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第二十四讲 解斜三角形

第二十四讲

解斜三角形

【学习目标】 掌握正弦定理,能利用这两个定理解斜三角形,进行有关的计算。 【知识要点】阅读教材(必修 5)P1~P20 完成下列填空 定理 内容 正弦定理 =2R (R 为 ABC 外接圆半径) 余弦定理

a2 ?

b2 ? c2 ?
变形形式 ①a ? ;a ? ; ; ;

a?
② sin A ?

cos A ?



sin A ? ; sin A ? ; ③a :b:c ? a?b?c a ? ④ sin A ? sin B ? sin C sin A ⑤ sin A ? sin B ? a ? b
解决的问题 ①已知两角和任一边,求另一个 角和其他两条边; ②已知两边和其中一边的对角, 求另一边和其他两角。

cos B ?



cos C ?



①已知三边,求各角; ②已知两边和它们的夹 角, 求第三边和其他两角。

【基础检测】完成教材(必修 5)P1~P20 完成习题
0 0 1、 ABC 中, a ? 3, A ? 30 , B ? 60 ,则 b 等于( )

A、 3 3

B、 3

C、

3 2

D、 2 3 )

2、在 ABC 中,若 a, b, c 成等比数列,且 c ? 2a ,则 cos B ? (

A、

2 4

B、

2 3

C、

1 4

D、

3 4

3、在 ABC 中, sin A : sin B : sin C ? 2 : 6 : A、 60
0

?

3 ? 1 ,则三角形的最小内角是( )

?

B、 45

0

C、 30

0

D、以上答案都错

4、 ABC 中, ? a ? b ? c ?? a ? b ? c ? ? 3ab, a cos B ? b cos A ,则三角形的形状为 5、已知 ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列,且 AB ? 1, BC ? 4 ,则边 BC 上的中线 AD 的

长为

,S

ACD

?



【例题分析】 例 1 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cos 2C ? ? (I)求 sinC 的值; (Ⅱ)当 a=2, 2sinA=sinC 时,求 b 及 c 的长.

1 4



2

在 ?ABC 中 , a、b、c 分 别 为 内 角 A、B、C

的 对 边 , 且

2a sin A ? (2b ? c)sin B ? (2c ? b)sin C
(Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)若 sin B ? sin C ? 1 ,试判断 ?ABC 的形状. (III)求 sin B ? sin C 的最大值.

例 3 设 ?ABC 是锐角三角形, a, b, c 分别是内角 A, B, C 所对边长,并且

sin 2 A ? sin(
(Ⅰ)求角 A 的值;

?
3

? B) sin(

?
3

? B) ? sin 2 B 。

(Ⅱ)若 AB AC ? 12, a ? 2 7 ,求 b, c (其中 b ? c ) 。

【方法总结】 【基础训练】

, ?C 的 对边 分别为 a,b,c 。 若 a=c= 6+ 2 , 且 1 、 已知 ?ABC 中, ?A, ?B
?A=75 ,则 b= ( )
A.2 B. 4+2 3 C. 4-2 3 D. 6- 2

2、一质点受到平面上的三个力 F1 , F2 , F3(单位: 牛顿)的作用而处于平衡状态.已知 F1 , F2 成 60 角,且 F1 , F2 的大小分别为2和4,则 F3 的大小为( A.6 B.2 C. 2 5
0



D. 2 7

w.w.w.k.s.5. u.c. o. m

3、已知锐角 ?ABC 的面积为 3 3 , BC ? 4, CA ? 3 ,则角 C 的大小为( A. 75° B. 45° B. 60° D.30°
w.w.w.k.s.5.u.c. o. m



0 4、 ABC, a, b, c 分别为 ?A, ?B, ?C 的对边, 如果 a, b, c 成等差数列,?B ? 30 , ABC

的面积为

3 ,那么 b ? ( 2
B、 1 ? 3



A、

1? 3 2

C、

2? 3 2

D、 2 ? 3

5、在 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a ? 2 ,b ? 2 , sin B ? cos B ? 2 , 则角 A 的大小为 .

6、在△ABC 中,若 b = 1,c = 3 , ?C ?

2? ,则 a = 3

。 A+C=2B, 则

7 、已知 a,b,c 分别是△ ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1,b= 3 , sinC= .

8、在 ?ABC 中,若 sin A : sin B : sin C ? 5 : 7 : 8 ,则 ? B 的大小是______________.

(? 9 、 若 f ( x ) ? a s i nx

ab ) (? 是 0) 偶 函 数 , 则 有 序 实 数 对 ( a, b ) 可 以 4 4 是 .(注:只要填满足 a ? b ? 0 的一组数即可)(写出你认为正确的一组数即可). AC 10、在锐角 ?ABC 中, BC ? 1, B ? 2 A 则 的值等于 , AC 的取值范围 cos A
为 。

?

? ) b s ix n? (

?

11、在⊿ABC 中,BC= 5 ,AC=3,sinC=2sinA (I) 求 AB 的值:
w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

(II) 求 sin ? 2 A ?

? ?

??

? 的值 4?

w.w.w.k.s

12、 ?ABC 的面积是 30,内角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c , cos A ? (Ⅰ)求 AB AC ; (Ⅱ)若 c ? b ? 1 ,求 a 的值。

12 。 13


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