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同底的指数函数与对数函数的交点问题


关于同底指数函数与对数函数的交点问题
x 函数 y ? a 与y ? loga x 图像的交点问题在一些题目中经常出现,由于教科书中并没有

提到,在日常教学中,老师往往作出草图去判断,但往往出现错误。现将该问题完整解答如 下:
x 一、 a ? 1 时方程 a ? loga x 的解 x x 先求如图 3 所示曲线 y ? a 与y ? loga x 相切时 a 的值。设曲线 y ? a 与y ? loga x 相切

于点 M( x 0 , x 0 ),由于曲线 y ? a 在点 M 处的切线斜率为 1,
x
x0 x ? ? ?a ? x 0 , ?a 0 ? x 0 , 即? x ? x 0 ?(a )' | x ? x 0 ? 1 ? ?a ln a ? 1 所以 ?

?a x 0 ? x 0 , 1 1 ? ln 则a a ? ? 1 ln a ? x0 ? 所以 ? ln a
1 e? , 所以a ? e e , 此时x 0 ? e ln a 即 。
以上说明,当 a
1 e ①当 a ? e , 方程(*) 无解(见图 1 所示);
1 ? ee

1

x 时,两条曲线 y ? a 与y ? loga x相切于点M(e, e) 。

因此有以下结论:

1

②当 1 ? a ? e e ,方程(*)有且只有两解(见图 2 所示);

1

③当 a ? e e ,方程(*)有且只有一解(见图 3 所示)。

1

用计算器可算得 e e ? 1.44467 。

x 二、 0 ? a ? 1时方程a ? loga x 的解 x 先求如图 5 所示曲线 y ? a 与y ? loga x 相切时 a 的值。 x 设曲线 y ? a 与y ? loga x 相切于点 P, 由对称性知, 点 P 在直线 y ? x 上, 设 P( x 0 , y 0 ) 。 x 由于曲线 y ? loga x(或y ? a ) 在点 P 处切线的斜为 ? 1 ,
x0 ? ?a ? x 0 , ? (log a x )' | x x ? ?1 0 ? 所以 ?

?a x 0 ? x 0 , ? ? 1 ? ?1 ? 即 ? x 0 ln a
? ?1 ?1 ? 1 ?1 , , ?a ln a ? ? ? ? ln a 即? e ln a ? ? ?x ? ? 1 ?x ? 1 0 ? 0 e ? ? ln a 所以 ?

1 1 a ? ( )e x0 ? e 。此时, e。 则 1 1 1 a ? ( )e , x e 时,两条曲线 y ? a 与y ? loga x 相切于点 P( e e )。 以上说明,当
因此有以下结论:

1 0 ? a ? ( )e e 时,方程(*)有且只有三解(见图 4 所示); ①

1 a ? ( )e e 时,方程(*)有且只有一解(如图 5 所示); ②当

1 ( )e ? a ? 1 ③当 e 时,方程(*)有且只有一解(如图 6 所示)。

1 ( ) e ? 0.06599 用计算器可算出 e 。由于此数非常小,因此,人们在平时较难观察到这种
较小数值所示的函数图像,这也是人们易产生错误认识的—个重要原因。 综上所述,得:

1 a ? (0, ( ) e ) x e 时,方程 a ? loga x 有且只有三解; 当 1 a ? ( ) e 时, 方程a x ? loga x e 当 有且只有一解; 1 a ? (( ) e ,1) x e 当 时,方程 a ? loga x 有且只有一解;

1
x e 当 a ? (1, e ) 时,方程 a ? loga x 有且只有两解; x 当 a ? e e 时,方程 a ? loga x 有且只有一解;
1

1
x e 当 a ? (e ,?? ) 时,方程 a ? loga x 无解。

随着时代的发展,多媒体计算机的出现,网络技术的运用,信息时代的来临,正在给传 统教学方式带来深刻的影响,教育技术的更新也更新了教学手段、教学方法,也给我们解决 问题创造了一些新的途径, 提高了课堂教学的效率, 我们可以通过多媒体探究问题解决的方 法,验证问题解决的正确性。


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