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高中数学 第二章 2.3幂函数课件 新人教A版必修1(12)_图文

读教材·填要点 第 二 章 基 本 初 等 函 数 2.3 课前预习·巧设计 小问题·大思维 考点一 名师课堂·一点通 幂 函 数 考点二 考点三 解题高手 NO.1课堂强化 (I) 创新演练·大冲关 No.2课下检测 [读教材·填要点] 1.幂函数的概念 α y = x 一般地,函数 叫做幂函数,其中 x 是自变量, α 是常数. 2.幂函数的图像和性质 幂函数 y= x y=x2 y= x3 y= x 1 2 y=x-1 图像 幂函数 y=x y=x2 y=x3 y= x 1 2 y=x-1 定义域 R R R (-∞,0)∪ [0,+∞) (0,+∞) (-∞,0)∪ 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) (0,+∞) 幂函数 奇偶性 y= x 奇 y=x2 y=x3 偶 x∈(0, +∞) 增 x∈ (-∞, 0] 减 奇 y= x 非奇 非偶 1 2 y=x-1 奇 增 单调性 增 增 x∈ (0,+∞) 减x∈ (-∞,0) 减 公共点 (1,1) [小问题·大思维] 1.你认为幂函数y=xα与指数函数y=ax(a>0且a≠1)有何区 别? 提示:幂函数y=xα的底数为自变量,指数是常数,而 指数函数正好相反,指数函数y=ax中,底数是常数, 指数是自变量. 2.观察五个幂函数图像,试分析:函数y=xα在第一象限 内的增减性与α有关系吗? 提示:当α>0时,y=xα在(0,+∞)上是增函数;当α<0 时,在(0,+∞)上是减函数. 3.幂函数的图像能过第四象限吗?为什么? 提示:不会过第四象限.因为当x>0时,必有y>0,所以 幂函数不会过第四象限. [研一题] [例1] 函数f(x)=(m2-m-1)xm2+m-3是幂函数,且 当x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,求f(x)解析式. [自主解答] 根据幂函数定义得: m2-m-1=1解得m=2或m=-1. 当m=2时,f(x)=x3在(0,+∞)上为增函数;当m=-1 时,f(x)=x-3在(0,+∞)是减函数不符合要求. 故f(x)=x3. 将例1中“f(x)是增函数”改为“f(x)是减函数”,求f(x)解 析式. 解:由上述解答中可知当m=-1时f(x)=x-3在(0,+ ∞)是减函数. ∴f(x)=x-3. [悟一法] 幂函数y=xα(α∈R),其中α为常数,其本质特征是以 幂的底x为自变量,指数α为常数(也可以为0).这是判断一 个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准.对例1来说, 还要根据单调性验根,以免增根. [通一类] 1.已知函数f(x)=(m2+2m)· xm2+m-1,m为何值时,f(x) 是:(1)正比例函数;(2)反比例函数;(3)二次函数;(4) 幂函数. 解:(1)若 f(x)为正比例函数,则 2 ? m ? +m-1=1 ? 2 ? ?m +2m≠0 ?m=1. (2)若 f(x)为反比例函数,则 2 ? m ? +m-1=-1 ? 2 ? ?m +2m≠0 ?m=-1. (3)若 f(x)为二次函数,则 2 ? m ? +m-1=2 ? 2 ? ?m +2m≠0 -1± 13 ?m= . 2 (4)若 f(x)为幂函数,则 m2+2m=1, ∴m=-1± 2. [研一题] [例 2] 如图所示的曲线是幂函数 y=xα 在第一象限的 图像,已知 ? 1 1 ? α∈?-4,-4,4,4?.相应于曲线 ? ? C1,C2,C3, ( ) C4 的 α 值依次为 1 1 A.-4,-4,4,4 1 1 B.4,4,-4,-4 1 1 1 1 C.-4,-4,4,4 D.4,4,-4,-4 [自主解答] 由图像知 C1、 C2 为增函数, 因此其指数应为正, 1 1 1 1 -4 所以只能是 B 或 D 正确,又当 x=16时,(16)-4=(2 )-4=2, 1 1 (16)-4=(2-4)-4=216,显然 216>2,于是在 x=16处 y=x-4 的图像 1 1 应在 y=x-4之上方,因此由图可见 C3 应为 y=x-4,C4 应为 y =x-4. [答案] B [悟一法] (1)已知幂函数的图像特征或性质求解析式时,常用待 定系数法. (2)对于幂函数y=xα的图像,在直线x=1的右侧,若图 像越高,则α的值就越大. [通一类] 1 2.点( 2,2)与点(-2,-2)分别在幂函数 f(x)、g(x)的图像上, 问当 x 为何值时,有: ①f(x)>g(x);②f(x)=g(x);③f(x)<g(x). 解:设 f(x)=xα,g(x)=xβ, 1 则( 2)α=2,(-2)β=-2, ∴α=2,β=-1. ∴f(x)=x2,g(x)=x 1. - 分别作出它们的图像如图所示,由图像可知, ①当x∈(-∞,0)∪(1,+∞)时, f(x)>g(x); ②当x=1时,f(x)=g(x); ③当x∈(0,1)时,f(x)<g(x). [研一题] [例 3] ? 5 2 比较下列各组数的大小: ? 5 2 (1) 3 与 3.1 ; 1 8 (2) ?8 与 ? ( ) ; 9 ? 7 8 7 2 ?3 ? ?3 (3) ?( ) 与 ? ( ) ; 3 6 2 2 (4) 4.1 , 3.8 , (-1.9) . 2 5 ? 2 3 ? 3 5 [自主解答] 所以 3 > 3.1 . ? 5 2 ? 5 2 (1)函数 y= x 在(0, +∞)上为减函数, 又 3<3.1, ? 5 2 1 7 (2) ?8 = ?( ) 8 , 8 ? 7 8 函数 y= x 在(0,+∞)上为增函数, 7 7 7 ? 1 1 1 7 1 1 又8>9,则 ( ) 8 > ( ) 8 ,从

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