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高考数学一轮总复习 第七章 立体几何 7.6 空间向量的运算及应用课件 理_图文

必修部分
第七章 立体几何
第六节 空间向量的运算及应用



考情分析 1



3 考点疑难突破



基础自主梳理 2



4 课时跟踪检测

1

考情分析

考点分 布

考纲内容

考点频率

命题趋势

纵观近几年的高考

1.了解空间直角坐标系,会用

空间直角坐标表示点的位置,

会简单应用空间两点间的距

离公式.

2.了解空间向量的概念,了解

空间角 与距

空间向量的基本定理及其意 义,掌握空间向量的正交分 5年28考

试题,对空间向 量部分的考查主 要集中于空间向 量的概念和运算 的考查,部分用 空间向量知识来 解的题目也可以 不建空间直角坐

2

基础自主梳理

「基础知识填一填」

1.空间向量及其有关概念

语言描述

空间向量 在空间,具有大小和方向的量

长度(模)

向量的大小

零向量

长度为 0 的向量,记为 0

单位向量

模为 1 的向量

与向量 a 长度相等而方向相反的向量, 柏反的量
称为 a 的相反向量,记为-a

相等的量 方向相同且模相等的向量 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线 (平行向量) 互相 平行或重合 共面向量 平行于 同一个平面 的向量
共线向 对空间任意两个向量 a,b(b≠0),a∥ 量定理 b?存在 λ∈R,使_a_=__λ_b__

共面向 若两个向量 a,b 不共线,则向量 p 与向量 a,b 共面?存在唯一 量定量 的有序实数对(x,y),使 p=__x_a_+__y_b___
定理:如果三个向量 a,b,c 不共面,那么对空间任一向量 p, 存在有序实数组{x,y,z}使得 p=__xa__+__yb_+__z_c__ 空间向量 推论:设 O,A,B,C 是不共面的四点,则对平面 ABC 内任一 基本定理 点 P 都存在唯一的三个有序实数 x,y,z,使O→P=xO→A+yO→B+zO→C
且 x+y+z=1

2.数量积及坐标运算 (1)两个向量的数量积 ①a·b=|a||b|cos〈a,b〉; ②a⊥b? a·b=0 (a,b 为非零向量); ③|a|2= a2 ,|a|= x2+y2+z2.

(2)向量的坐标运算

「应用提示研一研」 1.向量三点共线定理:在平面中 A、B、C 三点共线的充要条件是:O→A=xO→B+ yO→C(其中 x+y=1),O 为平面内任意一点. 2.向量四点共面定理:在空间中 P、A、B、C 四点共面的充要条件是:O→P=xO→A +yO→B+zO→C(其中 x+y+z=1),O 为空间中任意一点.

「基础小题练一练」 1.判断下列结论是否正确.(打“√”或“×”) (1)空间中任意两非零向量 a,b 共面.( ) (2)在向量的数量积运算中(a·b)·c=a·(b·c).( ) (3)对于非零向量 b,若 a·b=b·c,则 a=c.( ) (4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.( ) (5)若 A,B,C,D 是空间任意四点,则有A→B+B→C+C→D+D→A=0.( ) (6)|a|-|b|=|a+b|是 a,b 共线的充要条件.( )

解析:(1)正确.空间中任意两向量都可移到同一个起点. (2)错误.(a·b)·c 是与向量 c 共线的向量,而 a·(b·c)是与向量 a 共线的向量,而 a 与 c 不一定共线. (3)错误.若 a·b=b·c,则 a 与 c 可能共线,不一定相等. (4)错误.两异面直线夹角范围为????0,π2????,两向量夹角范围[0,π]. (5)正确.A→B+B→C+C→D+D→A=A→C+C→D+D→A=A→D+D→A=0. (6)错误.充要条件应为 a 与 b 反向且|a|≥|b|. 答案:(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)×

2.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,向量D→1A,D→1C,A→1C1是(

)

A.有相同起点的向量

B.等长向量

C.共面向量

D.不共面向量

解析:A→1C1=A→C,又∵AC,D1A,D1C 共面,∴A→C,D→1A,D→1C共面,即A→1C1,

D→1A,D→1C共面.

答案:C

3.若向量 a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),且 cos〈a,b〉=89,则 λ=( )

A.2

B.-2

C.-2 或525

D.2 或-525

解析:由已知 cos〈a,b〉=|aa|·|bb|,所以98= 25-+λλ+2·49,解得 λ=-2 或 λ=525. 答案:C

4.已知四边形 ABCD 为平行四边形,且 A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5), 则点 D 的坐标为________.
解析:设 D(x,y,z),则A→B=D→C. ∴(-2,-6,-2)=(3-x,7-y,-5-z).

??3-x=-2, ∴?7-y=-6,
??-5-z=-2,

??x=5, 解得?y=13,
??z=-3.

∴D(5,13,-3). 答案:(5,13,-3)

3

考点疑难突破

空间向量的线性运算 [题 组 训 练]
如图所示,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,设A→A1=a,A→B=b,A→D=c,M, N,P 分别是 AA1,BC,C1D1 的中点,试用 a,b,c 表示以下各向量:
(1)A→P;(2)A→1N;(3)M→P+N→C1.

解:(1)∵P 是 C1D1 的中点, ∴A→P=A→A1+A→1D1+D→1P=a+A→D+12D→1C1= a+c+12A→B=a+c+12b. (2)∵N 是 BC 的中点, ∴A→1N=A→1A+A→B+B→N=-a+b+12B→C= -a+b+12A→D=-a+b+12c.

(3)∵M 是 AA1 的中点, ∴M→P=M→A+A→P=12A→1A+A→P=
-12a+????a+c+12b????=21a+12b+c. 又N→C1=N→C+C→C1=12B→C+A→A1= 12A→D+A→A1=21c+a, ∴M→P+N→C1=????12a+21b+c????+????a+12c????= 32a+12b+23c.

用已知向量表示某一向量的解题策略 (1)应结合已知和所求向量观察图形. (2)将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中. (3)利用三角形法则或平行四边形法则,把所求向量用已知基向量表示出来.

共线、共面向量定理的应用
[题 组 训 练] 1.如图所示,已知斜三棱柱 ABC-A1B1C1,点 M,N 分别在 AC1 和 BC 上,且 满足A→M=kA→C1,B→N=kB→C(0≤k≤1).判断向量M→N是否与向量A→B,A→A1共面.

解:∵A→M=kA→C1,B→N=kB→C, ∴M→N=M→A+A→B+B→N
=kC→1A+A→B+kB→C =k(C→1A+B→C)+A→B =k(C→1A+B→1C1)+A→B =kB→1A+A→B =A→B-kA→B1=A→B-k(A→A1+A→B) =(1-k)A→B-kA→A1, ∴由共面向量定得知向量M→N与向量A→B,A→A1共面.

2.已知 A,B,C 三点不共线,对平面 ABC 外的任一点 O,若点 M 满足O→M=31 (O→A+O→B+O→C).
(1)判断M→A,M→B,M→C三个向量是否共面; (2)判断点 M 是否在平面 ABC 内.

解:(1)由已知O→A+O→B+O→C=3O→M, 所以O→A-O→M=(O→M-O→B)+(O→M-O→C), 即M→A=B→M+C→M=-M→B-M→C, 所以M→A,M→B,M→C共面. (2)由(1)知M→A,M→B,M→C共面且过同一点 M. 所以四点 M,A,B,C 共面,从而点 M 在平面 ABC 内.

应用共线(面)向量定理、证明点共线(面)的方法比较

利用向量证明平行与垂直问题
[典 例 导 引] 如图,四边形 ABEF 与四边形 ABCD 是两个全等的正方形,且平面 ABEF 与平面 ABCD 互相垂直,M,N 分别是 AC 与 BF 上的点,且 CM=BN.求证: (1)MN⊥AB; (2)MN∥平面 CBE.

【证明】 (1)设正方形 ABEF 的边长为 1. C→M=λC→A,则B→N=λB→F.
取一组向量的基底为{B→A,B→E,B→C},记为{a,b,c}. 则|a|=|b|=|c|=1, 且 a·b=b·c=c·a=0.

∴M→N=M→C+C→B+B→N=-λC→A+C→B+λB→F= -λ(a-c)-c+λ(a+b)=λb+(λ-1)c, ∴M→N·B→A=[λb+(λ-1)c]·a=λ(b·a)+(λ-1)(c·a)=λ×0+(λ-1)×0=0. ∴M→N⊥B→A,即 MN⊥AB.

(2)解法一:由(1)知 MN⊥AB. 又 AB⊥BE,AB⊥BC,BE∩BC=B. ∴AB⊥平面 CBE. 又 MN?平面 CBE. ∴MN∥平面 CBE.

解法二:由(1)知,M→N=λb+(λ-1)c= λB→E+(λ-1)B→C. ∴M→N与平面 CBE 共面. 又 MN?平面 CBE. ∴MN∥平面 CBE.

1.利用向量法证明平行问题的类型及方法 (1)证明线线平行:两条直线的方向向量平行. (2)证明线面平行 ①该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直; ②证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行; ③证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示. (3)证明面面平行:两个平面的法向量平行.

2.利用向量法证明垂直问题的类型及方法 (1)证明线线垂直:两条直线的方向向量的数量积为 0. (2)证明线面垂直:直线的方向向量与平面的法向量平行. (3)证明面面垂直 ①其中一个平面与另一个平面的法向量平行; ②两个平面的法向量垂直.

[自 主 演 练] (2018 届北京一六一中学期中)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CC1⊥底面 ABC,AC=BC=2,AB=2 2,CC1=4,M 是棱 CC1 上一点.
(1)求证:BC⊥AM; (2)若 M,N 分别是 CC1,AB 的中点,求证:CN∥平面 AB1M. (3)若二面角 A-MB1-C 的大小为π4,求线段 C1M 的长.

解:(1)证明:∵CC1⊥平面 ABC,BC?平面 ABC, ∴CC1⊥BC. ∵AC=BC=2,AB=2 2, ∴△ABC 中,AC2+BC2=8=AB2, ∴BC⊥AC. ∵AC∩CC1=C,∴BC⊥平面 ACC1A1. ∵AM?平面 ACC1A1, ∴BC⊥AM.

(2)证明:连接 A1B 交 AB1 于点 P. ∵四边形 AA1B1B 是平行四边形, ∴P 是 A1B 的中点. 又∵M,N 分别是 CC1,AB 的中点, ∴NP∥CM,且 NP=CM, ∴四边形 MCNP 是平行四边形,可得 CN∥MP. ∵CN?平面 AB1M,MP?平面 AB1M, ∴CN∥平面 AB1M.

(3)∵BC⊥AC,且 CC1⊥平面 ABC, ∴以 C 为原点,CA,CB,CC1 分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系 C- xyz. 设 CM=t,可得 C(0,0,0),A(2,0,0),B1(0,2,4),M(0,0,t), ∴M→A=(2,0,-t),M→B1=(0,2,4-t),M→C=(0,0,-t). 设平面 AMB1 的法向量 n=(x,y,z),故 n·M→A=0,n·M→B1=0, 则有?????22xy-+t?z4=-0t?,z=0, 取 x=t,

则 n=(t,t-4,2), 平面 MB1C 的法向量 m=(1,0,0). ∵二面角 A-MB1-C 的大小为π4, ∴cosπ4=|m|m|··|nn||= t2+?t|-t| 4?2+4,t>0, ∴t=25, ∴CM=52,C1M=4-CM=32, ∴C1M=23.

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