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韦达定理与根的判别式


韦达定理与根的判别式
知识点: 1、根的判别式 b ? 4ac
2

(1) b ? 4ac > 0
2 2

,方程有两个不相等的实数根;

(2) b ? 4ac = 0 ,方程有两个相等的实数根; (3) b ? 4ac < 0 ,方程没有实数根;
2

2、韦达定理 已知 x1 , x2 是一元二次方程的两根,则有

x1 + x2 = ?

b a

x1 x2 =
2

c a

例 1:已知一元二次方程 x + 2 x + m ? 1 = 0 (1)当 m 取何值时,方程有两个不相等的实数根? (2)设 x1 , x2 是方程的两个实数根,且满足 x1 + x1 x2 = 1 ,求 m 的值
2

练习: 1、方程 x + 2 3 x + 3 = 0 的根的情况是(
2



A 有两个不等的有理实根 C 有两个不等的无理实根
2

B 有两个相等的有理实根 D 有两个相等的无理实根 )

2、已知 x1 , x2 是方程 2 x + 3 x ? 4 = 0 的两个根,则( A C

3 , x1 x2 = 2 2 3 x1 + x2 = ? , x1 x2 = ?2 2
x1 + x2 = ?
2

B D

x1 + x2 =

3 , x1 x2 = ?2 2 3 x1 + x2 = , x1 x2 = 2 2
) C 两根之积为 2 D 有一根为 2 ? 2

3、已知方程 x + 2 2 x ? 2 = 0 ,则此方程( A 无实数根 B 两根之和为 2 2

1

4、已知 x1 , x2 是方程 2 x + 3 x ? 1 = 0 的两个根,则
2

1 1 + 的值为( x1 x2



A 3

B

-3

C
2

?

3 2

D

3 2


5、若将二次三项式 x ? px ? 6 因式分解,分解后的一个因式是 x-3,则 p 的值是( A -5 B -1 C
2

1

D

5 )

6、已知 x1 , x2 是方程 x ? 4 x + 3 = 0 的两个根,那么 x1 x2 的值是( A -4 B 4 C
2

-3

D

3 )

7、在一元二次方程 ax + bx + c = 0( a ≠ 0) 中,若 a 与 c 异号,则方程( A 有两个不相等的实数根 C 没有实数根 B D 有两个相等的实数根 根的情况无法确定 )

8、已知一元二次方程的两根分别为 x1 = 3, x2 = ?4 ,则这个方程为( A C

( x ? 3)( x + 4) = 0 ( x + 3)( x ? 4) = 0

B D
2

( x + 3)( x + 4) = 0 ( x ? 3)( x ? 4) = 0


9、关于 x 的一元二次方程 3 x ? 2 x + k ? 1 = 0 有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围是( A

k<

4 3

B

4 k < 且k ≠ 1 3

C

k≤

4 3

D

k>

4 3

10、若关于 x 的一元二次方程 ( m ? 2) 2 x 2 + (2m + 1) x + 1 = 0 有两个不相等的实数根,则 m 的取值范围为 ( A )

m<

4 3

B

m≤

4 3

C

4 m > 且m ≠ 2 3
?

D m≥

4 且m ≠ 2 3

11、已知一直角三角形的三边为 a、b、c,∠B=90 ,那么关于 x 的方程 a ( x 2 ? 1) ? 2cx + b( x 2 + 1) = 0 的 根的情况为( A C ) B 有两个相等的实数根 D 无法确定
2

有两个不相等的实数根 没有实数根

12、设 x1 , x2 是方程 2 x ? 4 x ? 3 = 0 的两个根,则

1 1 + = x1 x2

13、已知关于 x 的方程 x 2 ? 2( m ? 2) x + m 2 = 0 有两个实数根,且两根的平方和等于 16,则 m 的值为 14、已知方程 x 2 + (1 ? 2) x ? 2 = 0 的两根为 x1 , x2 ,则 x1 + x2 的值为
2 2

15、关于 x 的一元二次方程 mx 2 ? (3m ? 1) x + m = 0 ,其根的判别式的值为 1,求 m 的值及该方程的根。
2

例 2:m 取什么值时,关于 x 的方程 2x2-(m+2)x+2m-2=0 有两个相等的实数根?求出这时方程的根. 解:因为方程有两个相等的实数根,所以Δ 0,即 Δ= = 0 解这个关于 m 的方程得 1、用判别式 判别式直接判断一元二次方程是否有实数根。 判别式 2 2 2 (1)y +y-4=0 (2)y +y+4=0; (3)y -y-4=0 2、m 取什么值时,关于 x 的方程 2x -4mx+2m -m=0 (1)有两个相等的实数根? (2)有两个不相等的实数根? (3)没有实数根?
2 2

(4)y -y+4=0;

2

3、m 取什么值时,关于 x 的方程 mx -(2m-1)x+m-2=0 没有实数根?
2

一元二次方程根与系数的关系 解下列方程,将得到的解填入下面的表格中,你发现表格中两个解的和与积和原来的方 程有什么联系? (1)x2-2x=0; (2)x2+3x-4=0; (3)x2-5x+6=0.

探 索 一般地,对于关于 x 的方程 x2+px+q=0(p,q 为已知常数,p2-4q≥0) ,用求根公式 求出它的两个根 x1、x2,
3

x1+x2= x1?x2=
练习

即:两根之和等于 即:两根之积等于

1、 (1)x -x-4=0 x1 + x2 = x1.x2 =
2

2

(2)x -4x+1=0; x1 + x2 = x1.x2 =

2

2、已知关于 x 的方程 x -px+q=0 的两个根是 0 和-3,求 p 和 q 的值; 、

3、已知方程 x2+kx+ 2 =0 的一个根是-1,求 k 的值及另一个根.

4、如果 2x2- mx-4=0 的两个根分别是 x1 、 x2 ,且 且

1 1 + =2,那么实数 m 的值是? 的值是? , x1 x2

5、如果 2x2- 5x-4=0 的两个根分别是α、β,那么α+β+αβ=?

5、已知关于 x 的方程 x -6x+p -2p+5=0 的一个根是 2,求方程的另一个根和 p 的值. 、

2

2

4

22、如果 x -mx+6=0 的两个根分别是 x1 、 x2 ,且 、

2

1 1 + =3,求实数 m 的值。 。 x1 x2

已知关于 x 的一元二次方程 x ? 2kx +
2

1 2 k ? 2 = 0, 2

(1)求证:不论 k 为何值,方程总有两个不相等的实数根; (2)设 x1、x 2 是方程的两根,且 x1 ? 2kx1 + 2 x1 x 2 = 5 ,求 k 之值。
2

已知△ABC 的两边长 a=3,c=5,且第三边长 b 为关于 x 的一元二次方程 x ? 4 x + m = 0 的两个正整数根之 一,求证△ABC 为直角三角形。
2

例 6 已知方程 x ? x ? 1 = 0 的两个实数根为 x1 , x 2 ,求:
2 2 (1) x12 + x 2 ;

( 2)

1 1 + ; x1 x2

(3) x1 ? x 2 ;

(4)( x1 ? 1)( x 2 ? 1) 。

5

二、填空题: 1.若方程 2 x ? 5 x + k = 0 的两根之比是 2:3,则 k=
2 2


2

2.若方程 2 x ? 4 x ? 3 = 0 的两根为 a、β,则 a ? 2aβ + β = 有 3.已知两个数的和是 4,积为-2,则这两个数等于 。
2

。 .

4.若方程 3 x ? 4 x + k = 0 的两根均为正数,则 k 的取值范围是 三、解答题
2 2 2

2.已知关于 x 的方程 (a ? 1) x ? ( a + 1) x + 1 = 0 的两实根互为倒数,求 a 之值.

3.已知关于 x 的方程 x 2 ? 2( m ? 2) x + m 2 = 0 ,问:是否存在实数 m,使方程的两个实数根的平方和 等于 56,若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由.

求证:方程

无论 m 为何值时,都有两个不相等的实数根.

三、应用题 1)用配方法求 x2 –4x+5 的最小值。 解:x2 –4x+5 = x2 –4x+ 22 +1 =( x –2)2 +1 所以 x2 –4x+5 的最小值是 1。 2)用配方法求 x2 –4x–5 的最小值。 4)用配方法求-x2 +4x+5 的最大值。 3)用配方法求 x2 –8x+5 的最小值。

4)用配方法求-x2 +4x+5 的最大值。
6


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