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2015-2016学年湖北省襄阳市高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)


2015-2016 学年湖北省襄阳市高二(下)期末数学试卷(文科)
一、选择题(本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.已知 f(x)= ,则 f′(1)=( A.2 B.﹣2 C.1 D.﹣1 ) )

2.函数 f(x)=x3+ x2﹣6x+4 的极值点有( A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 3.抛物线 x2=2y 的焦点到其准线的距离是( A.1 B.2 C.3 D.4 4.直线 2x﹣y+2=0 过椭圆 为( A. ) + =1 B.x2+ =1 +



=1(A>0,B>0)的一个焦点和一个顶点,椭圆的方程

C.

+

=1 或

+

=1

D.

+

=1 或 x2+

=1

5.已知命题 p:? x∈R,使得 x2﹣x+2<0;命题 q:? x∈[1,2],使得 x2≥1.以下命题 为真命题的是( ) A.¬p∧¬q B.p∨¬q C.¬p∧q D.p∧q 6.过椭圆 + =1 内一点 P(1,1)的直线 l 与椭圆交于 A、B 两点,且 P 是线段 AB 的

中点,则直线 l 的方程是 ( ) A.x+2y﹣3=0 B.x﹣2y+1=0 C.2x+y﹣3=0 7.已知 F1、F2 为椭圆 C: 则 cos∠F1PF2=( A. B.﹣ ) C.﹣ D.

D.2x﹣y﹣1=0

+y2=1 的左、右焦点,点 P 在椭圆 C 上,且|PF1|﹣|PF2|=2,

8.若 a、b∈R,则“a2+b2≥4“是“a+b≥4”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 9.直线 y=a 分别与函数 y=3x+3 和 y=2x+lnx 的图象相交于 M,N 两点,则|MN|的最小值 为( A.4 ) B.1 C. D. )

10.已知△ABC 的周长为 10,且 A(﹣2,0) ,B(2,0) ,则 C 点的轨迹方程是(
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A.

+

=1(y≠0)

B.

+

=1(y≠0)

C.

+

=1(y≠0)

D.

+

=1(y≠0)

11.如图,F1、F2 是双曲线

=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与双 )

曲线的左右两支分别交于点 A、B.若△ABF2 为等边三角形,则双曲线的离心率为(

A.4

B.

C.

D. ,

12. f x) b]上存在 x1, x( 定义: 如果函数 ( 在[a, 满足 2 a<x1<x2<b)

,则称函数 f(x)是[a,b]上的“双中值函数”.已知函数 f(x) =x3﹣x2+a 是[0,a]上的“双中值函数”,则实数 a 的取值范围是( A. B. ( ) C. ( ,1) D. ( ,1) )

二、填空题(本小题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知函数 f(x)=ax3+4x2+3x,若 f′(1)=2,则 a= 14.椭圆 + =1 的一个焦点是(﹣4,0) ,则其离心率是

. .

15.已知双曲线



=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线 y=x+2 平行,且它的焦点

与椭圆

+

=1 的焦点重合,则双曲线的方程为



16.如图是函数 y=f(x)的导函数 y=f′(x)的图象,给出下列命题: ①﹣3 是函数 y=f(x)的极值点; ②﹣1 是函数 y=f(x)的最小值点; ③y=f(x)在 x=0 处切线的斜率小于零; ④y=f(x)在区间(﹣3,1)上单调递增. 则正确命题的序号是 .

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三、解答题(本大题共 5 小题,60 分) 17.设命题 p:方程 + =1 表示双曲线;命题 q: + =1 表示焦点在 x 轴上

的椭圆,若 p∧q 是假命题,求 m 的取值范围. 18.已知 a 为实数,f(x)=x3+ ax2﹣6x+4. (1)当 a=﹣3 时,求 f(x)在[﹣2,3]上的最大值和最小值; (2)若 f(x)在[﹣1,1]上单调递减,求 a 的取值范围. 19.已知抛物线 E:y2=2px(p>0)的焦点为 F,抛物线上存在一点 P 到其焦点的距离为 , 且点 P 在圆 x2+y2= 上. (1)求抛物线 E 的方程; (2)直线 l 过抛物线 E 的焦点 F,交抛物线 E 于 A、B 两点,若 20.已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的离心率为

=3

,求直线 l 的方程. , ) .

,且过点 P(

(1)求椭圆 C 的方程; (2)已知直线 l:y=kx+m 被圆 O:x2+y2=2 截得的弦长为 2,且与椭圆 C 相交于两点 A、B 两点,求|AB|的最大值. 21.已知函数 f(x)=alnx+ (a∈R) ,g(x)=x2emx(m∈R) ,e=2.71828…) .

(1)若函数 f(x)在 x=2 处的切线与直线 4x﹣y=0 垂直,求函数 f(x)的单调区间; (2)若 a>0,且 m∈[﹣2,﹣1],求证:对任意 x1、x2∈[1,2],f(x1)≥g(x2)恒成 立. [选修 4-1:几何证明选讲] 22.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BE 平分∠ABC 交 AC 于 E,D 是 AB 上一点,且 DE⊥BE. (1)求证:AC 是△BDE 的外接圆的切线; (2)若 AD=2 ,AE=6 ,求 CE 的长.

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[选修 4-4:坐标系与参数方程选讲] 23.在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 (θ 为参数) .

(1)以原点 O 为极点,x 轴正方向为极轴建立极坐标系,求圆 C 的极坐标方程; (2)直线 l 的极坐标方程为 θ= ,若直线 l 与圆 C 交于 A、B 两点,求|AB|.

[选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|2x﹣1|﹣2m,g(x)=5﹣|2x+4|. (1)解不等式 g(x)≤1; (2)若 f(x)≥g(x)恒成立,求实数 m 的取值范围.

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2015-2016 学年湖北省襄阳市高二 (下) 期末数学试卷 (文 科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.已知 f(x)= ,则 f′(1)=( A.2 B.﹣2 C.1 D.﹣1 )

【考点】导数的运算. 【分析】先求导,再求值即可. 【解答】解:∵f(x)= , ∴f′(x)=﹣ ,

则 f′(1)=﹣2, 故选:B. 2.函数 f(x)=x3+ x2﹣6x+4 的极值点有( A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 【考点】利用导数研究函数的极值. 【分析】求出函数的导数,令导函数等于 0,求出极值的个数即可. 【解答】解:∵f(x)=x3+ x2﹣6x+4, ∴f′(x)=3x2+3x﹣6=3(x2+x﹣2)=3(x+2) (x﹣1) , f x =0 x=1 x= 2 ′ 令 ( ) ,解得: 或 ﹣ , 经检验 x=1,x=﹣2 是函数的极值点, 故选:C. 3.抛物线 x2=2y 的焦点到其准线的距离是( A.1 B.2 C.3 D.4 )



【考点】抛物线的简单性质. 【分析】利用抛物线的简单性质求解即可. 【解答】解:抛物线 x2=2y 的焦点到其准线的距离是:p=1. 故选:A.

4.直线 2x﹣y+2=0 过椭圆 为( )

+

=1(A>0,B>0)的一个焦点和一个顶点,椭圆的方程

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A.

+

=1

B.x2+

=1

C.

+

=1 或

+

=1

D.

+

=1 或 x2+

=1

【考点】椭圆的简单性质. 【分析】根据直线方程求得与 x 轴的交点坐标,分别讨论焦点在 x 轴或 y 轴上,分别求得 a 和 b 的值,即可求得椭圆的方程. 【解答】解:直线 2x﹣y+2=0 与 x,y 的交点分别为(1,0) , (0,2) , 假设焦点在 x 轴上, ∴a2=5, , (a>b>0) ,则 c=1,b=2,由 a2=b2+c2,

假设焦点在 y 轴上, 则 b2=5, ∴ 故选:D. ,

(b>a>0) ,则 c=2,a=1,b2=a2+c2,

5.已知命题 p:? x∈R,使得 x2﹣x+2<0;命题 q:? x∈[1,2],使得 x2≥1.以下命题 为真命题的是( ) A.¬p∧¬q B.p∨¬q C.¬p∧q D.p∧q 【考点】复合命题的真假. 【分析】根据条件求出命题 p,q 的真假,然后结合复合命题真假关系进行判断即可. 【解答】解:∵判别式△=1﹣4×2=1﹣7=﹣6<0, ∴? x∈R,使得 x2﹣x+2>0; 即命题 p:? x∈R,使得 x2﹣x+2<0 为假命题, 当 x∈[1,2]时,x2≥1 恒成立,即命题 q 是真命题, 则¬p∧q 是真命题,其余为假命题, 故选 C.

6.过椭圆

+

=1 内一点 P(1,1)的直线 l 与椭圆交于 A、B 两点,且 P 是线段 AB 的

中点,则直线 l 的方程是 ( ) A.x+2y﹣3=0 B.x﹣2y+1=0 C.2x+y﹣3=0 【考点】椭圆的简单性质.
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D.2x﹣y﹣1=0

【分析】利用“点差法”可求得直线 AB 的斜率,再利用点斜式即可求得直线 l 的方程. 【解答】解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,P(1,1)是线段 AB 的中点, 则 x1+x2=2,y1+y2=2; 点 A,B 代入椭圆方程作差,得: (x1+x2) (x1﹣x2)+ (y1+y2) (y1﹣y2)=0, 由题意知,直线 l 的斜率存在, ∴kAB=﹣ , ∴直线 l 的方程为:y﹣1=﹣ (x﹣1) , 整理得:x+2y﹣3=0. 故选:A. +y2=1 的左、右焦点,点 P 在椭圆 C 上,且|PF1|﹣|PF2|=2,

7.已知 F1、F2 为椭圆 C: 则 cos∠F1PF2=( A. B.﹣ ) C.﹣

D.

【考点】椭圆的简单性质. 【分析】由 P 在椭圆上,可得|PF1|+|PF2|=4,与已知条件联立可求得|PF1|与|PF2|,再利 用余弦定理即可求得答案. 【解答】解:椭圆的两焦点是 F1(0,﹣ ) ,F2(0, ) , ∵|PF1|﹣|PF2|=2,|PF1|+|PF2|=4, ∴|PF1|=3,|PF2|=1. △F1PF2 中,由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|?|PF2|cos∠F1PF2, 即 12=9+1﹣2×3×1×cos∠F1PF2, ∴cos∠F1PF2=﹣ , 故选:B. 8.若 a、b∈R,则“a2+b2≥4“是“a+b≥4”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 )

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】作出不等式对应的区域,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【解答】解:a2+b2≥4 表示在圆 a2+b2=4 的外部区域, a+b≥4 表示在直线 a+b=4 右上方, 由图象知,a+b≥4 表示的区域都在圆 a2+b2=4 的外部, 但圆 a2+b2=4 的外部不一定都在直线 a+b=4 的右上方, 比如 a=0,b=3 时,满足 a2+b2≥4 但 a+b≥4 不成立, 即“a2+b2≥4“是“a+b≥4”的必要不充分条件条件, 故选:B

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9.直线 y=a 分别与函数 y=3x+3 和 y=2x+lnx 的图象相交于 M,N 两点,则|MN|的最小值 为( A.4 ) B.1 C. D.

【考点】利用导数研究函数的单调性;对数函数的图象与性质. 【分析】设 M(x1,a) ,N(x2,a) ,则 3x1+3=2x2+lnx2,表示出 x1,求出|MN|,利用导数 求出|MN|的最小值. 【解答】解:设 M(x1,a) ,N(x2,a) , 3x 3=2x lnx 则 1+ 2+ 2, ∴x1= (2x2+lnx2﹣3) , ∴|MN|=x2﹣x1= (x2﹣lnx2)+1, 令 y= (x﹣lnx)+1, 则 y′= (1﹣ ) , 函数在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, ∴x=1 时,函数的最小值为 . 故选:D 10.已知△ABC 的周长为 10,且 A(﹣2,0) ,B(2,0) ,则 C 点的轨迹方程是( A. + =1(y≠0) B. + =1(y≠0) )

C.

+

=1(y≠0)

D.

+

=1(y≠0)

【考点】轨迹方程. 【分析】由△ABC 的周长及 AB 的长,得|CA|+|CB|,由椭圆的定义可判断轨迹的形状, 即可得其方程. 【解答】解:由题意知,|CA|+|CB|=10﹣|AB|=6>|AB|,
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故动点 C 在椭圆上,2a=6,焦距 2c=4,从而 b2=a2﹣c2=5, 当 C 与 A,B 共线时,A,B,C 三点不能围成三角形,故轨迹 E 不含 x 轴上的两点, ∴C 的轨迹方程为 故选:B. =1(y≠0) .

11.如图,F1、F2 是双曲线

=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与双 )

曲线的左右两支分别交于点 A、B.若△ABF2 为等边三角形,则双曲线的离心率为(

A.4

B.

C.

D.

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】由双曲线的定义,可得 F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a,BF2﹣BF1=2a,BF2=4a, F1F2=2c,再在△F1BF2 中应用余弦定理得,a,c 的关系,由离心率公式,计算即可得到所 求. 【解答】解:因为△ABF2 为等边三角形,不妨设 AB=BF2=AF2=m, A 为双曲线上一点,F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a, B 为双曲线上一点,则 BF2﹣BF1=2a,BF2=4a,F1F2=2c, 由 ,则 ,

在△F1BF2 中应用余弦定理得:4c2=4a2+16a2﹣2?2a?4a?cos120°, 得 c2=7a2,则 故选:B. .

12. f x) b]上存在 x1, x( 定义: 如果函数 ( 在[a, 满足 2 a<x1<x2<b)



,则称函数 f(x)是[a,b]上的“双中值函数”.已知函数 f(x) =x3﹣x2+a 是[0,a]上的“双中值函数”,则实数 a 的取值范围是( A. B. ( ) C. ( ,1) D. ( ,1) )

【考点】导数的几何意义. =f( = ′ x1) ′ x2) 【分析】 根据题目给出的定义可得 f( =a2﹣a, 即方程 3x2﹣2x=a2

﹣a 在区间(0,a)有两个解,利用二次函数的性质可知实数 a 的取值范围.
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【解答】解:由题意可知,∵f(x)=x3﹣x2+a,f′(x)=3x2﹣2x 在区间[0,a]存在 x1,x2(a<x1<x2<b) , 满足 f′(x1)=f′(x2)= =a2﹣a,

∵f(x)=x3﹣x2+a, ∴f′(x)=3x2﹣2x, ∴方程 3x2﹣2x=a2﹣a 在区间(0,a)有两个不相等的解. 令 g(x)=3x2﹣2x﹣a2+a, (0<x<a)





解得;



∴实数 a 的取值范围是( ,1) 故选:C 二、填空题(本小题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知函数 f(x)=ax3+4x2+3x,若 f′(1)=2,则 a= ﹣3 . 【考点】导数的运算. 【分析】先根据导数的运算法则求导,再代值计算即可. 【解答】解:函数 f(x)=ax3+4x2+3x, ∴f′(x)=3ax2+8x+3, ∴f′(1)=3a+8+3=2, ∴a=﹣3, 故答案为:﹣3.

14.椭圆

+

=1 的一个焦点是(﹣4,0) ,则其离心率是



【考点】椭圆的简单性质. 【分析】利用椭圆的焦点坐标,判断椭圆长轴所在的轴,求出 a,然后求解离心率. 【解答】解:因为椭圆 + =1 的一个焦点为(﹣4,0) ,

所以椭圆的长轴在 x 轴,所以 a2﹣9=16,所以 a=5, 所以椭圆的离心率为: 故答案为: . = .

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15.已知双曲线



=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线 y=x+2 平行,且它的焦点

与椭圆

+

=1 的焦点重合,则双曲线的方程为

=1 .

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】求出椭圆的焦点坐标,可得双曲线的焦点坐标,结合双曲线 ﹣ =1(a>0,b

>0)的一条渐近线与直线 y=x+2 平行,求出 a,b,即可得出双曲线的方程. 【解答】解:∵椭圆 + =1 的焦点为(±2 ,0) ,

∴双曲线的焦点坐标为(±2 ,0) , 2 2 2 故双曲线中的 c=2 ,且满足 c =a +b ,故 a2+b2=8 ∵双曲线 ∴a=b, ∴a=b=2, ∴双曲线的方程为 =1. ﹣ =1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线 y=x+2 平行,

故答案为:

=1.

16.如图是函数 y=f(x)的导函数 y=f′(x)的图象,给出下列命题: ①﹣3 是函数 y=f(x)的极值点; ②﹣1 是函数 y=f(x)的最小值点; ③y=f(x)在 x=0 处切线的斜率小于零; ④y=f(x)在区间(﹣3,1)上单调递增. 则正确命题的序号是 ①④ .

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性;函数在某点取得 极值的条件. 【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号,从而确定函数的单调性,得到极值点,以及 根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率.
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【解答】解:根据导函数图象可知当 x∈(﹣∞,﹣3)时,f'(x)<0,在 x∈(﹣3,1) 时,f'(x)≤0 ∴函数 y=f(x)在(﹣∞,﹣3)上单调递减,在(﹣3,1)上单调递增,故④正确 则﹣3 是函数 y=f(x)的极小值点,故①正确 ∵在(﹣3,1)上单调递增∴﹣1 不是函数 y=f(x)的最小值点,故②不正确; ∵函数 y=f(x)在 x=0 处的导数大于 0∴切线的斜率大于零,故③不正确 故答案为:①④ 三、解答题(本大题共 5 小题,60 分) 17.设命题 p:方程 + =1 表示双曲线;命题 q: + =1 表示焦点在 x 轴上

的椭圆,若 p∧q 是假命题,求 m 的取值范围. 【考点】复合命题的真假. 【分析】根据双曲线的定义求出命题 p 为真时的 m 的范围,根据椭圆的定义求出命题 q 为 真时的 m 的范围,从而求出 p,q 均为假命题时的 m 的范围. 【解答】解:由(1﹣m) (m+2)<0 得:m<﹣2 或 m>1, ∴命题 p 为真,则 m<﹣2 或 m>1, 由 2m>2﹣m>0 得: <m<2, ∴命题 q 为真,则 <m<2, ∵p∧q 是假命题, ∴p 是假命题或 q 是假命题, 由 p 是假命题得:﹣2≤m≤1, 则 q 是假命题得:m≤ 或 m≥2, ∴p∧q 是假命题时 m 的取值范围是{m|m≤1 或 m≥2}. 18.已知 a 为实数,f(x)=x3+ ax2﹣6x+4. (1)当 a=﹣3 时,求 f(x)在[﹣2,3]上的最大值和最小值; (2)若 f(x)在[﹣1,1]上单调递减,求 a 的取值范围. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (1)求出函数的导数,求出函数的极值点,计算极值和端点坐标,从而求出函数的 最值; (2)求出函数的导数,结合二次函数的性质得到关于 a 的不等式组,解出即可. 【解答】解: (1)当 a=﹣3 时,f(x)=x3+ ax2﹣6x+4, f′(x)=3x2﹣3x﹣6, 由 3x2﹣3x﹣6=0 得:x=﹣1 或 x=2 是函数 f (x)的极值点 ∴f (﹣2)=2,f(﹣1)= ,f (2)=﹣6,f(3)=﹣ ,

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∴f (x)在[﹣2,3]上的最大值是

,最小值是﹣6.

(2)f′(x)=3x2+ax﹣6, 若 f (x)在[﹣1,1]上单调递减,则 3x2+ax﹣6≤0 在[﹣1,1]上恒成立, ∴ ,即 ,解得:﹣3≤a≤3,

∴a 的取值范围是[﹣3,3]. 19.已知抛物线 E:y2=2px(p>0)的焦点为 F,抛物线上存在一点 P 到其焦点的距离为 , 且点 P 在圆 x2+y2= 上. (1)求抛物线 E 的方程; (2)直线 l 过抛物线 E 的焦点 F,交抛物线 E 于 A、B 两点,若 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】 (1)利用抛物线上存在一点 P 到其焦点的距离为 ,且点 P 在圆 x2+y2= 上,求出 p,可求抛物线 E 的方程; (2)设直线 l 的方程为 x=my+1,代入抛物线方程 得:y2﹣4my﹣4=0,利用 定坐标之间的关系,求出 m,即可求直线 l 的方程. 【解答】解: (1)设 P(x0,y0) ,则 x0+ = ,∴x0= ﹣ ∵点 P 在圆 x2+y2= 上,∴(3﹣p)2+4p(3﹣p)=9,解得:p=2 ∴抛物线的方程为 y2=4x. (2)解:设直线 l 的方程为 x=my+1 代入抛物线方程 得:y2﹣4my﹣4=0 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 y1+y2=4m,x1+x2=4m2+2 由 =3 ,得: (1﹣x1,﹣y1)=3(x2﹣1,y2) 即 1﹣x1=3(x2﹣1) ,﹣y1=3y2 2 ∴x2=1﹣2m ,y2=﹣2m ∴4m2=4﹣8m2,解得:m=± ∴直线 l 的方程为 ,

=3

,求直线 l 的方程.

=3

,确

x±y﹣1=0.

20.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,且过点 P(



) .

(1)求椭圆 C 的方程; (2)已知直线 l:y=kx+m 被圆 O:x2+y2=2 截得的弦长为 2,且与椭圆 C 相交于两点 A、B 两点,求|AB|的最大值. 【考点】椭圆的简单性质.

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【分析】 (1)利用椭椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,且过点 P(



) ,

建立方程,求出 a,b,即可求椭圆 C 的方程; (2)直线 l:y=kx+m 被圆 O:x2+y2=2 截得的弦长为 2,确定 m,k 的关系,直线代入椭圆 方程,利用韦达定理、弦长公式,即可确定结论. 【解答】解: (1)∵椭圆 C 的离心率为 ,∴ =

∵点 P( ∴a=



)在椭圆上,∴

=1,

,b=1, =1.

∴椭圆 C 的方程为

(2)∵直线 l 被圆 O 截得的弦长为 2,∴圆心 O 到直线 l 的距离 d=1 因此, =1,即 m2=1+k2

由直线 l:y=kx+m 代入椭圆方程得: (1+3k2)x2+6kmx+3(m2﹣1)=0 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1+x2=﹣ ,x1x2=

∴|AB|=

|x1﹣x2|=



=

当且仅当 2k2=1+k2,即 k=±1 时,|AB|有最大值



21.已知函数 f(x)=alnx+

(a∈R) ,g(x)=x2emx(m∈R) ,e=2.71828…) .

(1)若函数 f(x)在 x=2 处的切线与直线 4x﹣y=0 垂直,求函数 f(x)的单调区间; (2)若 a>0,且 m∈[﹣2,﹣1],求证:对任意 x1、x2∈[1,2],f(x1)≥g(x2)恒成 立. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】 (1)求出函数的导数,求出 a 的值,求出函数的单调区间即可; (2)问题等价于 f (x)min≥g (x)max,根据函数的单调性,分别求出其最值,证出结 论即可. 【解答】解: (1)f(x)的定义域是(0,+∞) ,f′(x)= ,

由已知,f′(2)=

=﹣ ,∴a=﹣1,∴f′(x)=



当 x∈(0,1]时,f′(x)≥0,f (x)是增函数, 当 x∈[1,+∞)时,f′(x)≤0,f (x)是减函数,
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∴函数 f (x)的单调递增区间是(0,1],单调递减区间是[1,+∞) . (2“对任意 x1、x2∈[1,2],f (x1)≥g (x2)恒成立”等价于“x∈[1,2],f (x)min≥g (x)max” ∵a>0,x∈[1,2],∴f′(x)>0,故 f (x)在[1,2]上是增函数 ∴f (x)min=f (1)=1, g′(x)=(mx+2)xemx, ∵m∈[﹣2,﹣1],∴﹣ ∈[1,2], ∴在[1,﹣ ]上,g′(x)≥0,在(﹣ ,2]上,g′(x)<0, 因此,g (x)在[1,﹣ ]上单调递增,在(﹣ ,2]上单调递减,

故 g(x)的最大值是 g(﹣ )=

<1,

∴对任意 x1、x2∈[1,2],f (x1)≥g (x2)恒成立. [选修 4-1:几何证明选讲] 22.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BE 平分∠ABC 交 AC 于 E,D 是 AB 上一点,且 DE⊥BE. (1)求证:AC 是△BDE 的外接圆的切线; (2)若 AD=2 ,AE=6 ,求 CE 的长.

【考点】与圆有关的比例线段;圆的切线的性质定理的证明. 【分析】 (1)取 BD 中点 O,连接 OE,求出∠CBE=∠EBO,∠OEB=∠EBO,推出∠OEB= ∠CBE,推出 OE∥BC,求出 OE⊥AC,根据切线的判定推出即可; (2)设⊙O 半径为 R,在 Rt△AOE 中,由勾股定理得出(R+2 )2=R2+(6 )2,求出 R=2 ,求出∠A=30°,∠CBE=∠OBE=30°,推出 EC= BE= R,代入求出即可.

【解答】 (1)证明:由 DE⊥BE 得:BD 是△BDE 的外接圆的直径 取 BD 中点 O,连结 OE,则 O 是△BDE 的外接圆的圆心, ∴OB=OE,∴∠OBE=∠BEO 又 BE 平分∠ABC,∴∠OBE=∠CBE ∠BEO=∠CBE,故 OE∥BC 因此 OE⊥AC,∴AC 是△BDE 的外接圆的切线. (2)解:设⊙O 半径为 R, 则在 Rt△AOE 中,由勾股定理得:OA2=AE2+OE2, 即(R+2 )2=R2+(6 )2, 解得:R=2 ,
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∴OA=2OE, ∴∠A=30°,∠AOE=60°, ∴∠CBE=∠OBE=30°, ∴EC= BE= R=3 . .

[选修 4-4:坐标系与参数方程选讲] 23.在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 (θ 为参数) .

(1)以原点 O 为极点,x 轴正方向为极轴建立极坐标系,求圆 C 的极坐标方程; (2)直线 l 的极坐标方程为 θ= ,若直线 l 与圆 C 交于 A、B 两点,求|AB|.

【考点】简单曲线的极坐标方程. 【分析】 (1)先运用同角的平方关系,求出圆 C 的普通方程,再根据公式 x=ρcosθ,y=ρsinθ 求出极坐标方程; (2)先求出直线 l 的普通方程,再求出直线 l 到圆心的距离,最后利用弦长公式求出|AB|. 【解答】解: (1)由圆 C 的参数方程为 (θ 为参数) .

由 sin2θ+cos2θ=1,可得圆 C 的普通方程为:x2+(y﹣4)2=16; 故圆 C 的极坐标方程为:ρ2cos2θ+(ρsinθ﹣4)2=16,即 ρ=8sinθ. (2)直线 l 的普通方程为 y= x,

圆心(0,4)到直线 l 的距离 d=



可得|AB|=2

=2

=4.

[选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|2x﹣1|﹣2m,g(x)=5﹣|2x+4|. (1)解不等式 g(x)≤1; (2)若 f(x)≥g(x)恒成立,求实数 m 的取值范围. 【考点】绝对值不等式的解法;绝对值三角不等式. 【分析】 (1)问题转化为|x+2|≥2,求出 x 的范围即可; (2)法一:根据函数的表达式求出函数的最小值,从而求出 m 的范围即可;法二:根据绝 对值的意义求出 h(x)的最小值,从而求出 m 的范围即可. 【解答】解: (1)∵不等式 g(x)≤1,
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∴5﹣|2x+4|≤1,∴|x+2|≥2, 解得:x≤﹣4 或 x≥0, 故不等式的解集是{x|x≤﹣4 或 x≥0}; (2)法一:令 h(x)=f(x)﹣g(x)=|2x﹣1|+|2x+4|﹣2m﹣5,

∴h(x)=



∴h(x)min=﹣2m, 若 f(x)≥g(x)恒成立, 即 h(x)≥0 恒成立, ∴﹣2m≥0,即 m≤0, 故实数 m 的范围是(﹣∞,0]. 法二:令 h(x)=f(x)﹣g(x)=2(|x﹣ |+|x+2|)﹣2m﹣5, 根据绝对值的意义, (|x﹣ |+|x+2|表示点 x 到点﹣2, 的距离, ∴(|x﹣ |+|x+2|)min=2+ = , ∴h(x)min=﹣2m, 若 f(x)≥g(x)恒成立, 即 h(x)≥0 恒成立, ∴﹣2m≥0,即 m≤0, 故实数 m 的范围是(﹣∞,0].

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2016 年 8 月 30 日

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