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物理奥林匹克第1届湖北省兴奥杯物理竞赛决赛试题高一卷答案


第 工届湖北省 兴 奥杯物理联 赛决赛试题

参考答案及评分标准
(高 一 )
一、解⒈ 设 ε 4B、 CD棒 的速度分别为%t口 2助 日 【 时刻 速度分别为 Gl、 G2。 那么 ∷ G: 〓 Δ vl/Δ J ∶ o2 =Δ v2/Δ J CD棒 上 的感应 电动势分别为 则
^B、
ε

〓 JJc,l 〓 BJv2

ε

因而 回路 中的 电流为

B、 可 知 Ⅱ CD棒 受 到 的安 培 力 均 为



T:′ △ B刀
B、 因此 £ CD棒 的加 速 度 为
Gl
〓 〓

F-F: m
Fj

FR-B:J2(vl-v2) mR
,z)

G2

B2J2(v:亠



m

mR
〃 J〓 o Δ Δ

当回路中电流达到稳定时 ,有

⑥ ⑦ ⑧

由③式得 显然 由⑤⑧两式可得

〓 o 簧竿 ;|-翎 〓 〓 孥 告 或q〓
{钅

G2

V1-V2〓 将⑨代人③得
'〓

FR
2:2J2

∶ :;

评分标准 :本 题 zO分 。 能正确得到以上各式各得 2分 。 二 、解】 经历一个循环后系统对外做净功 【 × yrˉ %)=(艿 -1)P。 ‰ 0c和 cd过 程均为放热过程 ,考 虑 Gb过 程吸热 (等 压过程 )
-p。

7=(zp。



〓 ■ 口

Q1〓

(%-△ )丁

F-%⒎ ÷

%)∷

〓 卩(yrˉ Γ 丐 。

%)F5(Ξ ·1)P。 ‰



do过 程吸热 (等 容过程 )
Q2〓 Cy(飞

-rJ)F÷ 卩 Trd冫 G

=钅|(,ε -卩 d)吒 则该循环 的效率为



1.sp。

%



η〓

V~〓

Q1+Q2 5yrˉ

yr·

1

3.5



显然 ,η (yr)为 丁增函数。 评分标准 :本 题 ,0分 。 能正确得出①、 ③式各 5分 ,得 出④式 5分 ②、 三、解】 如图所示 ,o为 地心 ,%为 地球半径。 【 地表附近有一 。 个薄环行层为光的圆折射通道 由惠更斯原理可知 ,波 前与波线正 交 ,因 雨波前的形状保持不变。

.

咩〓 ←屮


② ③

其中,Ⅱ J为 地球表面处大气的折射率,n为 距地心

:

'处

大气的折射

ˉ (GpJ+1)· 、 〓(cp亻 e^η +1)· 其 中 ,丬 是所能发生圆折射的地球表面的空气密度。 由题设


r

1~r-r。 e-∵ ≈
pJ(Γ -r。 )+(Γ -r。 )〓 GpJ
r-·
r。







Γ

④ ⑤





=∷

而 r≈ 、
中 扫 卜 皙 案 正 二 扬 ∶


Gp。
±n。

⑥ -1 ⑦

对 地 表 大气 比较 以上 两 式 可得

J 卩




(i|-i}‘

-i) 祝

=4.58



:分 ∶ 评分标准:本 题 犭 ∷ 能芷确给出①式得 ⒍ ,芷 确得出③④⑥式各 ⒋分 ,正 确得出⑤ 分 ⑦式各 2分 ,⑧ 式得 3分 。

四、解】 由于碰撞过程满足动量守恒定律 【
}尻

· 〓 疵 (午 十 ∷ (孥
)瓦
〓 ˉ



根据矢量 三 角形 ,由 余 弦定理可得
m
2‘


2

旷 +E∠ ~2匕 。 j △ 甄。 。 丐 c2 c C
C



由于能量守恒

几 〓m。
t,。

式 中 :v∶ 〓 9v=÷ ,c表 示真空 中 光 淬 叩 号
因为
m〓

'〓
.

ov+mcz



m。



由②③④得 因此 ,散 射光子的波长为

⊥圭 ÷青芳
^〓

蹋 叫咱 〓 ^1~。 '
osJ)

-㈩ 沪

2

④ ⑤

〓`+石 045A
5。

(1T ∷ 钅 cos⑶

⑥ ⑦

曲前 面 的能量守恒表达式 ,有

由于

以 姑 -护c屮 门
:J《 〓 3.58× 10ˉ m∶ c2〓
8。

mc 〓Ⅱ 十△
Ocz∶

(9,。

-v)

2火 10丬

4J



因此可 以使用非相对论近似 1 2· 〓 (c,。 m。 乙 九 -v) 丁




评分标准 :本 题 犭 分.能 正确写出①或②式得 3分 ,写 出③式得 3分 ,④ ⑤两式各 2分 正确得出⑥式并正确计算出波长来得 5分 ,能 指出近似的条件并得出⑨式得 5分 ,能 正确求 出 ,得 5分 。 五、解】 不难理解 ,对 任意 均匀带电的圆环 (设 半径 R,圆 心在 o′ 点 ),其 圆心所在 【 一 处的电场强度一定为零 我们先任取 均匀带电〈 电荷密度为 圆环 (如 图所示 )∶ 另取一根也.带 同种电 线 一 ^)的 ∷ ∶ 荷、 线电荷密度也为 直线 Ⅲ ,与 均匀带电圆环相切。
.

∷乙

·dJ讯 ”



8

^的

— 省 ∫ — Ⅱ 谲 } ·
1‘


∷∷ 过 圆心:0′ 引两条夹角 Δ 0的 射线 ,分 别在 圆和直 J→ 么 线上截取 As和 Δ 由于 Δ 0,可 以将 带 电微元 As和 e→ 兑 Δ 看做点 电荷。 其带 电量分别为
g:亠 和 由此 可 知 ,g在 Ξ


刂·



C

AJ

`

① J ②

g〓
o′ 处

s〓

的场 强 为



^R▲


〓Ψ E〓 Δ h∮卜 Ι

o′

彤 到 Δ 的距离为 r,则 g.在

o′

处 的场强为

乃 l主 Δ △ 卫〓 r屮 乒 r
E′

④ ⑤

而 所以



Ξ Δ

J R r
1生

〓 巧



j∶

lΨ Δ Δ〓 亠
E′

^≡

⑥ ⑦

峦 即带电微 丌 As与 Δ 在 o′ 处产生 的电场是 等价 的。 推雨广之 ,带 电直线∷ CH与 带电囱弧 玎 在 o′ 段 处产生的电场是等价的。

:


ABC必 存在一个带同种电荷 对题设的带电 Δ
:

∷ 线电荷密度也为 内切 圆环 ,由 圆的对称 性可∷∶ `∴ ^的 知 ,内 切圆环的圆心处的电场强度为零。 即 在这一三角形所在的平面上、 角形附近的区 三 ° 域中 ,必 有一点的电场强度为零。 设电场强度为零的点的坐标为 (Ξ ,y), 由题设条件
y
〓劣 tanα

∷ ˉ ∷


∷ 可得 ,电 场强度为零的点 的坐标为

y〓 (J-男 )ta叱 卩


U 刂

Ξ t
J亠

叫 刂 η △ 二

tanα +taη 卩

tan汪 tnη 臼 J

广∷



∷ · ⑩ ∷ ∶ 叫 刂 · ∶ 评分标准:本 题 zs分 ?能 指出“ 均匀带电的圆环圆 所在处的电场强度∵定为零” 5 ∷ 心 得 ”“ ” -圆 分,熊 讧叩:直 线 与 圆弧 等价得 7分 ,能 指出求出I内 切圆环的 心处的电场强度为零∵ 得 7分 ,正 确求出坐标⑨或⑩式得 6分
.

六、解】 由于带电粒子在洛仑兹力和阻力 F的 作用下运动 ,所 以是 ˉ个减速运动.我 【 们可以将粒乎的运动轨迹分成无数的小段 ,每 一小段均可视为 -段 小圆弧 ,每 ∵小段的运动 “ ” “ ” “ 均可视为 匀速圆周运动 ,只 是下一段 匀速圆周运动 的速度比前 ˉ段 匀速 圆周运动 ∵ ” “ 对于某一小段 的 匀速圆周运动 (令 速率为 v),在 法线方向 的速度小一些。
:

gvB〓

m1|
mv


2



事 即砰

r〓

” “ J,它 所对应 的角速度 显然 ,这 一小 段 匀速 圆周运动 将转过圆心角 Δ

上 -ω 〓 〓£
Γ

m



与带 电粒子 运 动 的速 度及 轨 道半 径 均无 关 ,为 一 确定 值
.

J,其 速率 v和 轨 道 然而 ,带 电粒子每转过一个 小 Δ 半径 r都 将减小 。
J,所 需要 的时间 由于每转过一个 小 Δ

〓 ·J ‘ Δ Δ 〓 等 品 而在切线方向 显然是匀减速

F〓 m。 t

∶ ∵ 。 ∶ ∷ ∷ ∶ ∷ ∷ ④



。 ε J tΔ 丁 Ⅱ A,〓 砉 兮 ” “ 因而经过一小段 匀速圆周运动 后 ,其 轨道半径 r将 减小


由于 又

Δ岩 ∶ Δ 贯 芸
r〓 J
T∶



;∶

r∝ Δ Δe

Γ s〓 Δ 〓Δ RΔ J



J圆 心所 走过 的弧长。 ∵ 其 中 As表 示对应任一 Δ ” ” “ “ 如图 可以推知每 一 小段 匀速 圆周运动 的 瞬时圆心 将构成 一 个 圆 。 所示 ” “ 而这 一 由 瞬时圆心 构成 的圆的半径为

.

R丁
” “ 瞬时圆心 的角速度为


带|f争
∷ ∷


,⑨

〓望 Ω〓 而 J 瓦







∷ ” ” “ “ 不断减小 ,且 半径 的减小量 正好等 于 瞬时圆心 所 划过 的弧长。
10

|怔 蚌 圆 i〓 艹 献 ” 耘 痴 篝 乩 ,湘 漏 乩 于 ∷ Ⅱ f兮 灬 Ⅲ |罕 申 咖

这样描述:粒 子的轨迹由无数段构成,每 一段小圆弧的t瞬 时 这 对宁 ⊥壮子的轨迹可以







y I



设当粒 也转过角度

棚 〓 钭

R卩

` b

小圆弧 的半径已转过角度J ∷ ≡ ∷ ≡


日 阝

瞬时圆
∷ 〓

圆的半径 R


∷ :∷



s手 RJ尸∷ %△

r⒈





式中 :艹



” ” “ “ 轴时 小圆弧 的半径 为粒子初始 小圆弧 ”半径 ,△ 为粒子到达 Ξ

|屮 <TT⑶
oⅡ 〓 男 〓

Ⅱ ⒎ -∵ 箔
CosJ



|

由几 何关 系

R+上

@


由①@式 解得

J〓

Ⅰ Γ
:

所 以 ,粒 子第一 次到达 Ξ轴 时 的坐标 及 整个过 程所需要 的时 间分 别 为

“ 评分标准:本 题 zs分 .推 出 瞬时圆心 的轨迹及 R得 II分 ,其 中①②③⑥⑦各式各得 1分 ,⑤ ⑧⑨三式各得 2分 ;描 绘出粒子的轨迹得 4分 ;正 确求出⑩⑧①⑩⑤式各得 2分
.

∵3R=拶 ∷ 〓 ∷ J〓 ÷号 号 ”
:手

⑩ ⑤

疝 廴 否 琛 变 二

驷 扫


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