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2018镇江对口单招一模数学试卷

镇江市 2017—2018 年度对口单招文化统考调研测试卷(一)


一.选择题(每题 4 分,共计 40 分)


) D. {1}

1.已知集合 A ? {0,1, 2}, B ? {x x ? 1, x ? N} ,则 A ? B =( A. {0}
?

B. {0,1}

C. {0,1, 2} ( )

2. " A ? 60 " 是 "cos A ? A.充分不必要条件

1 "的 2

B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 )

3.已知数组 a ? (1, ?4, 2), b ? (?1, x, ?3) ,若 a ? b ? 0 ,则 x =( A. ?

?

?

7 4

B. ?

7 2

C.2

D.-2

4. 二进制数 1001 转换成十进制数是( ) A.8 B.9 C.10

D.11 )

5.以 (?4,3) 为圆心半径为 r 的圆,与直线 2 x ? y ? 5 ? 0 相离,则 r 的取值范围是( A. 0 ? r ? 2
2

B. 0 ? r ? 5

C. 0 ? r ? 2 5

D. 0 ? r ? 10 ) D.11 )

14 6. 若二项式 ( x ? ) 的展开式中,含 x 的项是第 3 项,则 n=(
n

1 x

A.8

B.9

C.10

7.若圆锥底面半径为 2,高为 5 ,则其侧面积为( A. 12? B. 6? C. 2 5? D 4 5?

8.已知 A, B ?{?5, ?1,1, 2} 且 A ? B ,则直线 Ax ? By ? 2 ? 0 的斜率小于 0 的概率为 ( A.



1 2

B.

2 3

C.

1 3

D.

3 4

2 2 2 2 9.等轴双曲线 C: x ? y ? a 与抛物线 y ? 16 x 的准线交于 A,B 两点,且 AB ? 4 3 ,则

双曲线 C 的实轴长等于( A. 2 B. 2 2

) C.4 D.8

10.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 4 的偶函数, 当 x ? [2, 4] 时,f ( x) ? log 4 ( x ? ) , 则 f ( ) 的值为(

3 2

1 2



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A.2

B.

1 2

C. ? 2

D. ?

1 2

二.填空题(每题 4 分,共计 20 分) 11. 执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 4 , 则输出 s 的值为___________.

开始 输入n
i ? 1, s ? 1

i?n




s ? s ? ? i ?1?
第 12 题图

输出 s 结束

i ? i ?1
第 11 题图

12. 某项工程的网络图如图所示(单位:天) ,若该工程的最短总工期为 10 天,则 E 工序最 多所需工时为_______ 天. 13.若复数 z 满足 ( z ? i)i ? ?3 ? 4i ( i 为虚数单位) ,则 z 的模等于_______________. 14.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2x ? x 2 ,则

f (0) ? f (?1) ? ______ .
15.若 0 ? x ?

3 ,则 x(3 ? 2 x) 的最大值为 ____________________. 2

三.解答题(8 小题,共计 90 分) 16.(6 分)求函数 f ( x) ? 1 ? x ? lg( x ? 2) 的定义域.

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17. (12 分)已知函数 f ( x) ? ax2 ? 2x ? c(a, c ? N? ) 满足: (1) f (1) ? 5;(2)6 ? f (2) ? 11. (1)求 a , c 的值; (2)若对任意的实数 x ,都有 ( ) f ( x ) ? ( )1? 2 mx 成立,求实数 m 的取值范围.

1 2

1 2

18.(12 分)已知函数 f ( x) ?

3 1 sin 2 x ? cos2 x ? 2 2

(1)求函数 f ( x) 的最小值,并写出取得最小值时的自变量 x 的集合; (2)设 ? ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 c ? 3, f (C) ? 0 ,若

sin B ? 2sin A ,求 a , b 的值。

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19. (12 分)某商场举行“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖者先从装有 3 个红球与 4 个白球的袋中任意摸出 3 个球, 再从装有 1 个蓝球与 2 个白球的袋中任意摸出 1 个球。根据摸出 4 个球中红球与蓝球的个数,设一、二、三等奖如下表,其余情况无奖且每 次摸奖最多只能获得一个奖级。 奖级 一等奖 二等奖 三等奖 (1)求一次摸奖恰好摸到 1 个红球的概率; (2)求一次模球恰好中一等奖的概率; (3)求一次模球不中奖的概率。 摸出红、蓝球个数 3红1蓝 3红0蓝 2红1蓝

20. (10 分)某工厂生产甲、乙两种产品,已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表 所示,且该厂有工人 32 名,可用资金 55 万元.设 x,y 分别表示生产甲、乙产品的数量, 求 x,y 为何值时,该工厂的利润最大,最大值是多少?

工人(名)

资金(万元)

利润(万元/件)

甲 乙

4 8

20 5

0.65 0.4

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21. (10 分) 为了保护一件文物, 博物馆需要在一种无色玻璃的密封保护罩内充入保护气体, 罩内该种气体的体积比保护罩的容积少 0.5 m ,且气体每立方米的费用 1000 元。还需支付 一定的保险费用,且支付的保险费用 w (元)与保护罩容积 V ( m )的关系式为
3 3

w?

k (k ? 0) ,当容积为 2 m3 时,支付的保险费用为 8000 元。 V
3

(1)求博物馆支付总费用 y(元)与保护罩容积 V( m )之间的函数关系式; (2)求博物馆支付的总费用的最小值; (3)如果要求保护罩为正六棱柱形状,高度为 2 米,当博物馆需支付的总费用不超过 9500 元时,求保护罩底面积的最大值。

22.(14 分)在平面直角坐标系 xoy 中,已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2,离心 a 2 b2

率为

2 ,椭圆的右顶点为 A。 2

(1)求该椭圆的方程; (2) 过点 D( 2, ? 2) 作直线 l 交椭圆于 P,Q 两点, 求证:直线 AP, AQ 的斜率之和为定值。

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23. (14 分) 已知数列 {an } 是公差为正数的等差数列, 其前 n 项和为 Sn , 且 a2 a ?3 ? 1 5 , S4 ? 1 6 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设数列 {bn } 满足 b1 ? a1 , bn ?1 ? bn ? ①求数列 {bn } 的通项公式; ②是否存在正整数 m, n(m ? n) ,使得 b2 , bm , bn 成等差数列?若存在,求出 m, n 的值;若不 存在,请说明理由。

1 an ? an?1

2017—2018 年度对口单招文化统考调研测试评分标准(一)


一.选择题(每题 4 分,共计 40 分) 题号 答案 1 B 2 A 3 A 4 B 5 C


6 C 7 B 8 C 9 C 10 B

二.填空题(每题 4 分,共计 20 分) 11. 7 12. 3 13. 14. 15.

2 5
1

9 8

三.解答题 16. (6 分)解:由题意得: ?

?1 ? x ? 0 ---------------------2 分 ?x ? 2 ? 0

解之得 ?2 ? x ? 1 ---------------------------5 分 所以函数的定义域为 (?2,1] -------------------------6 分 17. (12 分)解: (1)由题意得: f (1) ? a ? 2 ? c ? 5 ,所以 a ? c ? 3 --------1 分 又因为 f (2) ? 4a ? 4 ? c ? a ? c ? 3a ? 4 ? 7 ? 3a -------------------2 分 所以 6 ? 7 ? 3a ? 11得 ?

1 4 ? a ? (a ? N ? ) 3 3
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所以 a ? 1 -------------------------------------4 分

得 a ? 1, c ? 2 --------------------------------6 分 (2)由题意得:对于任意实数 x, f ( x) ? 1 ? 2mx 恒成立-----------7 分 所以 x ? 2 x ? 2 ? 2mx ? 1 ? 0 化简得: x2 ? (2 ? 2m) x ? 1 ? 0 -----------------8 分
2

所以 (2 ? 2m)2 ? 4 ? 0 ---------------------------------------------10 分 解之得: 0 ? m ? 2 ---------------------------------12 分 18. (12 分)解: (1)因为 f ( x) ? = sin(2 x ? 所以当 sin(2 x ? 此时 2 x ?

3 1 1 sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? 2 2 2

?
6

) ? 1 ------------------3 分

?
6

) ? ?1 时,函数 f ( x) 的最小值为-2---------------4 分

?
6

? 2k? ?

?
2

, k ? Z 即 {x x ? kx ?

?
6

, k ? Z } ----------------------6 分

(2)由 f (C ) ? 0 ,得 sin(2C ? 得C ?

?
6

) ? 1 ,又因为 C ? (0, ? ) ,所以 2C ?

?
6

?

?
2

?

3 由 sin B ? 2sin A 及正弦定理得 b ? 2a -----------------------9 分
由余弦定理得 c ? a ? b ? 2abc os C 得 a ? b ? ab ? 3 --------------------------10 分
2 2 2 2 2

。------------------------------8 分

由?

?b ? 2 a
2 2 ? a ? b ? ab ? 3

得?

?a ? 1 --------------------------------12 分 ?b ? 2

19. (12 分)解: (1)设 A={一次摸奖恰好摸到 1 个红球}

P( A) ?

1 2 C3 C4 18 ---------------------3 分 ? 3 C7 35

所以一次模球恰好摸到一个白球的概率为 (2)设 B={一次模球恰好中一等奖}

18 。--------------------4 分 35

3 1 C3 C1 1 -----------------------7 分 P( B ) ? 3 ? 1 ? C7 C3 105

所以一次模球恰好中一等奖的概率为 (3)C={一次模球不中奖}

1 。----------------------8 分 105

P(C ) ? 1 ?

1 3 3 1 1 1 C32C4 C3 C3 C1 C2 C1 6 ? ? ? ? ? ? ------------------------11 分 3 1 3 1 3 1 C7 C3 C7 C3 C7 C3 7

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所以一次模球不中奖的概率为

6 。--------------------------12 分 7

20. (10 分)解: 依题意得 x、y 应满足的约束条件为 4x+8y≤32 ? ?20x+5y≤55 ?x≥0 ? ?y≥0

,----------------------2 分

且 maxz=0.65x+0.4y-----------------4 分 作出以上不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分),即可 行域. 作直线 l :0.65x+0.4y=0 即 13x+8y=0,把直线 l 向上方 平移到 l1 的位置时,直线经过可行域内的点 M,且 l1 与原点的距 离最大,此时 z 取最大值.
?x+2y=8 ? 解方程组? ?4x+y=11 ?

,得 x=2,y=3-------7 分

故 M 的坐标为(2,3),所以 z 的最大值为 zmax=0.65×2+0.4×3=2.5------9 分 所以当甲生产 2 件,乙生产 3 件时,最大利润 2.5 万元。------------10 分 21. (10 分)解: (1)依据题意得:

k ? 8000 ,所以 k=16000---------------------------2 分 2 16000 16000 ? 1000V ? ? 500 ( x ? 0 )--------3 分 所以费用 y ? 1000(V ? 0.5) ? V V
且当 V ? 2 时, 所以支付总费用 y 与保护罩容积 V 之间的函数关系式为:

y ? 1000V ?

16000 ? 500( x ? 0) V

(2) y ? 1000V ? 当且仅当 1000V ?

16000 16000 ? 500 ? 2 1000V ? ? 500 ? 7500 --------4 分 V V

16000 ,即 V ? 4 立方米时取等号 V 16000 ? 500 ? 9500 ,又因为 V ? 2 S --------------7 分 V

所以博物馆支付总费用的最小值为 7500 元。--------------------------------6 分 (3)由题意得 1000V ?

2 代入上式整理得 S ? 5S ? 4 ? 0 ,解得: 1 ? S ? 4 -------------------------9 分

所以底面正六棱柱的面积最大可取 4 平方米。------------------------10 分 22. (14 分)解: (1)由题意得 c ? 1 , e ?

c 2 ,所以 a ? 2, b ? 1------------------2 分 ? a 2

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所以椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1-----------------------------------4 分 2

(2)当直线 PQ 的斜率不存在时,不符合题意----------------------------5 分 当直线 PQ 的斜率存在时,设直线 PQ 的方程为 y ? 2 ? k ( x ? 2) ---------6 分

代入

x2 ? y 2 ? 1,得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4 2(k 2 ? k ) x ? 4k 2 ? 8k ? 2 ? 0 -----------8 分 2
1 4

设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,又因为 ? ? ?4(8k ? 2) ? 0 ,得 k ? ?

4 2(k 2 ? k ) 4k 2 ? 8k ? 2 ----------------------------10 分 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
又 k AP ? k AQ ?

y1 y2 k ( x1 ? 2) ? 2 k ( x2 ? 2) ? 2 ? ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2

= 2k ?

2( x1 ? x2 ) ? 4 ? 1 ----------------------------------------------13 分 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 2

所以直线 AP,AQ 的斜率之和为定值 1。--------------------------------14 分 23. (14 分)解: (1)设数列 {an } 的公差为 d,则 d>0. 由 a2 ? a3 ? 15, S4 ? 16 得: ?

?( a1 ? d )(a1 ? 2d ) ? 15 ? a1 ? 1 ? a1 ? 7 解得 ? 或? (舍去) ? d ? 2 ? d ? ?2 ? 4a1 ? 6d ? 16

所以 an ? 2n ? 1----------------------------------------------------------------4 分 (2)①因为 b1 ? a1 ? 1

bn?1 ? bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) -----------------6 分 an ? an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 b2 ? b1 ? (1 ? ) 2 3 1 1 1 b ? b2 ? ( ? ) 即 3 2 3 5 ?? 1 1 1 bn ? bn ?1 ? ( ? )(n ? 2) 2 2n ? 3 2n ? 1
累加得: bn ? b1 ?

n ?1 ------------------------------------------9 分 2n ? 1
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所以 bn ? b1 ?

n ? 1 3n ? 2 ? --------------------------------------------10 分 2n ? 1 2 n ? 1

②假设存在正整数 m,n( m ? n ),使得 b2 , bm , bn 成等差数列,则 b2 ? bn ? 2bm 又 b2 ?

4 3n ? 2 3m ? 2 , bn ? , bm ? 3 2n ? 1 2m ? 1

4 3n ? 2 3m ? 2 ? ? 2? 3 2n ? 1 2m ? 1 7n ? 2 9 ?7? 所以化简得 2m ? -------------------------------12 分 n ?1 n ?1 当 n ? 1 ? 3 ,即 n ? 2 时, m ? 2 (舍去) 当 n ? 1 ? 9 ,即 n ? 8 时, m ? 3 ,符合题意
所以 所以存在正整数 m ? 3 , n ? 8 时, ,使得 b2 , bm , bn 成等差数列-----------------14 分

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