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2015年福建省高考数学试卷(理科)

2015 年福建省高考数学试卷(理科) 一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)2015 年普通高等学校招生全 国统一考试(福建卷)数学(理工类) 1. (5 分)若集合 A={i,i2,i3,i4}(i 是虚数单位) ,B={1,﹣1},则 A∩B 等于 ( ) B.{1} C.{1,﹣1} D.? ) A.{﹣1} 2. (5 分)下列函数为奇函数的是( A.y= B.y=|sinx| C.y=cosx D.y=ex﹣e﹣x 3. (5 分)若双曲线 E: 上,且|PF1|=3,则|PF2|等于( A.11 B.9 C.5 D.3 =1 的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲线 E ) 4. (5 分)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区 5 户家庭,得到如下统计数据表: 收入 x(万 元) 支出 y(万 元) 根据上表可得回归直线方程 ,其中 ) D.12.2 万元 则 z=2x﹣y 的最小值等于 ( ) 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 , ,据此估计, 该社区一户收入为 15 万元家庭年支出为( A.11.4 万元 B.11.8 万元 C.12.0 万元 5. (5 分) 若变量 x, y 满足约束条件 A.2 B.﹣2 C. D. 6. (5 分) 阅读如图所示的程序框图, 运行相应的程序, 则输出的结果为 ( ) 第 1 页(共 22 页) A.2 B.1 C.0 D.﹣1 ) 7. (5 分) 若 l, m 是两条不同的直线, m 垂直于平面 α, 则“l⊥m”是“l∥α”的 ( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8. (5 分)若 a,b 是函数 f(x)=x2﹣px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点, 且 a,b,﹣2 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列, 则 p+q 的值等于( A.6 B.7 C.8 ) D.9 9. (5 分) 已知 且 , ,则 , , 若 P 点是△ABC 所在平面内一点, ) 的最大值等于( A.13 B.15 C.19 D.21 10. (5 分)若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(0)=﹣1,其导函数 f′(x)满足 f′(x)>k>1,则下列结论中一定错误的是( A. ) D. < B. > C. < > 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 第 2 页(共 22 页) 11. (4 分) (x+2)5 的展开式中,x2 的系数等于 12. (4 分)若锐角△ABC 的面积为 . (用数字作答) . ,且 AB=5,AC=8,则 BC 等于 13. (4 分)如图,点 A 的坐标为(1,0) ,点 C 的坐标为(2,4) ,函数 f(x) =x2,若在矩形 ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于 . 14. (4 分)若函数 f(x)= 则实数 a 的取值范围是 , , > . (a>0 且 a≠1)的值域是[4,+∞) , 15. (4 分) 一个二元码是由 0 和 1 组成的数字串 , 其中 x( k k=1, 2,…,n)称为第 k 位码元,二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会 发生码元错误(即码元由 0 变为 1,或者由 1 变为 0) 已知某种二元码 x1x2…x7 的码元满足如下校验方程组: 其中运算⊕定义为:0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0. 现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 k 位发生码元错误后变成了 1101101, 那么利用上述校验方程组可判定 k 等于 . 三、解答题 16. (13 分)某银行规定,一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错误,该银 行卡将被锁定,小王到银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但是可以确 定该银行卡的正确密码是他常用的 6 个密码之一, 小王决定从中不重复地随机选 择 1 个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁 定. (1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率; 第 3 页(共 22 页) (2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为 X,求 X 的分布列和数学期望. 17. (13 分)如图,在几何体 ABCDE 中,四边形 ABCD 是矩形,AB⊥平面 BEC, BE⊥EC,AB=BE=EC=2,G,F 分别是线段 BE,DC 的中点. (1)求证:GF∥平面 ADE; (2)求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值. 18. (13 分)已知椭圆 E: + (1)求椭圆 E 的方程; =1(a>b>0)过点 , ,且离心率 e 为 . (2)设直线 x=my﹣1(m∈R)交椭圆 E 于 A,B 两点,判断点 G 线段 AB 为直径的圆的位置关系,并说明理由. , 与以 19. (13 分)已知函数 f(x)的图象是由函数 g(x)=cosx 的图象经如下变换得 到:先将 g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍,横坐标不变,再将 所得到的图象向右平移 个单位长度. (1)求函数 f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程; (2)已知关于 x 的方程 f(x)+g(x)=m 在[0,2π)内有两个不同的解 α,β (i)求实数 m 的取值范围; (ii)证明:cos(α﹣β)= ﹣1. 20. (7 分)已知函数 f(x)=ln(1+x) ,g(x)=kx, (k∈R) 第 4 页(共 22 页) (1)证明:当 x>0 时,f(x)<x; (2)证明:当 k<1 时,存在 x0>0,使得对任意 x∈(0,x0) ,恒有 f(x)>g (x) ; (3)确定 k 的所有可能取值,使得存在 t>0

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