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福建省晋江市季延中学2012-2013学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案

高一下学期期末考试数学试题
一、选择题(每小题 5 分,共 10 小题) 1、直线 3x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角为 ( A.30? B.60? C.120? ) D. 150? )

2.已知等差数列 {an } 满足, a3 ? a15 ? 20 ,则 S17 等于( A.90 B.95 C.170 ) 。 D.340

3.设 a ? b , c ? d ,则下列不等式成立的是( A. a ? c ? b ? d B. ac ? bd C.

a d ? c b

D. b ? d ? a ? c )

4.直线 ?1 ? a ? x ? y ?1 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 相切,则 a 的值为( A. 1 或 ?1 B. ?2 C. 1 D. ?1

5.若圆心坐标为(2,-1)的圆在直线 x ? y ? 1 ? 0 上截得的弦长为 2 2 ,则这个 圆的方程是(
2


2

A. ?x ? 2? ? ? y ? 1? ? 4 C. ?x ? 2? ? ? y ? 1? ? 2
2 2

B. ?x ? 2? ? ? y ? 1? ? 4
2 2

D. ?x ? 2? ? ? y ? 1? ? 2
2 2

6.已知点(3,1)和(- 4,6)在直线 3x ? 2 y ? a ? 0 的两侧,则 a 的取值范围是( A. a <-7 或 a >24 B. a =7 或 a =24 C. -7< a <24 D. -24< a <7



7. a ,b,c 表示直线,M 表示平面,给出下列四个命题:①若 a ∥M,b∥M,则 a ∥b;② 若 b ? M, a ∥b,则 a ∥M;③若 a ⊥c,b⊥c,则 a ∥b;④若 a ⊥M,b⊥M,则 a ∥b.其中 正确命题的个数有( A.0 个 B.1 个 ) C.2 个 D.3 个 )

8. ? ABC 中, sin A : sin B : sin C = 2 : 6 : ( 3 + 1) ,则三角形的最小内角是( A. 60
?

B. 45

?

C. 30

?

D.以上答案都不对 ) D.等腰或直角三角形 )

9.在 ?ABC 中,若 A.等腰三角形

c cos C ? ,则此三角形为( b cos B

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

10.方程 4 ? x 2 ? k ( x ? 2) ? 3 有两个不等实根,则 k 的取值范围是(

A. (0,

5 ) 12

B. (

5 ,?? ) 12

C. [ , ]

1 3 3 4

D. (

5 3 , ] 12 4

二、填空题(每小题 5 分,共 6 小题)

? x ? y ? 5 ? 0, ? 11.已知 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, 则 z ? 4 x ? y 的最小值为______________. ? x ? 3. ?

12.如图,一个空间几何体的三视图,其正视图与侧视图是边长为 2 的正三角形、俯视图轮 廓是边长为 2 的正方形,则其体积是 13.在△ABC 中,若 a = 2 , b ? 2 3 , A ? 30
2
0

. , 则角 B 等于

14.若关于 x 的不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集为 ( ? 解集为 .

1 1 , ) ,则不等式 ax2 ? bx ? 2 ? 0 的 2 3

15.若正实数 a , b 满足 2a ? b ? 1 ,则

1 1 ? 的最小值为 a 2b

16.等差数列 {an } 中, Sn 是它的前 n 项之和,且 S6 ? S7 , S7 ? S8 ,则: ①比数列的公差 d ? 0 ; ③ a7 是各项中最大的一项; ② S7 一定是 Sn 中的最大值; ④ S9 一定小于 S6 .

其中正确的是____________________(填入你认为正确的所有序号) .

三、解答题(6 小题,共 70 分,要求写出解答步骤和过程) 17. (本小题满分 10 分) 已知集合 A= {x | ax ? (2 ? a) x ? 2 ? 0, a ? 0} ,
2

B= {x | x ? 2 x ? 3 ? 0} ,且 A ? B =B,求实数 a 的取值范围。
2

18. (本小题满分 10 分)直线 y ? ?

3 x ? 1 和 x 轴, y 轴分别交于点 A, B ,在线段 AB 为 3
1 2

边在第一象限内作等边△ ABC , 如果在第一象限内有一点 P (m, ) 使得△ ABP 和△ ABC 的面积相等。 (1)求 m 的值。 (2)求点 C 坐标。

20.(本小题满分 12 分)在 ?ABC 中, ?ABC 的面积为 S ,且 A ? 120 .
?

(1)若 b ? 2 且 S ? 2 3 ,求 a 的值; (2)若 a ? 2 ,求 S 的最大值.

21.(本小题满分 12 分)如图,甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方向航行,乙船按固定 方向匀速直线航行,当甲船位于 A 1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105 的方向 B 1 处,此时两船 相距 20 海里。 当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120 方向的 B2 处, 此时两船相距 10 2 海里,问乙船每小时航行多少海里?
? ?

22. (本小题满分 14 分)设数列 ?an ? 的前项 n 和为 S n ,若对于任意的正整数 n 都有

S n ? 2an ? 3n .
(1)设 bn ? an ? 3 ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列。 (2)求数列 {nan } 的前 n 项和 Tn . (3)若实数 t 使得 an ? t 4 n 恒成立,求 t 的取值范围。

三、解答题 17.解: B ? (?1,3) (1)a=0 时,不满足 (2)a>0 时, A ? (? 综上, a ? 2 18.解: (1)由已知可得直线 CP // AB ,设 CP 的方程为 y ? ?

2 2 ,1) ,因为 A ? B =B,所以 A ? B ,所以 ? ? ?1 , a ? 2 a a

3 x ? c, (c ? 1) 3



1 3 c ?1 3 x ? 3 过 P ( m, ) ? AB ? ? 3, c ? 3 , y ? ? 2 3 2 1 1? 3



1 3 5 3 ?? m ? 3, m ? 2 3 2

(2) A( 3,0), B(0,1) ,所以线段 AB 的中垂线为 y ? 3x ? 1 ,与 PC 联立得 C ( 3,2) , 所以 C ( 3,2) 。 19、证明: (1)连结 AC 1 1?B 1D 1 ?O 1 1 1 ,设 AC 连结 AO1 ,? ABCD ? A 1B 1C1D 1 是正方体

? A1 ACC1 是平行四边形

? AC 1 1 ? AC 1 1 ? AC 且 AC
又 O1 , O 分别是 A1C1 , AC 的中点,?O1C1 ? AO 且 O1C1 ? AO

? AOC1O1 是平行四边形

?C1O ? AO1 , AO1 ? 面 AB1D1 , C1O ? 面 AB1D1

? C1O ? 面 AB1D1

(2)? CC1 ? 面 A1B1C1D1

?CC1 ? B1D!

又? AC ? B1D1 1 1 ?B 1D 1, ?B 1D 1 ? 面AC 1 1C 即AC 1 同理可证 AC ? AB1 , 1 又 D1B1 ? AB1 ? B1

? 面 AB1D1 ? AC 1

20.解: (1)若 b ? 2 且 S ? 2 3 ,由 S ?
2 2 2

1 1 3 bc sin A 得: ? 2c ? ? 2 3 ,∴ c ? 4 , 2 2 2

∴ a ? b ? c ? 2bc cos A ? 4 ? 16 ? 2 ? 2 ? 4 ? (? ) ? 28 ,∴ a ? 2 7 .
2 2 (2)∵ a ? 2 ,∴ b ? c ? bc ? 4

1 2

∵ b ? c ? 2bc ,
2 2

∴ 3bc ? 4 ,∴ bc ?

4 , (当且仅当 b ? c 时取等号) 3

∴ S?

1 1 4 3 3 3 ,∴ S max ? . bc sin A ? ? ? ? 2 2 3 2 3 3

21.解:如图所示,连结 A1B2,由已知 A2B2= 10 2 ,?

因此,乙船的速度的大小为

10 2 ×60= 30 2 (海里/小时).? 20

答 乙船每小时航行 30 2 海里.? 22.解: (1)? S n ? 2an ? 3n 对于任意的正整数都成立, ? S n?1 ? 2an?1 ? 3?n ? 1? 两式相减,得 S n?1 ? S n ? 2an?1 ? 3?n ? 1? ? 2an ? 3n ∴ an?1 ? 2an?1 ? 2an ? 3 , 即 an?1 ? 2an ? 3 ,? an?1 ? 3 ? 2?an ? 3? 由已知得 S1 ? 2a1 ? 3 即 a1 ? 2a1 ? 3,? a1 ? 3

∴首项 b1 ? a1 ? 3 ? 6 ,即 bn ? ∴数列 ?bn ? 是等比数列。

an ?1 ? 3 ? 2 对一切正整数都成立。 an ? 3

?bn ? 6 ? 2n?1 。?an ? 6 ? 2n?1 ? 3 ? 3 ? 2n ? 3 。
(2) ? nan ? 3 ? n ? 2n ? 3n, ? Sn ? 3(1 ? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n ) ? 3(1 ? 2 ? 3 ? ? ? n), 2Sn ? 3(1 ? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 2 4 ? ? ? n ? 2 n ?1 ) ? 6(1 ? 2 ? 3 ? ? ? n), ? Sn ? 3(2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ) ? 3n ? 2n ?1 ? 3(1 ? 2 ? 3 ? ? ? n), 2(2n ? 1) 3n( n ? 1) ? 6n ? 2 n ? 2 ?1 2 3 n ( n ? 1) ? Sn ? (6n ? 6) ? 2n ? 6 ? . 2 ? 3?


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