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江苏南通四所名校2011届高三数学一轮复习课件:2章优化总结


本章优化总结

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热点一 函数的概念及其表示

1.分段函数:只要根据问 题的实际情况找到在不同的区 间上自变量与函数值的对应关 系,并分别求其解析式,最后 写成一个按照定义域和解析式 对应起来的函数式即可.在已 知函数类型的情况下求解函数 解析式可以用定义法、待定系 数法等,也可以根据函数图象

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2.函数的定义域:给出解 析式的函数在没有特别声明的 情况下,其定义域就是使函数 解析式有意义的自变量的取值 范围,在实际问题中还要考虑 问题的实际意义.在函数定义 域问题上要注意以下几点:分 母不能为0、偶次被开方式非 负、对数的真数大于0、指数 函数与对数函数的底数大于0

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3.函数值和函数值域:求 解函数值时只要根据自变量的 值与函数的对应关系代入求解 即可,在分段函数中要根据自 变量所在的区间选取函数解析 式;求解函数值域的方法有: 公式法、图象法、换元法、数 形结合法、有界性法等,要根 据问题具体分析确定求解的方 法.

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例1

如图所示,动点P从边 长为1的正方形ABCD的顶 点A出发顺次经过B,C,D A B C D 再回到A,设x表示P点的行 程,y表示PA的长度,求y 关于x的函数解析式.

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【思路点拨】 根据点P在各个边上的不同 情况分别求解.

如图所示当P点在 点在AB上运动 【解】 如图所示当 点在 上运动 PA=x; 时,PA=x; 点在BC上运动时 当P点在 上运动时,由Rt△PBA, 点在 上运动时, △ , 求得PA= + - 求得 = 1+(x-1)2 ; 点在CD上运动时 当P点在 上运动时,由Rt△PDA, 点在 上运动时, △ , 求得PA= + - 求得 = 1+(3-x)2 ;

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当P点在DA上运动时,PA=4 -x, 所以y关于x的函数解析式是 , ≤ ≤ , ?x,0≤x≤1,
? ? x2-2x+2,1<x≤2, + , ≤ , y=? 2 = + , ≤ , ? x -6x+10,2<x≤3, ?4-x,3<x≤4. ≤ ? - ,

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【点评】 本题的难点在于对函数定义 域的划分,根据题目要求自变量x∈[0,4], 根据点P在正方形的四个边上时,自变量和 函数值之间的对应关系不同,把自变量分为 四个区间[0,1],(1,2],(2,3],(3,4],在各个 区间上分别求其解析式,最后用分段函数表 示出来,对自变量区间的划分要不重不漏, 即划分后的各个区间交集为空集,并集恰好 就是函数的整个定义域.

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例2
1 函 数 f(x) = x ln( x2-3x+2 + +

的定义域为________. -x2-3x+4)的定义域为 + 的定义域为 .

【思路点拨】 根据函数解析式列出自变 量所满足的不等式组,通过解不等式组求出该函 数的定义域.

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【解析】 件: ?x≠0, ≠ , 函数的定义域必须满足条

? ? 2 + ≥ , ?x -3x+2≥0, ? -x2-3x+4≥0, + ≥ , ? ? x2-3x+2+ -x2-3x+4>0, + + + , ?

【答案】 [-4,0)∪(0,1) 答案】 - ∪

?x∈[-4,0)∪(0,1).

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点评】 【 点评 】 本题的难点在于对真数 x2-3x+2+ -x2-3x+4所满足关系 + + + 所满足关系 的寻找.根据算术平方根的意义, x2-3x+2≥0, -x2-3x+4≥0,但 + ≥ , + ≥ ,

要求两者的和必须大于0,即在不等式x2 -3x+2≥0,-x2-3x+4≥0中两个等号不 能同时成立,这是本题的难点也是一个 极其容易出错的地方.

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例3 ,f2(x)=x-1, = f3(x)=x2,则f1(f2(f3(2010)))=____. = =
1 设函数f 设函数 1(x)=x 2 =

【思路点拨】 由内到外逐次求解, 注意各次求解时函数解析式的变化.

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【解析】 f1(f2(20102))
-1. 答案】 2010【答案】

f1(f2(f3(2010)))=
1 2

=f1((20102)-1)=((20102)-1) =
1 2010

故填2010-1.

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【点评】 本题的难点在于对函数 多次复合的理解,破解这个难点的方法 是理解这个复合的过程,根据给出的三 个函数,当a>0时这个复合过程是f3(a)= a2,f2(f3(a))=f2(a2)=(a2)-1,f1(f2(f3(a))) =f((a2)-1)=((a2)-1)
1 -1 2 =a ,理解了这

个过程就化解了这个难点.

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例4
1 的值域是[ 若函数 y=f(x)的值域是 2,3], = 的值域是 , 1 则 函 数 F(x) = f(x) + f(x) 的 值 域 是 ________. .

【思路点拨】 令 t=f(x),将函数 思路点拨】 = , 1 1 F(x)=f(x)+ 转化为函数 g(t)=t+ t , = +f(x) =+ 的性质求解. 根据函数 g(t)的性质求解. 的性质求解

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令 t=f(x),则 F(x)的值 = , 的值 1 1 的值域, 域就是函数 g(t)=t+ t (t∈[2,3])的值域, =+ ∈ 的值域 1 这个函数在[ 上单调递减, 这个函数在 2,1]上单调递减,在[1,3]上 上单调递减 上 10 单调递增,检验端点值得值域为[2, . 单调递增,检验端点值得值域为 , 3 ].
【答案】 答案】 10 [2, ] ,3

【解析】 解析】

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【点评】 本题的难点是 F(x)=f(x) 点评】 = 1 构成的, +f(x)是由函数 f(x)构成的,把 f(x)看做一 构成的 看做一 个整体进行换元是化解这个难点的关 a 键.换元后归结为函数 y=x+x(a>0)在指 = + 在指 a 定区间上的值域问题, 定区间上的值域问题,函数 y=x+x(a>0) = + 是一个十分重要的函数, 这个函数在(0, a 是一个十分重要的函数, 这个函数在 , 上单调递减, ,+∞ 上单调递增. 上单调递减,在[ a,+∞)上单调递增. ,+ 上单调递增

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热点二 函数的性质及其在解决问题中的应用

1.函数的奇偶性:紧扣函 数奇偶性的定义和函数的定义域 区间关于坐标原点对称、函数图 象的对称性等对问题进行分析转 化,特别注意“奇函数若在x=0 处有定义,则一定有f(0)=0;偶 函数一定有f(|x|)=f(x)”在解题中 的应用.

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2.函数的单调性:一是紧 扣定义;二是充分利用函数的 奇偶性、函数的周期性和函数 图象的直观性进行分析转 化.函数的单调性往往与不等 式的解、方程的解等问题交汇, 要注意这些知识的综合运用.

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3.函数的周期性:函数 的周期性在试题中往往不是 直接给出的,考生要善于通 过其他函数性质进行推理, 将问题转化为明显的周期函 数,再根据函数的周期性分 析解决问题.

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4.函数的最值:一是要 善于根据函数的单调性分析 函数的最值;二是要善于结 合函数图象、数形结合分析 问题;三是要掌握一些典型 的求函数最值的方法,如公 式法(二次函数的最值等)、 判别式法、换元法等.

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例5

1+ax + 1+2x + 定义在区间(-b,b)内的函

设a、b∈R,且a≠2,若

数f(x)=lg

是奇函数,

则a+b的取值范围______.

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【思路点拨】 根据奇函数的概念可以 确定实数a的值,这样就可以确定函数f(x)的定 义域,根据题目可知区间(-b,b)应该是这个 定义域的子区间,这样就可以确定实数b的取 值范围,问题就解决了.

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1-ax - f(-x)+f(x)=lg - + = + 1-2x -

解析】 【解析】

1+ax + 1-a2x2 1-a2x2 - - lg = lg =0,∴ = 1+2x 1-4x2 1-4x2 + - - 1.∴(a2-4)x2=0.∵x2 不恒为 0,∴a2=4. ∴ ∵ , 1-2x - =-2, . 又 a≠2,故 a=- ,∴f(x)=lg ≠ , =- = 1+2x +

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1-2x - 1 1 >0,得- <x< .由题意,知 由题意, 由 , 2 2 由题意 1+2x + 1 1 1 (-b,b)?(- , ),∴0<b≤ ,故-2<a - , ? -2 2 , ≤2 3 +b≤-2. ≤
【答案】 答案】 3 (-2,- ] - ,-2

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【点评】 当一个函数是奇函数时,根据 奇函数的定义知对定义域内的任意x恒有f(-x) =-f(x),这样就把问题归结为一个等式恒成 立问题,由于自变量x不恒为零,这样就可以 得到参数所满足的关系式,从而求出参数的 值.当奇函数的定义域包含0时,在解选择题、 填空题时,也可以用f(0)=0确定参数的值,但 并不是所有的题目均可用此法,本题就不能用 这个办法解决.还要注意函数的定义域不能是 空集.

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例6

设f(x)是连续的偶函数,

且当x>0时,f(x)是单调函 x+3 + 数,则满足f(x)=f( 的所有x之和为 ________.
x+4 +

)

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【思路点拨】 由函数联想图象,若x,

x+3 + 都在y轴一侧,则这两个式子相等,在y轴两侧, x+4 + 则其互为相反数,直接求解.

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【解析】 依题意,当满足 f(x)= 解析】 依题意, = x+3 x+3 + + f( )时,即 x= 时 = 时,得 x2+3x x+4 x+4 + + =-3.又 -3=0, = , 此时 x1+x2=- 又 f(x)是连 是连 续的偶函数, 续的偶函数, ∴f(- x)= f(x). ∴ 另一种情形是 - = . x+3 + f(-x)=f( ), - = , x+4 +

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x+3 + 即-x=x+4 +

,得x2+5x+3=
x+3 + x+4 +

0.

∴x3+x4=-5. ∴满足f(x)=f( 【答案】 -8 答案】

)的所有x之

和为-3+(-5)=-8.故填-8.

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【点评】 本题将函数的奇偶性、 单调性和根与系数的关系结合起来, 试题的难度虽然不是很大,但对考生 思维的缜密性要求较高.由偶函数, 知f(x)=f(|x|),用好这个结论对解决本 题很有帮助.

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热点三 闭区间上的二次函数最值

1.数形结合:二次函数是 在中学阶段研究最透彻的函数 之一,二次函数的图象是抛物 线,在解题时要会根据二次函 数的图象分析问题,如二次函 数的对称轴方程、顶点坐标 等.

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2.分类讨论:对含有参数 的问题,参数在不同范围内取值, 使得问题的发展方向不同,就需 要进行分类讨论.对于含有可变 参数的二次函数的最值其分类讨 论的切入点一般有下面几点:一 是二次函数图象的开口方向,即 二次函数中二次项系数的符号, 这决定着二次函数性质的变化;

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二是二次函数图象的对称轴位置, 这决定着二次函数单调性的变化; 三是区间的端点,这决定着二次 函数在这个区间上最值的变 化.在分析讨论问题时要牢牢抓 住这几个要点,就可以找到分类 讨论的标准,化解这类问题的难 点.

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例7 若f(x)=ax2+(2a-1)x-3(a≠0) = - - 3 上的最大值为1, 在[- ,2]上的最大值为 ,则实 - 上的最大值为 2 的值是________. 数a的值是 的值是 .

【思路点拨】 二次项系数不确定、对称 轴位置不确定,但二次函数取最大值的点不是在 区间端点就是在函数图象的顶点处,根据这个规 律分类求解.

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【解析】 f(x)的最大值只能在 x1= 解析】 的最大值只能在 1-2a - 3 处取得. -2,或 x2=2,或 x3= 2a 处取得. , 3 10 (1)令 f(- )=1,得 a=- ,此时 x3= 令 -2 = , =- 3 1-2a - 23 3 [- 2], y 2a =-20∈ -2, ,故 的最大值 10 处取得. =- 不可能在 x1 处取得.(a=- 3 ,抛物线 开口向下) 开口向下

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3 (2)令 f(2)=1,解得 a= ,此时 x3= 令 = , =4 1-2a - 1 2 2a =-3,对称轴离区间端点 的距离 3 远,故 f(x)max=f(2),得 a=4,符合题意. , = 符合题意. 1-2a - -3±2 2 (3)令 f( )=1, .根据 令 解得 a= = 根据 2a = , 2 1-2a - 3 题意必须 a<0,且 x3= 2a ∈[-2,2]. , - .

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3+2 2 + 经检验,只有 a=- 经检验, =- 时, 2 3 才有 x3∈[-2,2]. - . 3+2 2 + 3 3 综上, = 综上,a=4或 a=- 2 .故填4或 =- 故填 3+2 2 + - 2 .
【答案】 答案】 3+2 2 + 3 4或- 2

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【点评】 本题的难点在于函数图 象的开口方向和对称轴位置都不确定, 3 如果直接分类求出函数在区间[- ,2] 2 上的最大值g(a)的表达式,再通过解方程 的方法求解a的值,则是十分复杂的.本 题从二次函数在一个闭区间上知函数只

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能在三点处取最值,就对这三点分类讨 论进行取舍,成功地化解了这个难 点.二次函数在闭区间上的最值,受制 于对称轴与区间的相对位置及开口方 向.特别是含参数的二次函数在闭区间 上的最值,通过观察函数图象,分类讨 论是解决这类问题的关键.

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热点四 指数函数与对数函数

1.熟练掌握基础知识: 该部分的基础知识包括:有理 n 指数幂的运算性质、对数的性 m 质、对数的运算性质、对数的 换底公式,特别是logambn= logab(a>0,a≠1,b>0),指数 函数、对数函数的图象和性质

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2.掌握一些必要的解题方 法:指数函数与对数函数往往 不是孤立地存在于数学问题中, 它们往往与其他知识交汇构成 数学试题,这类数学试题一般 都有相对固定的解题方法,掌 握必要的解题方法是化解试题 难点的关键所在,如解决奇偶 函数构成的函数方程的方法、 求函数解析式的换元法等.

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例8 已知f(3x)=4xlog 3+179,则f(2)+ 已知 = , + 2 + f(4)+f(8)+…+f(210)的值等于 的值等于______. + + + 的值等于 .
【思路点拨】 根据f(3x)=4xlog23+179, 用整体代换的方法求出函数f(x)的解析式,然后 进行具体运算.

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【解析】 ∵f(3x)=4xlog23 ? +179=4log23x+179?f(x)= 4log2x+179, ∴f(2)+f(4)+f(8)+…+f(210) =10×179+4(log22+2log22 +3log22+…+10log22)=1790+ 220=2010.故填2010.
【答案】 2010

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【点评】 本题的难点是求函数f(x) 的解析式,求这类函数解析式一般有两种 方法:一是进行整体代换,即在已知的函 数关系中按照3x进行整理,最后把所有的 3x换成x即可;二是进行换元,如本题中 只要令3x=t(t>0),则x=log3t,将这些结 果代入已知函数关系式就得到一个关于t 的函数f(t),根据函数的概念用x代替t并不 改变函数的本质,这样就求出了f(x).本 题还要注意对数的运算性质的运用.

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例9 已知函数 已知函数f(x)=lg[(a2-1)x2+(a+1)x = + 的值域为(- ,+ ,+∞), +1],若f(x)的值域为 -∞,+ ,则实 , 的值域为 的取值范围是_______. 数a的取值范围是 的取值范围是
【思路点拨】 这是一个复合函数,内 层函数中二次项的系数不确定,根据二次项系 数进行分类.

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【解析】 设t=(a2-1)x2+(a +1)x+1.∵f(x)∈(-∞,+∞),∴ t (0 ∞) 函数t的值域包含区间(0,+∞), 即t只要能取到(0,+∞)上的任何 ?a2-1>0, , 实数即满足要求. ? 2 ?
若 a -1≠0,则 ≠ , 5 ?1<a≤3; ≤

??=(a+1)2-4(a2-1)≥0 ≥ ? = +

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若a2-1=0,则a=±1,当a =1时,t=2x+1满足要求;当a =-1时,t=1(舍去). 5 3 综上所述:1≤a≤ .
【答案】 1≤a≤ 5 答案】 3

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【点评】 本题的难点是对数函数性质 的运用,对数函数的定义域是(0,+∞),值 域是(-∞,+∞)的前提条件是自变量取遍(0, ∞) (0 ∞) +∞)中的所有值,缺少(0,+∞)中的任何一 个自变量的值,对数函数的值域都不是(-∞, +∞),这样本题中的内层函数的值域就要至 少取遍(0,+∞)内的所有值,即函数t的值域 包含区间(0,+∞),这样就把问题明朗化, 难点也被化解了.

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热点五 函数的图象变换

1.明确变换规则: (1)平移变换:一般地,函数 y=f(x-a)+h的图象,可以由函 数y=f(x)的图象平移得到.其中 左右平移的规则是:若a>0,向 右平移a个单位,若a<0,向左 平移-a个单位;上下平移的规 则是:若h>0,向上平移h个单 位,若h<0,向下平移-h个单

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(2)对称变换:①函数y= f(-x)的图象是使函数y=f(x)的 图象上每个点的纵坐标不变、 横坐标变为原来的相反数,故 把y=f(x)作关于y轴的轴对称 变换就得到函数y=f(-x)的图 象,这样的两个函数图象关于 y轴对称; ②与①类似,把y=f(x)作 关于x轴的轴对称变换就得到

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③函数y=-f(-x)图象可 以看做是把函数y=f(x)的图象 的每个点的纵横坐标都变为原 来的相反数,这样的两个点关 于坐标原点对称,因此只要把 函数y=f(x)的图象按照坐标原 点作中心对称就得到函数y= -f(-x)的图象,这样的两个 函数图象关于坐标原点对称.

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2.树立转化思想:当函数 图象之间的关系不明确时,要 善于通过变换函数解析式使问 题明朗化,这样就可以通过图 象变换规则化解题目的难点.

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例10 若函数f(x)=kax-a-x(a>0且a≠1)在 若函数 = 且 在 (-∞,+ 上既是奇函数,又是增函 - ,+∞)上既是奇函数, ,+ 上既是奇函数 的图象是_______ 数,则g(x)= loga(x+k)的图象是 = + 的图象是 _. .

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【思路点拨】 决定函数g(x)=loga(x +k)的关键因素是a,k的值,根据已知确定 这两个值.

【解析】 对任意x,f(-x) + f(x)=0,即ka-x-ax+kax- a-x=0, ∴(k-1)(a-x+ax)=0. ∵a-x+ax≠0,∴k=1.

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∴f(x)=ax-a-x,g(x)=loga(x+ 1). ∵f(x)=ax-a-x在(-∞,+∞) 上为增函数,故a>1, ∴g(x)=loga(x+1)在(-1,+∞) 上为增函数.
【答案】 ③

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【点评】 本题的难点是对a的取值 范围和k的值的确定,化解它的方法就是根 据f(x)的性质,一是根据函数是奇函数确定 k的值,当得到(k-1)(a-x+ax)=0时,这个 恒等式要对任意x恒成立,这时只能是k-1 =0,即k=1;二是函数f(x)=ax-a-x在(- ∞,+∞)上为增函数时a的范围的确定,化 解的方法是依据0<a<1和a>1进行分类讨论, 在一些综合性问题中往往有多处难点,在 解题时就要利用题中条件各个击破.

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热点六 函数零点问题

1.树立数形结合的思想意识: 由方程的根与函数零点的关系可 知,求方程f(x)=0的实数根,就 是确定函数y=f(x)的零点,也就 是求函数y=f(x)的图象与x轴的交 点的横坐标.这样,就将方程f(x) =0、函数y=f(x)及函数图象三 者有机地结合了起来,体现了

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对于那些不能用公式法求根的 方程f(x)=0来说,可以将方程 f(x)=0与函数y=f(x)联系起来, 并利用函数的性质找出零点, 从而求出方程的根.为解决方 程f(x)=g(x)的解的个数问题, 我们将方程的根与函数零点的 关系进一步推广为:方程f(x)= g(x)有实数根?函数y=f(x)与y =g(x)的图象有交

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点.由此知,求方程f(x)=g(x) 的实数根就是确定函数y=f(x)与 y f(x) y=g(x)的图象交点的横坐标, 而方程f(x)=g(x)的实数根的个 数可根据两函数图象的交点个 数来判断.数形结合是化解函 数零点问题的一个利器.

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2.用好函数的零点定理: 函数的零点定理是判断一个函 数在指定区间上是否存在零点 的依据,对函数零点定理,要 从下列几方面进一步理解: (1)函数的图象是连续的, 当它通过零点(不是二重零点) 时,函数值变号; (2)相邻两个零点之间的所 有函数值保持同号;

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(3)在函数的某一单调区间 内,至多有一个零点; (4)如果函数y=f(x)在一个 区间[a,b]上的图象不间断, 并且它的两个端点处的函数值 异号,即f(a)·f(b)<0,则这个函 数在这个区间至少有一个零 点. 还要注意函数的零点定理 只对变号零点起作用,对函数

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例11

已知定义在R上的函数f(x) =(x2-3x+2)·g(x)+3x-4, 其中函数y=g(x)的图象是一个 连续曲线,则方程f(x)=0在下 面哪个范围内必有实数根 思路点拨】 【思路点拨】 ________. 根据函数的零点定理 分析判断,注意零点定理的使用条件. 分析判断,注意零点定理的使用条件. ①(0,1) ②(1,2) ③(2,3) ④(3,4)

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【解析】 f(x)=(x2-3x+ 2)·g(x)+3x-4=(x-1)(x-2)·g(x) +3x-4,故f(1)=-1<0,f(2)= 2>0.
【答案】 ②

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【点评】 根据y=g(x)图象的连续 性可以推知函数f(x)的图象也是连续的, 函数零点定理适用的条件是函数的图象 必须是“连续不断的曲线”,一般地, 函数图象在其“连续不断的定义域”上 的图象是连续不断的.

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热点七 抽象函数问题

1.加强代数推理论证:试 题中给出的函数性质往往不能 直接应用于解决问题,这时就 要把给出的函数性质进一步深 化,推证抽象函数的其他性质, 并利用这些推出的性质和已知 的性质一起对问题进行分析, 达到解决问题的目的.

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2.利用特殊值:在抽象函 数性质中给予变量一定的特殊 值,可以求出一些特殊的函数 值,这些特殊的函数值对进一 步明确这个性质具有关键作用, 这是化解抽象函数问题难点的 重要手段.

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3.用好类比:很多抽象函 数是已知函数的抽象化,在解 题中要善于观察抽象函数的性 质,并把这类性质和已知函数 的性质进行类比,找到这个抽 象函数的“原型”,用类比解 决这个“原型”的方法是解决 抽象函数问题的关键.

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例12

定义在R上的函数f(x),对于 任意实数m,n恒有:f(m+n)= f(m)·f(n),且当x>0时,0<f(x)<1. (1)求证:f(0)=1,且当x<0时, f(x)>1; (2)求证:f(x)在R上单调递减; (3)设集合A={(x, y)|f(x2)·f(y2)>f(1)},B={(x, y)|f(ax-y+2)=1,a∈R},若 A∩B=?,求a的取值范围.

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【思路点拨】 显然,此题是一个关于抽象 函数的单调性问题,因抽象函数没有具体的表达 式,所以没法直接去 作差:f(x2)-f(x1)或作商:

f(x2) 所以,要根据题目中所给的关系式通过赋值、变 f(x1)
形、构造,去寻找 f(x2)与f(x1)的关系.

,也没法用导数法,

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【解】 (1)证明:因为f(1)>0, 所以取m=1,n=0, 则f(1)=f(1)·f(0),得f(0)=1. 1 再取m=x<0,n=-x>0, 可得f(x)=
f(-x) -

>1,

即当x<0时,f(x)>1. (2)证明:设x1<x2,则f(x2)-f(x1) =f[(x2-x1)+x1]-f(x1) =f(x1)[f(x2-x1)-1]<0, 所以f(x)在R上单调递减.

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(3)由已知,得f(x2)·f(y2)=f(x2+ y2)>f(1). 由(2)知,x2+y2<1,即{(x,y)|x2+ y2<1}, 所以点集A为单位圆内的点的集合, [- 3, 3]. - , . 点集B为直线ax-y+2=0上的点的集 合, 利用直线与圆的位置关系,可得满足 A∩B=?的a的取值范围为

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【点评】 此题考查的是怎样处理 抽象函数的单调性问题.这类问题一般 是给出一个关于抽象函数的关系式,再 给出函数的某些信息或性质,处理这种 问题的关键是根据所求,利用所提供的 信息,对关系式进行恰当地赋值、变形、 构造,不断产生新的信息,同时,式子 的形式也不断接近目标的形式.

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热点八 函数模型及其应用

1.应用函数知识解应用题的 方法步骤 (1)正确地将实际问题转化为 函数模型,这是解应用题的关键, 转化来源于对已知条件的综合分 析、归纳与抽象,并与熟知的函 数模型相比较,以确定函数模型 的种类.

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(2)用相关的函数知识,进 行合理设计,确定最佳解题方 案,进行数学上的计算求解. (3)把计算获得的结果带回 到实际问题中去解释实际问题, 即对实际问题进行总结作答.

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2.解函数应用问题常见的 错误 (1)不会将实际问题抽象转 化为函数模型或转化不全面. (2)在求解过程中忽略实际 问题对变量参数的限制条件.

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例13

有一个受到污染的湖泊,其 湖水的容积为V m3,每天流出湖 泊的水量等于流入湖泊的水量, 都为r m3.现假设下雨和蒸发正好 平衡,且污染物质与湖水能很好 地混合.用g(t)表示某一时刻t每 立方米湖水所含污染物质的克数, r p ? p? ?g(0)- ?e-( )t + - - 我们称其为在时刻t时的湖水污染 r ? r? v 质量分数.已知目前污染源以每 天p克的污染物质污染湖水,湖 水污染质量

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例13

(1)当湖水污染质量分数为 常数时,求湖水污染的初始质 量分数; (2)求证:当g(0)<时,湖泊 的污染程度将越来越严重; (3)如果政府加大治污力度, 使得湖泊的所有污染停止,那 么需要经过多少天才能使湖水 的污染水平下降到开始时 (即 污染停时)污染水平的5%?

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【思路点拨】 仔细审题,透彻理解题 意,其中(1)中即g(t)为常数函数;(2)中即证明 g(t)递增;(3)中转化为解方程即可.

【解】 (1)设0≤t1<t2, 设 为常数, ∵g(t)为常数,∴g(t1)=g(t2), 为常数 = ,
r r ? p? t 即?g(0)- ?·[e-v 1-e-vt2]=0, - - - = , r? ?

p ∴ g(0)= . = r

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(2)证明: 设 0<t1<t2, 证明: 证明 则
r r ? p? t g(t1)-g(t2)=?g(0)- ?·[e-v 1-e-vt2] - = - - - r? ? r t2 r

ev - evt1 ? p? . =?g(0)- ? · r - r? (t1+ t2) ? ev p ∵ g(0)- <0,t1<t2.∴g(t1)<g(t2). - , ∴ . r 故湖泊污染质量分数随时间变化而增加, 故湖泊污染质量分数随时间变化而增加, 污染越 来越严重. 来越严重.

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(3)污染源停止,即 p=0, 污染源停止, 污染源停止 = , 此时 g(t)=g(0)·e =


t. v

r

设要经过 t 天能使湖水的污染水平下降 到开始时污染水平的 5%. 即 g(t)=5%·g(0), = , 即有 5%·g(0)=g(0)·e vt. =
r 1 - t 由实际意义知 g(0)≠0,∴ = e v . ≠ , 20 v v 天时间. ∴t= ln20(天),即需要 ln20 天时间. = 天, r r


r

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【点评】 从近几年高考应用题来看, 解答应用题重点要把握三关:(1)事理关.即 需要具备一定的阅读理解能力;(2)文理 关.需要把实际问题的文字语言转化为数学 语言,用数学式子表达问题中的数量关系; (3)数理关.在构建数学模型的过程中,要求 具备对数学知识的检索、认定的能力;构建 了数学模型后,还必须有比较扎实的基础知 识和较强的数学推理能力.解答应用题的关 键在于将题意转化为数学语言与数学关系, 这需要平时的积累.


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