 (1) y ? sin x
(2) y ? lg 2sin x ? 3 ? 9 ? x 2 例 2、函数 f ? x ? 的定义域是 ? ?1, 0 ? ,求 f ? cos x ? 的定义域. 例 3、求下列函数值域 (1) y ? 2 sin x ? 1 (2) y ? sin x ? 3 sin x cos x ? 1
2

?

训练发散 思维

?

?

提高思维 容量

高视点 (简单 到复杂)

变式:若 x ? [0,

?
2

]

(3) y ? 2 cos x ? 2 sin x ? 1
2

变式教学 开发思维 潜能

高密度 (题组 练习)

(4) y ? sin x ? cos x ? 2sin x cos x 变式: y ? (5) y ?

sin x ? 3 sin x ? 2

sin x cos x 1 ? sin x ? cos x
变式: y ?

sin x ? 1 cos x ? 3
提高学生 转化与化 归能力, 形成一定 的数学素 养 自主学习 导思导研 自主讨论 一题多变

3、巩固练习 数学教育家波利亚在《怎样解题》中教导我们: “把数学解题 过程看成是问题的化归过程。 教师在解题教学中,循循善诱引导 ” 学生自觉探索,特别是在学生的思维受阻时,教师应适时介入点拨, 揭示当一个新问题、新情景出现时,如何回归到旧知识的情景中去 谋求解决问题方法和途径。 练习:已知关于 x 的方程 cos x ? 4sin x ? a ? 0 有实数解,
2

求实数 a 的取值范围. 变式:已知关于 x 的不等式 cos x ? 4 sin x ? a ? 0 恒成立,求
2

实数 a 的取值范围. 4.总结反思 让学生从基本知识、思想方法、解题策略和题型归类的角度回 顾、总结本节内容。 重点知识:三角函数的有界性; 解决策略:采取化归的方法将各种类型的函数转化为只含一个 角的同名三角; 思想方法:化归与数形结合; ? 课后导学 导学活动 1、 梳理三角函数的图像与性质知识结构, 特别是与前面所学的函 数的定义域与值域进行对照与比较。 体会知识间的纵向联系与 互相渗透与促进。
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回顾、反 思 归纳提高

形成更强大、 完备的知识 体系

设计意图 梳理知识 巩固知识

教学实效 加强知识的 整体性与联 系性

2

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2、 完成学案 P/131 选用习题 3、预习三角函数的单调性、奇偶性、周期性。并完成学案表格 三、教学反思 (一)教学设计思路 本课是一节高三一轮复习课,高三一轮复习重中之重在于:完备学生的知识体系,将学生的知识系 统化、网络化、模块化、精细化。所以本节课重在知识与方法获得过程,重在学生知识结构的完善、以及 如何提高学生运用知识分析问题解决问题的能力。所以本课围绕“重构与健全学生的知识结构、关注知识 的生成过程与学生认知结构的形成过程的融合、提高学生的学习兴趣、启迪学生的思维”为主题,同时考 虑到学校倡导的“二二三四”范式中“导学、导思、导言和导行”四导在课堂中实践。并考虑到让学生愉 快学习,让自己做到“眼中有人”——眼中有学生、心中有情、有爱! 设计的基本思路是: 首先从正弦、余弦、正切的图像与性质入手,以表格形式让学生到黑板上写出三个典型的三角函数 y ? sin x , y ? cos x , y ? tan x 的性质,并作出这三个函数的图像。其目的是让学生亲自经历概念与知 识再认识过程,激活学生的知识网络,唤醒学生的知识记忆。从而形成这节课的知识起点,让学生体会如 何从基本知识出发来解决问题。 接着通过几个题组与变式的训练,让学生亲自实践,通过问题的解决认识到以下几点: (1)求与三角函数有关的函数定义域实质就是解三角不等式(组) .一般可用三角函数的图象或三角 函数线确定三角不等式的解.同时注意到列三角不等式,既要考虑分式的分母不能为零;偶次方根被开方 数大于等于零;对数的真数大于零及底数大于零且不等于 1,又要考虑三角函数本身的定义域。由此又加 深与完备了学生对求函数的定义域的求解方法的理解。 (2)求三角函数的值域要重点关注 y ? sin x , y ? cos x 的有界性,体会到正、余弦函数的值域的本 质在于其有界性,并且通过三角的有界性可以解决更多的函数值域问题。 (反应了本节课的起点知识的作 用) (3)与三角有关的函数值域的总的方针策略是:通过三角变换与换元将各种的复杂的函数转化为只含 有一个角的同名三角函数(简称为“三个一”)再运用三角的有界性得以解决,这充分体现了化归的思想。 在学生基本掌握基本知识与方式之后,重在提高学生分析问题与解决问题的能力,所以在此基础之上 再设计一组题组,让学生自主完成,以提高学生阅读理解与化归转化能力。 最后让学生自己总结反思,总结基本知识、思想方法、解题策略和题型归类,以便让学生巩固自己的 本节课的所得成果,让学生感觉学有所得,得有所用,用有所果,从而让自己充满成就感,体会到学习的 乐趣。最重要的是让学生通过自己的总结形成的一个更为庞大、更具威力的新的认知结构。 (二) “二二三四” 课堂教学范式的体会和理解 1、 “两点”的解读和应用 本人认为的低起点,即为知识的逻辑起点和学生的认知基础,所有新知识获得都必须基于学生的认知 根源,从知识的逻辑起点出发,和学生共同寻求通向新知识的路径,从而达到目标。所谓高视点,即为一 切教育应以学生终身发展为目标,为学生的终身发展奠基,培养学生的学习能力、获得知识的能力。从知 识的角度看,应注重知识的整体性与联系性。 基于以上认识,我认为本节内容是基本的三角函数的图像与简单性质,它是研究三角函数其他性质的 基础,同时也是研究其他复合函数的基础,所以,该起点为后面研究三角函数奠基,同时也应让学生体会 到这一点, 让每一位同学亲自经历起点知识的获得过程。 本节课实质上又是函数图像与性质的综合复习课, 特别是函数的定义域与值域的复习课,通过本节课再次唤醒学生对函数的定义域和值域的求解方法的认 识, 同时感受到知识之间的整体性和联系性, 从而帮助学生建构更为完备的知识体系。 所以本课在设计时, 应以三角函数的图像与性质作为一个低起点,让学生能够很快入手,同时以函数的图像与性质为高视点, 加强学生对知识的整体性的把握与理解。 2、 “两度”的解读和应用 (1) “小坡度”创设 上述题组的安排充分体现了“二二三四”范式中的“两度” 。通过小坡度设置台阶,即通过逐步递
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进式的题目安排,从简单的基本类型逐步过渡到复杂类型,让学生在不知不觉地在基本问题中学到处理复 杂问题的方式与方法。同时在此过程中,学生有着炙热的思考,体现学生的高密度思维。 (2) “高密度”创设 “高密度”不单纯提高课堂知识容量,更重要的是努力提高思维容量。通过大的思维容量来培养学生 快捷、严谨的思维习惯。提高学生的分析问题与解决问题的能力。所以本人通过层层递进式的题组与变式 训练,因势利导,让学生在这一系列问题中,通过探索与研究,解决了这问题,由点及面,由浅入深,是 认识事物的一般规律,通过这样的教学可使学生的认知得到进一步提高,有利于开发学生的思维潜能,从 而体现“轻负担,高质量”的教育教学目标。 3、 “三动”的解读和应用 “动手、动脑、动嘴”是对传统模式中“动笔”的提升,它使学生手、脑、嘴并用,充分体现课堂的 效率,这样的氛围很容易使学生紧张兴奋地、全身心的投入到学习中来。所以在课堂实施过程中,我充分 让学生动手实践,对于基本三角函数的图像让学生亲自绘制,对于基本性质让每一个学生有时间回忆并得 以反馈。课堂的每一个问题,都能给学生充分思考的空间,让学生动手运算,动口表达,说出自己的想法, 并且让他在老师和同学的共同帮助下进行优化,体会到成功的乐趣,体会到师生、生生合作的愉悦,从而 做到快乐学习。并使我们的课堂充满生命的灵动。 4、 “四导”的解读和应用 课堂是学生与教师共同演绎的一个大舞台,这一台戏是否精彩,除了节目的精彩之外更重要的是主持 人如何让演员们精彩的演出。现在意义下的课堂应充分体现以学生为主体、教师为主导。而教师应导什么 呢?教师在课堂上导读、导思、导研、导行,总之一句话,就是如何引导让学生释放自己的精彩,那就需 要引导学生仔细倾听,引导学生善于思考,促使学生进行表达,鼓励学生大胆评价等途径。本节课引导学 生仔细完备读题,引导学生思考,如何理解题目的含义,如何将复杂问题转化为基本问题来解决,从而提 高学生研究问题的能力,并且付诸于行动能够完美地解决问题,做到弄懂,弄会,弄透! 总之,我本人觉得“二二三四”课堂范式是充分体现了以激发学生主动发展的潜能为目标、为学生的 终身发展奠基的一种教学模式。在以后的教学中,我们要一如既往以这样的范式来要求自己,力求上好每 一节课,并不断地完善、改进!

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