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2015届江苏高考数学四题


江苏省南通试题 y 1. 已知椭圆 C: x 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 , 点 P 为椭圆 C 上的任意一点, 若以 F1 , F2 , P a b 三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形,则椭圆 C 的离心率的取值范围是 . 解析:因为点 P 的横坐标 x0 一定满足 ?c ≤ x0 ≤ c ,且当点 P 在短轴顶点时, ?F1 PF2 一定为锐角或直 2 2 ? b2 ≤ 2c, ? 角,所以 ? a ,所以离心率的取值范围是 [ 2 ? 1, 2 ] . 2 ? ?a ≥ 2c 知识点:椭圆的定义与离心率; 难度:0.4. 2.在三棱锥 P-ABC 中,面 PAB、PAC、PBC 两两垂直,且 PA ? 2, PB ? 3, PC ? 4 . (1)求证: PA ? BC ; (2)求点 P 到面 ABC 的距离. (1)证明:在三角形 PBC 内过边 BC 上一点 D 作两条直线 DE、DF 分别 垂直于边 PB、 PC, 则因为面 PAB⊥面 PBC, 面 PAB∩面 PBC=PB, DE ? 面 PBC,DE⊥PB,所以 DE⊥面 PAB, 因为 PA ? 面 PAB,所以 DE⊥PA. 同理,DF⊥PA. A 又因为 DE ∩DF=D,DE,DF ? 面 PBC, 所以 PA⊥面 PBC, 因为 BC ? 面 PBC,所以 PA ? BC ; ( 2 ) 解 : 由 ( 1 ) 可 知 , PA 、 PB 、 PC 两 两 垂 直 , 所 以 AB ? 13, BC ? 5, AC ? 2 5 , cos ?BCA ? 则三角形 ABC 中, 52 ? (2 5) 2 ? ( 13) 2 ? 8 , 2?5?2 5 5 5 P C B 所以 sin ?BCA ? 1 ? ( 8 ) 2 ? 61 , 5 5 5 5 三角形 ABC 的面积为 1 ? 5 ? 2 5 ? 61 ? 61 , 2 5 5 1 1 因为三棱锥 P-ABC 的体积为 ? ? 2 ? 3 ? 4 ? 4 , 3 2 所以 h ? 3 ? 4 ? 12 61 . 61 61 本题还可以作出高 PH 求解. 知识点:直线、平面间的平行垂直,棱锥的体积公式; 难度:0.6. 2 3 n 3.设函数 f n ( x) ? 1 ? x ? x ? x ? ? (?1)n x , n ? N? . 2 3 n (1)试确定 f3 ( x) 和 f 4 ( x) 的单调区间及相应区间上的单调性; (2)说明方程 f 4 ( x) ? 0 是否有解; (3)对 n ? N? ,指出关于 x 的方程 f n ( x) ? 0 的解的个数,并证明相关结论. P F E A D B C 2 3 解: (1)①因为 f3 ( x) ? 1 ? x ? x ? x ,所以 f3? ( x) ? ?1 ? x ? x2 ? ?( x2 ? x ? 1) ? 0 , 2 3 因此 y ? f3 ( x) 为 R 上的单调减函数. 2 3 4 ②因为 f 4 ( x) ? 1 ? x ? x ? x ? x ,所以 f4? ( x) ? ?1 ? x ? x2 ? x3 ? ( x ? 1)( x2 ? 1) , 2 3 4 (??,1) (1,??) x f 4? ( x) f 4 ( x) + - ↘ ↗ 所以, y ? f 4 ( x) 在 (??,1) 上为单调减函数,在 (1,??) 上为单调增函数;

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