2015年福建省高考数学试卷(理科)

2015 年福建省高考数学试卷（理科） 一、选择题（共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）2015 年普通高等学校招生全 国统一考试（福建卷）数学（理工类） 1． （5 分）若集合 A={i，i2，i3，i4}（i 是虚数单位） ，B={1，﹣1}，则 A∩B 等于 （ ） B．{1} C．{1，﹣1} D．? ） A．{﹣1} 2． （5 分）下列函数为奇函数的是（ A．y= B．y=|sinx| C．y=cosx D．y=ex﹣e﹣x 3． （5 分）若双曲线 E： 上，且|PF1|=3，则|PF2|等于（ A．11 B．9 C．5 D．3 =1 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双曲线 E ） 4． （5 分）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，得到如下统计数据表： 收入 x（万 元） 支出 y（万 元） 根据上表可得回归直线方程 ，其中 ） D．12.2 万元 则 z=2x﹣y 的最小值等于 （ ） 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 ， ，据此估计， 该社区一户收入为 15 万元家庭年支出为（ A．11.4 万元 B．11.8 万元 C．12.0 万元 5． （5 分） 若变量 x， y 满足约束条件 A．2 B．﹣2 C． D． 6． （5 分） 阅读如图所示的程序框图， 运行相应的程序， 则输出的结果为 （ ） 第 1 页（共 22 页） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 ） 7． （5 分） 若 l， m 是两条不同的直线， m 垂直于平面 α， 则“l⊥m”是“l∥α”的 （ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8． （5 分）若 a，b 是函数 f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点， 且 a，b，﹣2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列， 则 p+q 的值等于（ A．6 B．7 C．8 ） D．9 9． （5 分） 已知 且 ， ，则 ， ， 若 P 点是△ABC 所在平面内一点， ） 的最大值等于（ A．13 B．15 C．19 D．21 10． （5 分）若定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（0）=﹣1，其导函数 f′（x）满足 f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定错误的是（ A． ） D． ＜ B． ＞ C． ＜ ＞ 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分. 第 2 页（共 22 页） 11． （4 分） （x+2）5 的展开式中，x2 的系数等于 12． （4 分）若锐角△ABC 的面积为 ． （用数字作答） ． ，且 AB=5，AC=8，则 BC 等于 13． （4 分）如图，点 A 的坐标为（1，0） ，点 C 的坐标为（2，4） ，函数 f（x） =x2，若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ． 14． （4 分）若函数 f（x）= 则实数 a 的取值范围是 ， ， ＞ ． （a＞0 且 a≠1）的值域是[4，+∞） ， 15． （4 分） 一个二元码是由 0 和 1 组成的数字串 ， 其中 x（ k k=1， 2，…，n）称为第 k 位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会 发生码元错误（即码元由 0 变为 1，或者由 1 变为 0） 已知某种二元码 x1x2…x7 的码元满足如下校验方程组： 其中运算⊕定义为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0． 现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 k 位发生码元错误后变成了 1101101， 那么利用上述校验方程组可判定 k 等于 ． 三、解答题 16． （13 分）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错误，该银 行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确 定该银行卡的正确密码是他常用的 6 个密码之一， 小王决定从中不重复地随机选 择 1 个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁 定． （1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率； 第 3 页（共 22 页） （2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为 X，求 X 的分布列和数学期望． 17． （13 分）如图，在几何体 ABCDE 中，四边形 ABCD 是矩形，AB⊥平面 BEC， BE⊥EC，AB=BE=EC=2，G，F 分别是线段 BE，DC 的中点． （1）求证：GF∥平面 ADE； （2）求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值． 18． （13 分）已知椭圆 E： + （1）求椭圆 E 的方程； =1（a＞b＞0）过点 ， ，且离心率 e 为 ． （2）设直线 x=my﹣1（m∈R）交椭圆 E 于 A，B 两点，判断点 G 线段 AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由． ， 与以 19． （13 分）已知函数 f（x）的图象是由函数 g（x）=cosx 的图象经如下变换得 到：先将 g（x）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍，横坐标不变，再将 所得到的图象向右平移 个单位长度． （1）求函数 f（x）的解析式，并求其图象的对称轴方程； （2）已知关于 x 的方程 f（x）+g（x）=m 在[0，2π）内有两个不同的解 α，β （i）求实数 m 的取值范围； （ii）证明：cos（α﹣β）= ﹣1． 20． （7 分）已知函数 f（x）=ln（1+x） ，g（x）=kx， （k∈R） 第 4 页（共 22 页） （1）证明：当 x＞0 时，f（x）＜x； （2）证明：当 k＜1 时，存在 x0＞0，使得对任意 x∈（0，x0） ，恒有 f（x）＞g （x） ； （3）确定 k 的所有可能取值，使得存在 t＞0