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江苏省海门中学10-11学年高一第一学期期中考试(数学)


江苏省海门中学 2010~ 江苏省海门中学 2010~2011 学年第一学期高一期中考试

数 学 试 卷
提醒考生: 小题, 分钟, 提醒考生:试卷共二大题 20 小题,时间为 120 分钟,总分 160 分。 并且所有过程均解答在答题卡上才有效。 并且所有过程均解答在答题卡上才有效。 小题, 把答案填在答题卡的相应位置: 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,把答案填在答题卡的相应位置 填空题: 1.将集合 {x | ( x + 1)( x ? 2)( x + 1) = 0, x ∈ R} 用列举法表示为 ▲
2

2.设一个函数的解析式为 f ( x ) = 2 x + 3 ,其值域为{-1,2,5,8},则其定义域是 3.若 f ( 2 x) = 3 x 2 + 1 ,则函数 f (x ) 的解析式是 4.若集合 A 满足 {1} U A = {1,3,5} ,则集合 A= 5.函数 f ( x ) = a x ?1 ? 3 的图象必经过定点 6.已知函数 f ( x ) = ? (书 P:93 的 6) 7.已知集合 A = [1,4 ) , B = ( ?∞, a ) ,若 A ? B ,则实数 a 的取值范围是 8.设 a = 0.3 , b = 2
2 0.3



▲ ▲ ▲

x≤0 ? 2, 则 f ( f ( ?2)) = 2 ?3 x ? 4, x > 0



.

▲ (从小到大排

, c = log 0.3 2 ,则 a, b, c 的大小关系是



列) 9. 已知全集 U={1, 3, 5},A I (CU B ) = {1} ,B I (CU A) = {5} , CU A) I (CU B ) = {2} 2, 4, ( 则集合 A= ▲ ▲ .

10. 已知函数 y = ? x 2 + 4ax 在区间[1, 3]上单调递增, 则实数 a 的取值范围是 11.设函数 f (x ) 是奇函数,则 f ( 3 + 2) + f (

1 3?2

)=



12. 函数 f ( x ) =

x2 ( x ∈ R ) 的值域是 x 2 + 10
m ?1



13.设若正整数 m 满足 10

< 2512 < 10m ,则 m =
x



(lg 2 ≈ 0.3010) .

14 . 已 知 函 数 f ( x ) = ( ) 的 图 象 与 函 数 g(x) 的 图 象 关 于 直 线 y = x 对 称 , 令

1 2

h( x) = g (1? | x |), 则关于函数 h(x)有下列命题:

①h(x)的图象关于原点对称; ③h(x)的最小值为 0; 其中正确命题的序号为 ▲

②h(x)为偶函数; ④h(x)在(0,1)上为减函数. (注:将所有正确命题的序号都填上) ..

小题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤, 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,解 解答题: 答写在答题卡的指定区域内。 答题卡的指定区域内 答写在答题卡的指定区域内。 15. (本小题满分 14 分) 求 已知集合 A = {?1, a + 1, a ? 3} , B = {?4, a ? 1, a + 1} ,且 A I B = {?2} , a 的值.
2 2
.

16. (本小题满分 14 分) 计算下列各式: (1) (2 ) + 2 ? (2 )
0

3 5

?2

1 4

?

1 2

? (0.01)0.5

(2) 2

3 log 2 4

+ 3 log 2 1 ? log10 3 ? log 3 2 ? lg 5

17. (本小题满分 14 分) 已知 α,β 是函数 y = x 2 ? 2kx + k + 6 的两个零点。
2 2 (1)设函数 f ( k ) = (α ? 1) + ( β ? 1) ,求函数 f ( k ) 的解析式,并求出其定义域;

(2)求函数 f (k ) 的最小值及取最小值时的 k 的值。

18. (本小题满分 15 分) 已知二次函数 f ( x) = ax 2 + bx + cx ,不等式 f ( x) > ?2 x 的解集为 (1,3) . (Ⅰ)若方程 f ( x) + 6a = 0 有两个相等的实根,求 f (x) 的解析式; (Ⅱ)若 f (x) 的最大值为正数,求实数 a 的取值范围.

19. (本小题满分 15 分) 国际上钻石的重量计量单位为克拉.已知某种钻石的价值 y (美元)与其重量 x (克拉)的平 方成正比,且一颗重为 3 克拉的该种钻石的价值为 54 000 美元. (Ⅰ)写出 y 关于 x 的函数关系式; (Ⅱ)若把一颗钻石切割成重量比为 1∶3 的两颗钻石,求价值损失的百分率; (Ⅲ)把一颗钻石切割成两颗钻石,若两颗钻石的重量分别为 m 克拉和 n 克拉,试证明:当

m=n 时,价值损失的百分率最大.
(注:价值损失的百分率= 原有价值- 目前价值 ×100% ;在切割过程中的重量损耗忽略不 原有价值
计)

20. (本小题满分 18 分) 如果满足: 对任意 x ∈ D , 存在常数 M > 0 , 都有 | f ( x ) |≤ M 定义在 D 上的函数 f ( x ) , 成立,则称 f ( x ) 是 D 上的有界函数,其中 M 称为函数 f ( x ) 的上界.

(1)当 a = 1 时,求函数 f ( x ) 在 ( ?∞,0 ) 上的值域,并判断函数 f ( x ) 在 ( ?∞,0 ) 上是否为有 界函数,请说明理由; (2)若函数 f ( x ) 在 [ 0,+∞ ) 上是以 3 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围; (3)若 m > 0 ,函数 g ( x ) 在 [ 0,1] 上的上界是 T (m) ,求 T (m) 的取值范围.

1? m ? 2x ?1? ?1? 已知函数 f ( x ) = 1 + a ? ? ? + ? ? ; g ( x) = . 1+ m ? 2x ?2? ?4?
x x

江苏省海门中学 2010~ 江苏省海门中学 2010~2011 学年第一学期高一期中考试

数 学 试 卷 答 案
命题人:江汉忠 审核人:沈永飞 提醒考生: 小题, 分钟, 提醒考生:试卷共二大题 20 小题,时间为 120 分钟,总分 160 分。 并且所有过程均解答在答题卡上才有效。 并且所有过程均解答在答题卡上才有效。 小题, 把答案填在答题卡的相应位置: 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,把答案填在答题卡的相应位置 填空题: 1.将集合 {x | ( x + 1)( x ? 2)( x + 1) = 0, x ∈ R} 用列举法表示为 {-1,2}
2

2.设一个函数的解析式为 f ( x ) = 2 x + 3 ,其值域为{-1,2,5,8},则其定义域是

1 5 { - 2, , } - 1, 2 2
3.若 f ( 2 x) = 3 x 2 + 1 ,则函数 f (x) 的解析式是 4.若集合 A 满足 {1} U A = {1,3,5} ,则集合 A= 5.函数 f ( x ) = a
x ?1

f ( x) =

3 2 x +1 4

{3,5}或{1,3,5} (1,-2)

? 3 的图象必经过定点

6.已知函数 f ( x ) = ?

x≤0 ? 2, 则 f ( f ( ?2)) = 2 ?3 x ? 4, x > 0

8

.

7.已知集合 A = [1,4 ) , B = ( ?∞, a ) ,若 A ? B ,则实数 a 的取值范围是 8.设 a = 0.3 , b = 2
2 0.3

[4,+∞ )

, c = log 0.3 2 ,则 a, b, c 的大小关系是

c<a<b

(从小到大排列) 9. 已知全集 U={1, 3, 5},A I (CU B ) = {1} ,B I (CU A) = {5} , CU A) I (CU B ) = {2} 2, 4, ( 则集合 A= {1,3,4}

10.已知函数 y = ? x 2 + 4ax 在区间[1,3]上单调递增,则实数 a 的取值范围是 ? ,+∞ ?

?3 ?2

? ?



11.设函数 f ( x ) 是奇函数,则 f ( 3 + 2) + f (

1 3?2

)=

0

x2 12. 函数 f ( x ) = 2 ( x ∈ R ) 的值域是 x + 10
13.设若正整数 m 满足 10
m ?1

y ∈ [0,1)
155

< 2512 < 10m ,则 m =
x

(lg 2 ≈ 0.3010) .

14 . 已 知 函 数 f ( x ) = ( ) 的 图 象 与 函 数 g(x) 的 图 象 关 于 直 线 y = x 对 称 , 令

1 2

h( x) = g (1? | x |), 则关于函数 h(x)有下列命题:
①h(x)的图象关于原点对称; ③h(x)的最小值为 0; 其中正确命题的序号为 ②h(x)为偶函数; ④h(x)在(0,1)上为减函数. ② ③ (注:将所有正确命题的序号都填上) ..

小题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤, 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,解 解答题: 答写在答题卡的指定区域内。 答题卡的指定区域内 答写在答题卡的指定区域内。 15. (本小题满分 14 分) 已知集合 A = {?1, a + 1, a ? 3} , B = {?4, a ? 1, a + 1} ,且 A I B = {?2} , a 的值. 求
2 2
.

解:∵A I B={-2},∴-2 ∈ A,-2 ∈ B, 又∵-2≠-1,a +1>0,即-2≠a +1,∴a -3=-2,解得 a= ± 1. …………………8 分 当 a=1 时,B={-4,0,2},-2 ? B,不合题意舍去. …………………10 分
2 2 2

当 a=-1 时,B={-4,-2,0}, 符合题意.综上所述,a=-1.

…………………12 分 …………………14 分

16. (本小题满分 14 分) 计算下列各式:

3 0 1 ?1 0.5 ?2 (1) (2 ) + 2 ? (2 ) 2 ? (0.01) 5 4
(2) 2
3 log 2 4

+ 3 log 2 1 ? log10 3 ? log 3 2 ? lg 5

解: (1)原式= 1 +

1 2 1 16 ? ? = 4 3 10 15

…………………7 分 …………………14 分

(2)原式= 4 3 + 3 0 ? lg 2 ? lg 5 = 64 17. (本小题满分 14 分) 已知 α,β 是函数 y = x 2 ? 2kx + k + 6 的两个零点。

(1)设函数 f ( k ) = (α ? 1) 2 + ( β ? 1) 2 ,求函数 f ( k ) 的解析式,并求出其定义域; (2)求函数 f ( k ) 的最小值及取最小值时的 k 的值。 解: (1)由题意 α,β 是方程 x ? 2kx + k + 6 = 0 的两根。
2

则 α + β = 2k , α ? β = k + 6

…………………2 分 …………………6 分

∴ f (k ) = (α ? 1) 2 + ( β ? 1) 2 = 4k 2 ? 6k ? 10
又 ? = 4k 2 ? 4( k + 6) ≥ 0 ? k ≤ ?2或k ≥ 3 所以函数 f ( k ) 的定义域为 (? ∞,?2] U [3,+∞ )

…………………10 分

(2)∴ f ( k ) = 4k ? 6k ? 10 = 4( k ? ) ? 10 ?
2 2

3 4

9 , k ∈ (? ∞,?2] U [3,+∞ ) ……12 分 4
…………………14 分

所以函数 f (k ) 的最小值 f (3) = 8 ,此时 k = 3

18. (本小题满分 15 分) 已知二次函数 f ( x) = ax 2 + bx + cx ,不等式 f ( x) > ?2 x 的解集为 (1,3) . (Ⅰ)若方程 f ( x) + 6a = 0 有两个相等的实根,求 f (x) 的解析式; (Ⅱ)若 f (x) 的最大值为正数,求实数 a 的取值范围. (Ⅰ)∵不等式 f ( x) > ?2 x 的解集为 (1,3) 【解】 ∴ x = 1 和 x = 3 是方程 ax 2 + (b + 2) x + c = 0(a < 0) 的两根 -----------1 分

?b + 2 ? a = ?4 ? ∴? ?c = 3 ?a ? ∴ b = ?4a ? 2, c = 3a 又方程 f ( x) + 6a = 0 有两个相等的实根
∴ ? = b 2 ? 4 a (c + 6 a ) = 0 ∴ 4( 2a + 1) 2 ? 4a × 9a = 0 ∴ (5a + 1)(1 ? a ) = 0

-----------2 分

-----------3 分

-----------4 分

1 ∴ a = ? 或 a = 1 (舍) 5 1 6 3 ∴ a = ? ,b = ? ,c = ? 5 5 5 1 6 3 ∴ f ( x) = ? x 2 ? x ? 5 5 5
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) = ax 2 ? 2(2a + 1) x + 3a

-----------5 分 -----------6 分 -----------7 分

2a + 1 ( 2a + 1) 2 )? + 3a a a ? a 2 ? 4a ? 1 = a = a( x ?
∵a < 0 , ∴ f (x) 的最大值为

-----------9 分

? a 2 ? 4a ? 1 a ∵ f (x) 的最大值为正数
?a < 0 ? ∴ ? ? a 2 ? 4a ? 1 >0 ? a ?

-----------11 分

?a < 0 ∴? 2 解得 a < ?2 ? 3 或 ? 2 + 3 < a < 0 ? a + 4a + 1 > 0
∴所求实数 a 的取值范围是 (?∞,?2 ? 3 ) U (?2 + 3 ,0)

-----------13 分

-----------14 分

19. (本小题满分 15 分) 国际上钻石的重量计量单位为克拉.已知某种钻石的价值 y (美元)与其重量 x (克拉)的平 方成正比,且一颗重为 3 克拉的该种钻石的价值为 54 000 美元. (Ⅰ)写出 y 关于 x 的函数关系式; (Ⅱ)若把一颗钻石切割成重量比为 1∶3 的两颗钻石,求价值损失的百分率; (Ⅲ)把一颗钻石切割成两颗钻石,若两颗钻石的重量分别为 m 克拉和 n 克拉,试证明:当

m=n 时,价值损失的百分率最大.
(注:价值损失的百分率= 原有价值- 目前价值 ×100% ;在切割过程中的重量损耗忽略不 原有价值
计) 解答:18、(Ⅰ)依题意设 y=kx ,
2

……………………………………………2 分

当x=3时,y=54000, k=6000 , 故 y=6000x 2 . …………………………… 4 分 ∴
(Ⅱ)设这颗钻石的重量为 a 克拉, 由(Ⅰ)可知,

1 3 6000( a ) 2 + 6000( a )2 4 4 按重量比为 l∶3 切割后的价值为 . 1 3 6000a 2 ? [6000( a ) 2 + 6000( a ) 2 ] 4 4 价值损失为 .……………………………… 6 分 1 3 6000a 2 ? [6000( a ) 2 + 6000( a )2 ] 4 4 = 0.375 = 37.5% 2 6000a 价值损失的百分率为
∴价值损失的百分率为 37.5%.……………………………………10 分 (Ⅲ)证明:价值损失的百分率应为

m+n 2 ) 6000(m + n) ? (6000m + 6000n ) 2mn 1 2 = ≤ = 2 2 2 6000(m + n) ( m + n) ( m + n) 2,
2 2 2

2?(

等号当且仅当 m=n 时成立. 即把一颗钻石切割成两颗钻石,当两颗钻石的重量相等时,价值损失的百分率达到最

大 . ………………………………………………15 分

20. (本小题满分 18 分) 定义在 D 上的函数 f ( x ) , 如果满足: 对任意 x ∈ D , 存在常数 M > 0 , 都有 | f ( x ) |≤ M 成立,则称 f ( x ) 是 D 上的有界函数,其中 M 称为函数 f ( x ) 的上界.

(1)当 a = 1 时,求函数 f ( x ) 在 ( ?∞,0 ) 上的值域,并判断函数 f ( x ) 在 ( ?∞,0 ) 上是否为有 界函数,请说明理由; (2)若函数 f ( x ) 在 [ 0,+∞ ) 上是以 3 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围; (3)若 m > 0 ,函数 g ( x ) 在 [ 0,1] 上的上界是 T (m) ,求 T (m) 的取值范围.

1? m ? 2x ?1? ?1? 已知函数 f ( x ) = 1 + a ? ? ? + ? ? ; g ( x) = . 1+ m ? 2x ?2? ?4?
x x

?1? ?1? [解]: (1)当 a = 1 时, f ( x) = 1 + ? ? + ? ? ?2? ?4?

x

x

因为 f (x) 在 ( ?∞,0 ) 上递减,所以 f ( x) > f (0) = 3 ,即 f (x) 在 ( ?∞,1) 的值域为 ( 3, +∞ ) 故不存在常数 M > 0 ,使 | f ( x) |≤ M 成立 所以函数 f ( x ) 在 ( ?∞,1) 上不是有界函数。 ……4 分(没有判断过程,扣 2 分) (没有判断过程, (2)由题意知, f ( x) ≤ 3 在 [1, +∞ ) 上恒成立。………5 分

? 3 ≤ f ( x) ≤ 3 ,
x

?1? ?1? ?1? ? 4 ? ? ? ≤ a ?? ? ≤ 2 ? ? ? ?4? ?2? ?4?
x

x

x

x



?1? ?1? ? 4 ? 2 ? ? ? ≤ a ≤ 2 ? 2 x ? ? ? 在 [0,+∞ ) 上恒成立………6 分 ?2? ?2?
x x x ? ? ?1? ? ?1? ? x x ≤ a ≤ ?2 ? 2 ? ? ? ? ?? 4 ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? ? max ? 2 ? ? min ? ? ? ? ? ?
x



………7 分

设 2 = t , h(t ) = ?4t ? , p (t ) = 2t ? ,由 x ∈ [ 0, +∞ ) 得 t≥1, 设 1 ≤ t1 < t2 , h(t1 ) ? h(t2 ) =

1 t

1 t

( t2 ? t1 )( 4t1t2 ? 1)
t1t2

>0

p(t1 ) ? p(t 2 ) =

(t1 ? t 2 )(2t1t 2 + 1) < 0
t1 t 2
p (t ) 在 [1, +∞ ) 上的最小值为 p(1) = 1

所以 h(t ) 在 [1, +∞ ) 上递减, p (t ) 在 [1, +∞ ) 上递增,………9 分(单调性不证,不扣分)

h(t ) 在 [1, +∞ ) 上的最大值为 h(1) = ?5 , 2 , m ? 2x +1

所以实数 a 的取值范围为 [ ?5,1] 。…………………………………11 分 (3) g ( x ) = ?1 +

∵ ∴

m>0 , x ∈ [0,1]

∴ 即

g ( x ) 在 [ 0,1] 上递减,………12 分

g (1) ≤ g ( x) ≤ g (0)

1 ? 2m 1? m ≤ g ( x) ≤ ………13 分 1 + 2m 1+ m

①当

? 2? 1 ? m 1 ? 2m 1? m ,即 m ∈ ? 0, , ………14 分 ≥ ? 时, g ( x) ≤ ? 2 1 + m 1 + 2m 1+ m ? ?
T ( m) ≥ 1? m ,………16 分 1+ m

此时

②当

? 2 ? 1 ? m 1 ? 2m 1 ? 2m ,即 m ∈ ? , < ,+∞ ? 时, g ( x) ≤ ? 1 + m 1 + 2m 1 + 2m ? 2 ?
T ( m) ≥ 1 ? 2m , 1 + 2m
---------17 分

此时

综上所述,当 m ∈ ? 0,

? ? ?

2? ? 1? m ? , +∞ ? ; ? 时, T (m) 的取值范围是 ? 2 ? ? 1+ m ?

当m∈?

? 2 ? ? 1 ? 2m ? , +∞ ? ………18 ,+∞ ? 时, T (m) 的取值范围是 ? ? 1 + 2m ? ? ? 2 ?

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