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20080620高一数学(3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式)


3.1.2

两角和与差的正弦、 余弦、正切公式

问题提出

cos(? ? ? ) ? cos?cos? ? sin ?sin ?

1.两角差的余弦公式是什么?它有哪些 基本变式?

cos? ? cos[(? ? ? ) ? ? ] ? cos(? ? ? )cos? ? sin( ? ? ? )sin ?

cos? ? cos[(? ? ? ) ? ? ] ? cos(? ? ? )cos? ? sin( ? ? ? )sin ?
(cos a + cos b )2 + (sin a + sin b )2 - 2 cos(a - b ) = 2
2 ? [(cos? ? cos? ) 2 ? (sin ? ? sin ? ) 2 ] cos(? ? ? ) ? 2

2.利用两角差的余弦公式固然能解决一 些问题,但范围太窄,我们希望在此基 础上获取一系列有应用价值的公式,实 现资源利用和可持续发展战略. 3.有了两角差的余弦公式,自然想得到 两角差的正弦、正切公式,以及两角和 的正弦、余弦、正切公式,对此,我们 将逐个进行探究,让希望成为现实.

探究(一):两角和与差的基本三角公式

思考1:注意到α +β =α ―(―β ),结 合两角差的余弦公式及诱导公式, cos(α +β )等于什么?

cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ .

思考2:上述公式就是两角和的余弦公式, C( 记作 ,该公式有什么特点?如何 a+ b) 记忆?

思考3:

p 诱导公式 sin( ? a ) 2

cosa

可以实

现由正弦到余弦的转化,结合 C ( a + b ) 和 C ( a - b ) 你能推导出sin(α +β ), sin(α -β )分别等于什么吗? sin(α +β )=sinα cosβ +cosα sinβ sin(α -β )=sinα cosβ -cosα sinβ 思考4:上述公式就是两角和与差的正 S ( a - b ) ,这两 弦公式,分别记作 S ( a + b ) , 个公式有什么特点?如何记忆?

思考5:正切函数与正弦、余弦函数之间 C ( a ± b ) 出发, 存在商数关系,从 S ( a ± b ) 、 tan(α +β )、tan(α -β )分别与tanα 、 tanβ 有什么关系
t an a + t an b t an(a + b ) = , 1 - t an a t an b

t an a - t an b t an(a - b ) = . 1 + t an a t an b

思考6:上述公式就是两角和与差的正切 T ( a + b ) ,这两 公式,分别记作 T ( a - b ), 个公式有什么特点?如何记忆?公式成 立的条件是什么?

思考7:为方便起见,公式S ( a + b ) , C ( a + b ) , T ( a + b ) 称为和角公式,公式S ( a - b ) , C a - b , T ( a - b ) 称为差角公式.怎样理解这6个公 式的逻辑联系?
C (α -β ) T (α -β ) S (α -β ) S (α +β ) C (α +β ) T (α +β )

探究(二):两角和与差三角公式的变通

思考1:若cosα+cosβ=a,sinα-sinβ= b,则cos(α+β)等于什么?
a 2 + b2 - 2 cos(a + b ) = 2

思考2:若sinα+cosβ=a,cosα+sinβ= b,则sin(α+β)等于什么?
a 2 + b2 - 2 sin(a + b ) = 2

思考3:根据公式 T? ? ? ,tanα +tanβ 可变形为什么? tanα+tanβ=tan(α+β)(1- tanαtanβ) 思考4:在△ABC中,tanA,tanB,tanC 三者有什么关系? tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

思考5:sinx+cosx能用一个三角函数表 示吗? p sin x + cos x = 2 sin(x + ) 4

理论迁移

3 例1 已知 sin ? ? ? ,α 是第四象限角, 5 ? p ? 求 cos( ? ? ) , sin( ? ? ) , t an( a - ) 的值.
4

4

4

例2 求下列各式的值: (1)cos75°; (2 )sin20°cos50°-sin70°cos40°;
1 + t an 15 (3 ) o ; 1 - t an 15
o

(4)tan17°+tan28°+tan17°tan28°
sin(2a + b ) sin b 求证: sin a - 2 cos(a + b ) = sin a

例3

.

小结作业

1.两角差的余弦公式 C? ? ? 是两角和与 差的三角系列公式的基础,明确了各公 式的内在联系,就自然掌握了公式的形 成过程.
C (a + b ) 2.公式 S ( a + b ) 与 S ( a - b ) , 与 C? ? ? T ( a + b ) 与 T ( a - b ) 的结构相同,但运算 符号不同,必须准确记忆,防止混淆.

3.公式都是有灵性的,应用时不能生搬 硬套,要注意整体代换和适当变形.

作业:
P131练习:3,4,5,6.


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