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等差数列的前n项和性质及应用


一、复习引入
n(a1 ? an ) n(n ? 1) Sn ? ? na1 ? d. 2 2
重要结论 :

(1)?an ?为等差数列 ? an是关于n的一次函数; (2)?an ?为等差数列 ? S n 是关于 n的二次函数
, 且无常数项 .

热身练习

1.若一个等差数列前3项和为34,最 后三项和为146,且所有项的和为 整体思想项。 390,则这个数列共有______
2.已知两个等差数列{an},{bn},它们 的前n项和分别是Sn,Tn,若 则 a ? S
n 2 n ?1

S n 2n ? 3 a9 ? ,求 . Tn 3n ? 1 b9

bn

T2n ?1

比值问题

例 1 在等差数列 ?an ? 中, S10 ? 30 , S20 ? 100 , 求 S30 。
方法二: 方法一:方程思想

S10, S20 ? S10,S30 ? S20

成等差数列

变式 1 在等差数列 ?an ? 中, Sn ? 30 , S2n ? 100 , 求 S3 n 。
变式 2.已知等差数列前 n 项和为 Sn ,前 2n 项 和为 S2 n ,前 3n 项的和为 S3n ,证明 Sn ,S2 n - Sn ,
S3n - S 2 n 成等差数列

等差数列前n项和性质:

1.已知?a n ? 是公差为d的等差数列,若b1 ? a1 ? a2 ? ? ? ak , b2 ? ak ?1 ? ak ? 2 ? ? ? a2 k,b3 ? a2 k ?1 ? a2 k ? 2 ? ? ? a3k ,? ,
则 b22, , 成等差数列,公差为 则 :b b bb ? , 成等差数列, 公差为:kd k d 1 1, b 3 ,3
(等差数列等分若干段后,各段和依序成等差数列)
数列?a n ? 是公差为d的等差数列,则Sn ? An 2 ? Bn
Sn ? Sn ? ? ? An ? B ? ? ? 是等差数列,公差为A. n ?n?
2

等差数列前项和的最值问题:

例 2.在等差数列中, a1 ? ?60 , a17 ? ?12 , (1)该数列第几项开始为正? (2)前多少项和最小,并求其最小值? (3)求 ?an ? 前 50 项和 S50 (4)求 ? an ? 前 50 项和 T50

对等差数列前项和的最值问题有两种方法: ( 1) 利用 an : 当 a1 >0, d<0,前 n项和有最大值

王新敞
奎屯

新疆

(可由 an ≥ 0,且 a n?1 ≤ 0,求得 n的值) 当 a1 <0, d>0,前 n项和有最小值
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

(可由 an ≤ 0,且 a n?1 ≥ 0,求得 n的值 )
王新敞
奎屯 新疆

( 2) 利用 S n :由 S n ?

d 2 d n ? (a 1 ? )n 二次函数 2 2
王新敞
奎屯 新疆

配方法求得最值时 n的值

练习
练习1、已知一个等差数列中满足3a4 ? 7a7 , 且a1 ? 0
Sn是数列{an }的前n项和,求n为何值时Sn取最大值.

4 解:方法一 ? 3a4 ? 7 a7 ? d ? ? a1 ? 0 33

4 37 ? an ? a1 ? (n ? 1)(? a1 ) ? 0 ? n ? 33 4 4 33 an ?1 ? a1 ? n(? a1 ) ? 0, ? n> . 33 4

? n ? 9.

练习1、已知一个等差数列中满足 3a4 ? 7a7 , 且a1 ? 0 Sn是数列{an }的前

n项和,求n为何值时Sn取最大值

4 a1 ? 0 方法二 ? 3a4 ? 7 a7 ? d ? ? 33

解:

n( n ? 1) 4 S n ? na1 ? ? (? a1 ) 2 33 2 35 2 ?? a1n ? a1n, 33 33
35 ? [8, 9] 且更接近9,所以n=9. 4

对称轴n ?

变式1:等差数列?a n ?中,a 2 ? 0, S4 ? S8 , 求使得Sn ? 0 成立的最大自然数n.

变式2:等差数列?a n ?中,a3 ? a8 ? 0, S9 ? 0.n为何值时Sn最小?

等差数列 奇、偶项和问题

结论:设数列 {an} 是等差数列,且公差为 d , (Ⅰ)若项数为偶数,设共有 2n 项, S奇 an ? ? nd ? S S 奇 则① 偶 ;② S偶 an?1 ;
结论:设数列{an } 是等差数列,且公差为 d , (Ⅱ)若项数为奇数,设共有 2n ? 1 项, 则① S


?S



S奇 n ? 1 ? ? an?1 ? a中 ; ② S偶 n .

例 1.在项数为 2n+1 的等差数列 {an } 中, 所有奇数项的和为 165,所有偶数项和为 150 ,则 n=

例 2.已知等差数列 {an } 的项数为偶数,且奇 数的和为 24,偶数项的和为 30,最后一项与 首项之差为 10.5,求此数列的首项,公差及 项数。

例 3.已知等差数列 {an } 的项数为奇数,且奇 数的和为 44,偶数项的和为 33,求此数列的 中间项及项数。

练习
1、已知一个等差数列前12项的和是354,前 12项中偶数项与奇数项之比为32:27,求公差. 分析:方法一:直接套用公式; 方法二:利用奇数项与偶数项的关系.

12 ?11 ? ?12a1 ? 2 d ? 354, ? 解:方法一: ? 6?5 ? 6a2 ? ? 2d 32 2 ? ? , 6?5 ? 27 6 a ? ? 2 d 1 ? ? 2

? d ? 5.

1、已知一个等差数列前12项的和是354,前 12项中偶数项与奇数项之比为32:27,求公差.

解:方法二:

? S奇 ? S偶 ? 354, ? ? ? S奇 ? 162, ?? ? S奇 32 ? , S ? 192, ? 偶 ? ?S ? 偶 27
? d ? 5.

S偶 ? S奇 ? 30 ? 6d

2、已知一个等差数列中d=0.5,

S100 ? 145, 求a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a99的值.

分析:还是利用奇数项和偶数项之间 的关系,相差一个公差d. 解:设a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a99 ? x,

则a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a100 ? x ? 50d ,
? 2 x ? 25 ? 145, ? x ? 60.

求数列前n项和方法之一:裂项相消法

1 例1:求数列{ } 的前n项和 n(n ? 1) 1 1 1 Sn ? ? ?? 1? 2 2 ? 3 n( n ? 1)

变式:等差数列{an }中,a1 ? 3, d ? 2 1 1 1 Sn为前n项和,求 ? ? ? S1 S2 Sn

设{an}是公差为d的等差数列,则有

? 1 1 ? 1 1 ? ? ? ? ① a1a2 ? an an ? a1 ? a1a2 ? an-1 a2a3 ? an ?

特别地,以下等式都是①式的具体应用:
1 1 1 ? 1 1 ?1 ? ; ? ? ?? ? n ? n ? 1? n ?1? n ? n n + 1 ? n n + 1

? 2n ? 1?? 2n ? 1?

1

?

1 1 ? ? 1 ? ? ? 2n ? 1 ? ? ? 2n ? 1 ? ? ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

1? 1 1 ? ? ? ? ?; 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

(裂项相消法)

? ? 1 1 1 1 ? ? ? ? ? n ? n ? 1?? n ? 2 ? ? n ? 2 ? ? n ? n ? n ? 1? ? n ? 1?? n ? 2 ? ? ?

求数列前n项和方法之二:公式
求和公式:所给数列的通项是关于n的多项式,此时求和可 采用公式法求和,常用的公式有:

1 k ? 1 ? 2 ? ? ? n ? n?n ? 1? ? 2 k ?1 n 1 2 2 2 2 k ? 1 ? 2 ? ? ? n ? n?n ? 1??2n ? 1? ? 6 k ?1 n 1 2 2 3 3 3 3 ? ? k ? 1 ? 2 ??? n ? n n ? 1 ? 4 k ?1

n

证明性质:等差数列{an }中, 若an ? m, am ? n, 求证am? n ? 0

证明性质:等差数列{an }中, 若Sn ? m, Sm ? n, 求证Sm? n ? ?(m ? n)

单利:银行利息按单利计算(利息没有利息) 本利和=本金×(1+利率×存期) 例如:存入10000元,利率为0.72% 存期 年初本金 年末本利和(元) 结果

第一年
第二年 第三年 第四年

10000
10000 10000 10000

10000×(1+0.725×1) 10072
10000×(1+0.725×2) 10144 10000×(1+0.725×3) 10216 10000×(1+0.725×4) 10288

特点:每一项与前一项的差是同一个常数

复利:银行利息按复利计算(利滚利) 本金和=本金×(1+利率)存期
例如:存入10000元,利率为1.98%

存期
第一年 第二年 第三年

年初本金
10000 10000×1.0198 10000×1.01982

年末本利和(元)
10000×(1+1.98%)1 10000×(1+1.98%)2 10000×(1+1.98%)3

第四年

10000×1.01983

10000×(1+1.98%)4

特点:后一顶与前一项的比是同一个常数

同学们 再见


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