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2014届高三数学一轮复习专讲专练:2.7 对数与对数函数


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双基限时练?
巩固双基,提升能力 一、选择题
? 1 ? 1 1.(2013· 日照联考)设函数 f(x)=log2x 的反函数为 y=g(x),若 g?a-1?=4, ? ?

则 a 等于( A.-2 1 C.2

) 1 B.-2 D.2

解析:因为函数 f(x)=log2x 的反函数为 y=2x,
? 1 ? 1 1 a--1 1 所以 g(x)=2x,由 g?a-1?=4,得 2 =4. a-1 ? ?
1

1 1 所以 =-2,a=2. a-1 答案:C 2.已知函数 f(x)=ax+logax(a>0,且 a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和 为 loga2+6,则 a 的值为( 1 A.2 C.2 ) 1 B.4 D.4

解析:由题可知函数 f(x)=ax+logax 在[1,2]上是单调函数,所以其最大值与 最小值之和为 f(1)+f(2)=a+loga1+a2+loga2=loga2+6,整理可得 a2+a-6= 0,解得 a=2 或 a=-3(舍去),故 a=2. 答案:C 1 3. 若 0<a<1, x=loga 2+loga 3, y=2loga5, z=loga 21-loga 3, 则( A.x>y>z B.z>y>x )

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C.y>x>z

D.z>x>y

解析:x=loga 6,y=loga 5,z=loga 7. 因为 0<a<1,所以 y=logax 在(0,+∞)上是减函数. 又 7> 6> 5,故 y>x>z.选 C. 答案:C 4. 已知 lga+lgb=0(a>0, b>0 且 a≠1, b≠1), 则函数 f(x)=ax 与函数 g(x) =-logbx 的图像可能是( )

A.

B.

C.

D.

解析:由 lga+lgb=0(a>0,b>0,且 a≠1,b≠1),得 ab=1. 若 a>1, 则 0<b<1, 而 y=-logbx 的图像与 y=logbx 的图像关于 x 轴对称, 故选 B. 答案:B
?1? 5.已知函数 f(x)=?3?x-log2x,实数 a,b,c 满足 f(a)· f(b)· f(c)<0(0<a<b ? ?

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<c),若实数 x0 为方程 f(x)=0 的一个解,那么下列不等式中,不可能 成立的是 ... ( ) A.x0<a C.x0<c B.x0>b D.x0>c

解析:易知 f(x)在(0,+∞)上是减函数.由 0<a<b<c,知 f(a)>f(b)>f(c). 又 f(a)· f(b)· f(c)<0,故 f(c)<0,从而 f(a)· f(b)>0 又 f(x)的图像在(0, +∞)上是一条连续不断的曲线, 故 x0>c 不可能成立. 选 D. 答案:D 6.已知函数 f(x)=log2(a-2x)+x-2,若 f(x)=0 有解,则实数 a 的取值范 围是( )

A.(-∞,-4]∪[4,+∞) B.[1,+∞) C.[2,+∞) D.[4,+∞) 4 解析:方法一:f(x)=log2(a-2x)+x-2=0,得 a-2x=22-x,即 a-2x=2x, 令 t=2x(t>0),则 t2-at+4=0 在 t∈(0,+∞)上有解,令 g(t)=t2-at+4,g(0)

?a>0, =4>0,故满足?2 ?Δ=a2-16≥0,

得 a≥4.

4 方法二:f(x)=log2(a-2x)+x-2=0,得 a-2x=22-x,a=2x+2x≥4. 答案:D 二、填空题 7.(2013· 金华联考)已知函数 f(x)=log2(x2-ax+a2)的图像关于 x=2 对称, 则 a 的值为__________.

解析:由题意 f(x)=f(4-x),∴x -ax+a =(4-x) -a(4-x)+a ,整理得 a =4. 答案:4 8 . (2013· 杭 州 月 考 ) 设 f (x ) = __________. 1 1 ? ? 2 4 8 ? ?1? ? 1 解析:f(x)+f?x ?=?1+2lgx+1+4lgx+1+8lgx?+?1+2lgx+1+4lgx+1+8lgx?=3. ? ? ? ? ? ? 答案:3 9.(2013· 湖南联考)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x+2)+f(x)=0, 当 x∈[0,1]时,f(x)=2x-1,则 f(log1 125)=__________.
8
lgx lgx lgx

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?1? 1 1 1 lgx + lgx + lgx , 则 f(x) + f ? ? = ? x? 1+2 1+4 1+8

解析: f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且 f(x+2)+f(x)=0, f(log1 125)=f(-log25)
8

=-f(log25)=f(log25-2)=2 1 答案:4 三、解答题

log25-2

5 1 -1=4-1=4.

10.若 f(x)=x2-x+b,且 f(log2a)=b,log2f(a)=2(a≠1). (1)求 f(log2x)的最小值及相应的 x 值; (2)x 取何值时,f(log2x)>f(1),且 log2f(x)<f(1). 解析:(1)∵f(x)=x2-x+b. ∴f(log2a)=(log2a)2-log2a+b, 由已知(log2a)2-log2a+b=b, ∴log2a(log2a-1)=0. ∵a≠1,∴log2a=1. ∴a=2.

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又 log2f(a)=2,∴f(a)=4. ∴a2-a+b=4. ∴b=4-a2+a=2. 故 f(x)=x2-x+2. 从而 f(log2x)=(log2x)2-log2x+2 1? 7 ? =?log2x-2?2+4.
? ?

1 7 ∴当 log2x=2,即 x= 2时,f(log2x)有最小值4.
2 ? ??log2x? -log2x+2>2, (2)由题意,? ? 2 ?log2?x -x+2?<2 ?

? ?x>2,或0<x<1, ? ?0<x<1. ? ?-1<x<2

11.已知 f(x)=lg(ax-bx)(a>1>b>0). (1)求 f(x)的定义域; (2)问是否存在实数 a、b,当 x∈(1,+∞)时,f(x)的值域为(0,+∞),且 f(2) =lg2?若存在,求出 a、b 的值,若不存在,说明理由.
?a? 解析:(1)由 ax-bx>0 及 a>1>b>0,得?b?x>1,故 x>0. ? ?

所以,f(x)的定义域为(0,+∞). (2)令 g(x)=ax-bx,由 a>1>b>0 知,g(x)在(0,+∞)上为增函数. 当 x∈(1,+∞)时,f(x)取到一切正数等价于 x∈(1,+∞)时,g(x)>1. 故 g(1)=1,得 a-b=1.① 又 f(2)=lg2,故 a2-b2=2.② 3 1 由①②解得 a=2,b=2. 12.(2013· 辽宁测试)已知函数 f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)为偶函数.

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(1)求 k 的值; (2)若方程 f(x)=log4(a· 2x-a)有且仅有一个根,求实数 a 的取值范围. 解析:(1)∵f(x)为偶函数, ∴f(-x)=f(x). 即 log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx, 4x+1 ∴log4 4x -log4(4x+1)=2kx, 1 ∴ (2k+1)x=0,∴k=-2. 1 (2)依题意知:log4(4x+1)-2x=log4(a· 2x-a). (*)
x ? 2x-a?· 2x, ?4 +1=?a· ∴? x ?a· 2 -a>0, ?

令 t=2x,则(*)变为(1-a)t2+at+1=0 只需其有一正根. ①a=1,t=-1 不合题意;

?Δ=a -4?1-a?>0, ②(*)式有一正一负根,∴? 1 t1t2= <0 , 1-a ?
∴a>1.

2

经验证满足 a· 2x-a>0,

③(*)式有两相等的根,Δ=0,∴a=± 2 2-2,又 a· 2x-a>0,∴a=-2- 2 2, 综上所述可知 a 的取值范围为{a|a>1 或 a=-2-2 2}.


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