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高考数学所有公式及结论总结大全


高中数学常用公式及结论
1.元素与集合的关系: x ? A ? x ? CU A , x ? CU A ? x ? A . ? ? A ? A ? ? 2.德摩根公式 : CU ( A I B ) = CU A U CU B; CU ( A U B ) = CU A I CU B . 3.包含关系:

A ? B ? A I B = A ? A U B = B ? CU B ? CU A ? A I CU B = F ? CU A U B = R
4.元素个数关系:

card ( A U B ) = cardA + cardB - card ( A I B ) card ( A U B U C ) = cardA + cardB + cardC - card ( A I B ) - card ( B I C ) - card (C I A) + card ( A I B I C ) .
5.集合 {a1 , a2 ,L , an } 的子集个数共有 2n 个;真子集有 2 n - 1 个;非空子集有 2 n - 1 个; 非空的真子集有 2n - 2 个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 f ( x) = ax 2 + bx + c( a ? 0) ; (2)顶点式 f ( x) = a ( x - h) 2 + k ( a ? 0) ;(当已知抛物线的顶点坐标 ( h, k ) 时,设为此式) (3) 零 点 式 f ( x) = a ( x - x1 )( x - x2 )( a ? 0) ; (当已知抛物线与 x 轴的交点坐标为

( x1 , 0), ( x2 , 0) 时,设为此式)
(4)切线式: f ( x ) = a ( x - x0 ) + ( kx + d ), ( a ? 0) . (当已知抛物线与直线 y = kx + d 相
2

切且切点的横坐标为 x0 时,设为此式) 7.解连不等式 N < f ( x ) < M 常有以下转化形式

N < f ( x) < M ? [ f ( x) - M ][ f ( x) - N ] < 0 ?

ì f ( x) > N f ( x) - N >0 ?í . M - f ( x) ? f ( x) < M

8.方程 ax 2 + bx + c = 0( a ? 0) 在 (k1 , k 2 ) 内有且只有一个实根,等价于 f ( k1 ) f ( k2 ) < 0 或

b ì < k2 ? k1 < . 2a í 2 ? ?D = b - 4ac = 0
9.闭区间上的二次函数的最值 二次函数 f ( x) = ax 2 + bx + c( a ? 0) 在闭区间 [ p, q ] 上的最值只能在 x = 两端点处取得,具体如下: (1)当 a>0 时,若 x = -

b 处及区间的 2a

b b ? [ p, q ],则 f ( x) min = f (- ), f ( x) max = max { f ( p ), f (q )} ; 2a 2a

b ? [ p, q ] , f ( x) max =max { f ( p), f (q)} , f ( x) min = min { f ( p), f (q)} . 2a b (2)当 a<0 时,若 x = ? [ p, q ],则 f ( x) min = min { f ( p ), f (q)} , 2a b 若x=? [ p, q ] ,则 f ( x) max = max { f ( p), f (q)} , f ( x) min = min { f ( p ), f (q)} . 2a x=10.一元二次方程 f ( x) = x 2 + px + q =0 的实根分布

ì p 2 - 4q ? 0 ? (1)方程 f ( x ) = 0 在区间 (m,+?) 内有根的充要条件为 f (m) < 0 或 í p ; ?- > m ? 2
(2)方程 f ( x ) = 0 在区间 (m, n) 内有根的充要条件为

p m + n ìm + n p ì ?m < - 2 < 2 ? 2 ?-2 <n ? ? f ( m ) f ( n) < 0 或 í p 2 - 4 q ? 0 或 í p 2 - 4 q ? 0 ; ? ? f ( n) > 0 f ( m) > 0 ? ? ? ?
ì p 2 - 4q ? 0 ? (3)方程 f ( x ) = 0 在区间 (-?, m) 内有根的充要条件为 f (m) < 0 或 í p . ?- < m ? 2
11.定区间上含参数的不等式恒成立(或有解)的条件依据

(1)在给定区间 (-?,+?) 的子区间 L (形如 [a , b ] , (- ?, b ],[a ,+? ) 不同)上含参数的不 等式 f ( x ) ? t ( t 为参数)恒成立的充要条件是 f ( x) min ? t , ( x ? L) . (2)在给定区间 (-?,+?) 的子区间 L 上含参数的不等式 f ( x ) ? t ( t 为参数)恒成立的充要 条件是 f ( x) max ? t , ( x ? L) . (3) 在给定区间 (-?,+?) 的子区间 L 上含参数的不等式 f ( x ) ? t ( t 为参数)的有解充要条 件是 f ( x) max ? t , ( x ? L) . (4) 在给定区间 (-?,+?) 的子区间 L 上含参数的不等式 f ( x ) ? t ( t 为参数)有解的充要 条件是 f ( x) min ? t , ( x ? L) . 对于参数 a 及函数 y = f ( x ), x ? A .若 a ? f ( x ) 恒成立,则 a ? f max ( x) ;若 a ? f ( x ) 恒 成立,则 a ? f min ( x) ;若 a ? f ( x ) 有解,则 a ? f min ( x) ;若 a ? f ( x ) 有解,则 a ? f max ( x) ; 若 a = f ( x ) 有解, 则 f min ( x) ? a ? f max ( x) . (若函数 y = f ( x ), x ? A 无最大值或最小值的情况, 可以仿此推出相应结论) .

12.真值表 p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 非p 假 假 真 真 p或q 真 真 真 假 p且q 真 假 假 假

13.常见结论的否定形式

原结论 是 都是 大于 小于 对所有 x ,成立 对任何 x ,不成立

反设词 不是 不都是 不大于 不小于 存在某 x ,不成立 存在某 x ,成立

原结论 至少有一个 至多有一个 至少有 n 个 至多有 n 个 p 或q

反设词 一个也没有 至少有两个 至多有( n - 1 )个 至少有( n + 1 )个 ?p 且 ?q

p 且q

?p 或 ?q
原命题 若 p则 q 互 否 否命题 若 ┐p则 ┐q 互 逆 互 为 为 互 否 逆命题 若 q则 p 互 否 逆否命题 若 ┐q则 ┐p

14.四种命题的相互关系(右图): 15.充要条件(记 p 表示条件, q 表示结论) (1)充分条件:若 p ? q ,则 p 是 q 充分条件. (2)必要条件:若 q ? p ,则 p 是 q 必要条件. (3)充要条件:若 p ? q ,且 q ? p ,则 p 是 q 充要条件. 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条 件;反之亦然. 16.函数的单调性的等价关系 (1)设 x1 , x2 ? [ a, b ] , x1 ? x2 那么



逆 否

互 逆

( x1 - x2 ) [ f ( x1 ) - f ( x2 ) ] > 0 ? ( x1 - x2 ) [ f ( x1 ) - f ( x2 ) ] < 0 ?

f ( x1 ) - f ( x2 ) > 0 ? f ( x)在[a, b]上是增函数; x1 - x2 f ( x1 ) - f ( x2 ) < 0 ? f ( x)在[a, b ] 上是减函数. x1 - x2

(2)设函数 y = f ( x ) 在某个区间内可导, 如果 f ?( x ) > 0 , 则 f ( x ) 为增函数; 如果 f ?( x ) < 0 , 则 f ( x ) 为减函数. 17.如果函数 f ( x ) 和 g ( x ) 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 f ( x ) + g ( x ) 也是减函数; 如果函数 f ( x ) 和 g ( x ) 都是增函数,则在公共定义域内,和函数 f ( x ) + g ( x ) 也是增函数; 如果 函数 y = f (u ) 和 u = g ( x ) 在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数 y = f [ g ( x )] 是增函数; 如果函数 y = f (u ) 和 u = g ( x ) 在其对应的定义域上都是增函数,则复合函数 y = f [ g ( x )] 是增 函数;如果函数 y = f (u ) 和 u = g ( x ) 在其对应的定义域上一个是减函数而另一个是增函数,则

复合函数 y = f [ g ( x )] 是减函数. 18.奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来,如果一个函数的图象关 于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函数是偶函 数. 19.常见函数的图像:
y
y
y
y

y

k<0
o

k>0
x
o

a<0
x

2 -1
o1

1 y=x+ x
x

y=ax
0<a<1 1
o x

y=logax
0<a<1

a>1
o

a>0

y=kx+b

-2

1 a>1

x

y=ax2+bx+c

20.对于函数 y = f ( x ) ( x ? R ), f ( x + a ) = f (b - x) 恒成立,则函数 f ( x ) 的对称轴是

x=

a+b b-a ;两个函数 y = f ( x + a ) 与 y = f (b - x ) 的图象关于直线 x = 对称. 2 2 a 21.若 f ( x ) = - f (- x + a ) ,则函数 y = f ( x ) 的图象关于点 ( ,0) 对称; 2
若 f ( x ) = - f ( x + a ) ,则函数 y = f ( x ) 为周期为 2a 的周期函数. 22.多项式函数 P ( x ) = an x + an -1 x
n n -1

+ L + a0 的奇偶性

多项式函数 P ( x ) 是奇函数 ? P ( x ) 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数 P ( x ) 是偶函数 ? P ( x ) 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数 y = f ( x) 的图象的对称性 (1)函数 y = f ( x) 的图象关于直线 x = a 对称 ? f (a + x) = f (a - x) ? f (2a - x ) = f ( x ) . (2)函数 y = f ( x) 的图象关于直线 x =

a+b 对称 ? f ( a + mx ) = f (b - mx ) 2

? f (a + b - mx) = f (mx) .
24.两个函数图象的对称性 (1)函数 y = f ( x) 与函数 y = f ( - x ) 的图象关于直线 x = 0 (即 y 轴)对称.

(2)函数 y = f ( mx - a ) 与函数 y = f (b - mx ) 的图象关于直线 x = (3)函数 y = f ( x ) 和 y = f
-1

a+b 对称. 2m

( x) 的图象关于直线 y=x 对称.

25.若将函数 y = f ( x ) 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到函数 y = f ( x - a ) + b 的图象; 若将曲线 f ( x, y ) = 0 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到曲线 f ( x - a, y - b) = 0 的图象. 26.互为反函数的两个函数的关系: f ( a ) = b ? f
-1

(b) = a .

27.函数 y = f ( x) 与其反函数 y = f -1 ( x) 的图像的交点不一定全在直线 y = x 上. 28.几个常见的函数方程 (1)正比例函数 f ( x ) = cx ? f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ), f (1) = c . (2)指数函数 f ( x) = a x ? f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ), f (1) = a ? 0 . (3)对数函数 f ( x) = log a x ? f ( xy ) = f ( x) + f ( y ), f ( a ) = 1( a > 0, a ? 1) .
a (4)幂函数 f ( x) = x ? f ( xy ) = f ( x ) f ( y ), f ?(1) = a .

(5)余弦函数 f ( x ) = cos x ,正弦函数 g ( x ) = sin x , f ( x - y) = f ( x) f ( y) + g ( x) g ( y) ,

f (0) = 1, lim

sin x = 1. x ?0 x

29.几个函数方程的周期(约定 a>0) (1) f ( x ) = f ( x + a ) ,则 f ( x ) 的周期 T=a; (2) f ( x + a ) =

1 1 ( f ( x) ? 0) ,或 f (x + a) = ( f (x) ? 0) ,则 f ( x) 的周期 T=2a; f ( x) f (x)

(3) f ( x) = 1 -

1 ( f ( x) ? 0) ,则 f ( x) 的周期 T=3a; f ( x + a)
f ( x1 ) + f ( x2 ) 且 f ( a ) = 1( f ( x1 ) × f ( x2 ) ? 1, 0 <| x1 - x2 |< 2a ) , 则 f ( x) 的 1 - f ( x1 ) f ( x2 )

(4) f ( x1 + x2 ) = 周期 T=4a;

30.分数指数幂 (1) a n = (2) a
m n
m n

a m ( a > 0, m, n ? N * ,且 n > 1 ) .

=

1 a
m n

=

1
n

a

m

( a > 0, m, n ? N * ,且 n > 1 ) .

31.根式的性质 (1) ( n a ) n = a . (2)当 n 为奇数时, a = a ;
n n

当 n 为偶数时, a =| a |= í
n n

ìa, a ? 0 . ?- a, a < 0

32.有理指数幂的运算性质 (1)

a r × a s = a r + s (a > 0, r , s ? Q) .

(2) ( a r ) s = a rs ( a > 0, r , s ? Q ) . (3) ( ab) = a b ( a > 0, b > 0, r ? Q ) .
r r r

注: 若 a>0,p 是一个无理数,则 a 表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性质, 对于无理数指数幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式: log a N = b ? a b = N ( a > 0, a ? 1, N > 0) . 34.对数的换底公式 : log a N =
log a N

p

log m N ( a > 0 ,且 a ? 1 , m > 0 ,且 m ? 1 , N > 0 ). log m a

对数恒等式: a 推论 log am b =
n

= N ( a > 0 ,且 a ? 1 , N > 0 ).

n log a b ( a > 0 ,且 a ? 1 , N > 0 ). m M = log a M - log a N ; N n n (4) log am N = log a N ( n, m ? R ) . m

35.对数的四则运算法则:若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1) log a ( MN ) = log a M + log a N ; (2) log a (3) log a M = n log a M ( n ? R ) ;
n

36.设函数 f ( x ) = log m ( ax + bx + c )( a ? 0) ,记 D = b - 4ac .若 f ( x ) 的定义域为 R ,
2
2

则 a > 0 且 D < 0 ;若 f ( x ) 的值域为 R ,则 a > 0 ,且 D ? 0 . 37. 对数换底不等式及其推广:设 n > m > 1 , p > 0 , a > 0 ,且 a ? 1 ,则 (1) log m + p ( n + p ) < log m n . (2) log a m log a n < log a
2

m+n . 2

38. 平均增长率的问题(负增长时 p < 0 ) 如果原来产值的基础数为 N, 平均增长率为 p , 则对于时间 x 的总产值 y , 有 y = N (1 + p ) x . 39.数列的通项公式与前 n 项的和的关系: an = í 为 sn = a1 + a2 + L + an ). 40.等差数列的通项公式: an = a1 + ( n - 1) d = dn + a1 - d ( n ? N ) ;
*

n =1 ì s1 , ( 数列 {an } 的前 n 项的和 ? sn - sn -1 , n ? 2

其前 n 项和公式为: sn =

n(a1 + an ) n(n - 1) d 1 = na1 + d = n 2 + (a1 - d )n . 2 2 2 2

41.等比数列的通项公式: an = a1q n -1 =

a1 n × q (n ? N * ) ; q

ì a1 (1 - q n ) ì a1 - an q ,q ?1 ,q ?1 ? ? 其前 n 项的和公式为 sn = í 1 - q 或 sn = í 1 - q . ?na , q = 1 ?na , q = 1 ? 1 ? 1
42.等比差数列 {an } : an +1 = qan + d , a1 = b( q ? 0) 的通项公式为

ìb + (n - 1)d , q = 1 ? an = í bq n + (d - b)q n -1 - d ; ,q ?1 ? q -1 ?

ìnb + n(n - 1)d , (q = 1) ? 其前 n 项和公式为: sn = í . d 1 - qn d ( b ) + n, (q ? 1) ? 1 - q q -1 1 - q ?
43.分期付款(按揭贷款) :每次还款 x = 44.常见三角不等式 (1)若 x ? (0,

ab(1 + b)n 元(贷款 a 元, n 次还清,每期利率为 b ). (1 + b)n - 1

p ) ,则 sin x < x < tan x . 2 p (2) 若 x ? (0, ) ,则 1 < sin x + cos x ? 2 . 2
(3) | sin x | + | cos x |? 1 .

45.同角三角函数的基本关系式 : sin q + cos q = 1 , tan q =
2 2

sin q , tan q × cotq = 1 . cosq

46.正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限)
n n ì ì 2 ( 1) sin a , ( n 为偶数 ) np ? np ? ( -1) 2 co s a , ( n为偶数 ) sin( + a ) = í , co s( + a ) = í n -1 n +1 2 2 ?(-1) 2 co s a , (n为奇数) ? ( -1) 2 sin a , ( n为奇数 ) ? ?

47.和角与差角公式

sin(a ± b ) = sin a cos b ± cos a sin b ; cos(a ± b ) = cos a cos b m sin a sin b ;

tan(a ± b ) =

tan a ± tan b . 1 m tan a tan b

sin(a + b ) sin(a - b ) = sin 2 a - sin 2 b (平方正弦公式); cos(a + b ) cos(a - b ) = cos 2 a - sin 2 b .
a sin a + b cos a =
定, tan j =

a 2 + b 2 sin(a + j ) ( 辅 助 角 j 所 在 象 限 由 点 (a, b) 的 象 限 决

b ). a 2 tan a . 1 + tan 2 a

48.二倍角公式及降幂公式

sin 2a = sin a cos a =

cos 2a = cos 2 a - sin 2 a = 2 cos 2 a - 1 = 1 - 2sin 2 a =

1 - tan 2 a . 1 + tan 2 a

2 tan a . 1 - tan 2 a 1 - cos 2a 1 + cos 2a sin 2 a = , cos 2 a = 2 2 sin 2a 1 - cos 2a tan a = = 1 + cos 2a sin 2a tan 2a =
49. 三倍角公式

p p sin 3q = 3sin q - 4 sin 3 q = 4sin q sin( - q ) sin( + q ) . 3 3 p p cos 3q = 4 cos3 q - 3cos q = 4 cos q cos( - q ) cos( + q ) 3 3
tan 3q = 3 tan q - tan 3 q p p = tan q tan( - q ) tan( + q ) . 2 1 - 3 tan q 3 3



50.三角函数的周期公式 函数 y = sin(w x + j ) ,x∈R 及函数 y = cos(w x + j ) ,x∈R(A,ω, j 为常数,且 A≠0)的周 期T =

2p p ;函数 y = tan(w x + j ) , x ? kp + , k ? Z (A,ω, j 为常数,且 A≠0)的周期 |w | 2

T=

p . |w |
三角函数的图像:

y=sinx
-π/2 -2π -3π/2 -π

y
1

y=cosx
π/2 π 3π/2 2π

y
1

o
-1

x

-2π -3π/2



- π/2

o
-1

π/2

π

3π/2



x

五点法作图列表:

v x +j x y
51.正弦定理 :

0

π/2

π

3π/2



a b c = = = 2 R (R 为 DABC 外接圆的半径) . sin A sin B sin C

? a = 2 R sin A, b = 2 R sin B, c = 2 R sin C ? a : b : c = sin A : sin B : sin C
52.余弦定理

a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A ; b 2 = c 2 + a 2 - 2ca cos B ; c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos C .
53.面积定理

1 1 1 aha = bhb = chc ( ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上的高). 2 2 2 1 1 1 (2) S = ab sin C = bc sin A = ca sin B . 2 2 2 uuu r uuu r 2 uuu r uuu r 1 (3) S DOAB = (| OA | × | OB |) - (OA × OB) 2 . 2
(1) S =

rD内切圆 =

a + b-c斜边 2SD , r直角D内切圆 = a+b+c 2

54.三角形内角和定理 在△ABC 中,有 A + B + C = p ? C = p - ( A + B )

?

C p A+ B = ? 2C = 2p - 2( A + B ) . 2 2 2

55. 简单的三角方程的通解

sin x = a ? x = kp + (-1)k arcsin a (k ? Z ,| a |? 1) .
co s x = a ? x = 2kp ± arccos a (k ? Z ,| a |? 1) . tan x = a ? x = kp + arctan a (k ? Z , a ? R ) .
特别地,有

sin a = sin b ? a = kp + (-1) k b (k ? Z ) .
co s a = cos b ? a = 2kp ± b (k ? Z ) . tan a = tan b ? a = kp + b (k ? Z ) .
56.最简单的三角不等式及其解集

sin x > a (| a |? 1) ? x ? (2kp + arcsin a, 2kp + p - arcsin a ), k ? Z .

sin x < a (| a |? 1) ? x ? (2kp - p - arcsin a, 2kp + arcsin a ), k ? Z . cos x > a (| a |? 1) ? x ? (2kp - arccos a, 2kp + arccos a ), k ? Z . cos x < a (| a |? 1) ? x ? (2kp + arccos a, 2kp + 2p - arccos a ), k ? Z .

p tan x > a (a ? R) ? x ? (kp + arctan a, kp + ), k ? Z . 2 p tan x < a (a ? R) ? x ? (kp - , kp + arctan a ), k ? Z . 2
57.实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数,那么 r r (1) 结合律:λ(μ a )=(λμ) a ; r r r (2)第一分配律:(λ+μ) a =λ a +μ a ; (3)第二分配律:λ( a + b )=λ a +λ b . 58.向量的数量积的运算律: (1) a · b = b · a (交换律); (2)( l a ) · b = l ( a · b )= l a · b = a · ( l b ); (3)( a + b ) ·c = a ·c +b ·c . 59.平面向量基本定理 如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有 一对实数λ1、λ2,使得 a =λ1 e1 +λ2 e2 . 不共线的向量 e1 、 e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 三点 A、B、C 共线的充要条件: MC = l MA + (1 - l ) MB (M 为任意点)

r r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r r

r

r r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

uuuu r

uuur

uuur

60.向量平行的坐标表示

设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0 ,则 a P b ( b ? 0 ) ? x 1 y2 - x2 y1 = 0 . 53. a 与 b 的数量积(或内积): a · b =| a || b | cos q .

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

61. a · b 的几何意义: 数量积 a · b 等于 a 的长度| a |与 b 在 a 的方向上的投影| b | cos q 的乘积.

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r r r r a ×b r 向量 b 在向量 a 上的投影:| b | cos q = r . |a|
62.平面向量的坐标运算

(1)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a + b = ( x1 + x2 , y1 + y2 ) . (2)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a - b = ( x1 - x2 , y1 - y2 ) . (3)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB = OB - OA = ( x2 - x1 , y2 - y1 ) . (4)设 a = ( x, y ), l ? R ,则 l a = (l x, l y ) . (5)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a · b = ( x1 x2 + y1 y2 ) . 63.两向量的夹角公式

r r

r r

r r r r

uuu r

uuu r uuu r

r r

r

r

r

r

r r a ×b cos q = r r = | a |×| b |

x1 x2 + y1 y2
2 2 x12 + y12 × x2 + y2

( a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ).

r

r

64.平面两点间的距离公式

uuu r uuu r uuu r d A, B = | AB |= AB × AB = ( x2 - x1 ) 2 + ( y2 - y1 ) 2 (A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ).
r

65.向量的平行与垂直 :设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0 ,则

r

r

r

r r r r a || b ? b =λ a ? x 1 y2 - x2 y1 = 0 .
r r r r r r a ^ b ( a ? 0 ) ? a · b =0 ? x 1 x2 + y1 y2 = 0 .
66.线段的定比分公式 :设 P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) , P ( x, y ) 是线段 P 1P 2 的分点, l 是实数,

ì x1 + lx2 uuur uuur x= uuu r uuur ? uuu r uuur uuur uuu r OP + lOP 1 ? 1+ l 1 2 且P P = l PP ,则 ? ? OP = tOP + (1 t ) OP ) . OP = í 1 2 1 2 (t = 1+ l 1+ l ?y = y1 + ly2 ? 1+ l ?
67.三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x1 ,y1 )、 B(x2 ,y2 )、 C(x3 ,y3 ),则△ABC 的重心的坐标是

G(

x1 + x2 + x3 y1 + y2 + y3 , ). 3 3
68.点的平移公式

uuur uuu r uuur' ì x' = x + h ì x = x' - h ? ? ' ? OP = OP + PP . ? í ' í ' ?y = y + k ?y = y - k ? ?
' ' ' '

注:图形 F 上的任意一点 P(x, y)在平移后图形 F 上的对应点为 P ( x , y ) , 且 PP 的坐标为

uuur
'

( h, k ) .
69. “按向量平移”的几个结论 (1)点 P ( x, y ) 按向量 a = ( h, k ) 平移后得到点 P ( x + h, y + k ) .
'

r

(2) 函数 y = f ( x) 的图象 C 按向量 a = ( h, k ) 平移后得到图象 C ,则 C 的函数解析式为
' '

r

y = f ( x - h) + k .
(3) 图象 C 按向量 a = ( h, k ) 平移后得到图象 C ,若 C 的解析式 y = f ( x) ,则 C 的函数解析
' '

r

式为 y = f ( x + h) - k . (4) 曲 线 C : f ( x, y ) = 0 按 向 量 a = ( h, k ) 平 移 后 得 到 图 象 C , 则 C 的 方 程 为
' '

r

f ( x - h, y - k ) = 0 .
(5) 向量 m = ( x, y ) 按向量 a = ( h, k ) 平移后得到的向量仍然为 m = ( x, y ) . 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件 设 O 为 DABC 所在平面上一点,角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ,则

r

r

r

(1) O 为 DABC 的外心 ? OA = OB = OC . (2) O 为 DABC 的重心 ? OA + OB + OC = 0 . (3) O 为 DABC 的垂心 ? OA × OB = OB × OC = OC × OA . (4) O 为 DABC 的内心 ? aOA + bOB + cOC = 0 . (5) O 为 DABC 的 ?A 的旁心 ? aOA = bOB + cOC . 71.常用不等式: (1) a, b ? R ? a + b ? 2ab (当且仅当 a=b 时取“=”号).
2 2

uuu r2

uuu r2

uuur 2

uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r

r

uuu r uuur

uuur uuu r r

uuu r

uuur

uuu r

uuu r

uuur

(2) a, b ? R ?

+

a+b ? ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). 2

(3) a 3 + b3 + c3 ? 3abc( a > 0, b > 0, c > 0). (4)柯西不等式: ( a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ? ( ac + bd ) 2 , a, b, c, d ? R. (5) a - b ? a + b ? a + b .

2ab a+b a 2 + b2 (6) ? ab ? ? (当且仅当 a=b 时取“=”号). a+b 2 2
72.极值定理:已知 x, y 都是正数,则有 (1)若积 xy 是定值 p ,则当 x = y 时和 x + y 有最小值 2 p ; (2)若和 x + y 是定值 s ,则当 x = y 时积 xy 有最大值 (3)已知 a, b, x, y ? R + ,若 ax + by = 1 则有

1 2 s . 4

1 1 1 1 by ax + = (ax + by )( + ) = a + b + + ? a + b + 2 ab = ( a + b ) 2 . x y x y x y
(4)已知 a, b, x, y ? R + ,若

a b + = 1 则有 x y

a b ay bx x + y = ( x + y )( + ) = a + b + + ? a + b + 2 ab = ( a + b ) 2 x y x y
73 . 一 元 二 次 不 等 式 ax + bx + c > 0(或 < 0) ( a ? 0, D = b - 4ac > 0) , 如 果 a 与
2 2

ax 2 + bx + c 同号,则其解集在两根之外;如果 a 与 ax 2 + bx + c 异号,则其解集在两根之间.简
言之:同号两根之外,异号两根之间.

x1 < x < x2 ? ( x - x1 )( x - x2 ) < 0( x1 < x2 ) ; x < x1 , 或x > x2 ? ( x - x1 )( x - x2 ) > 0( x1 < x2 ) .
74.含有绝对值的不等式 :当 a> 0 时,有

x < a ? x 2 < a 2 ? -a < x < a .

x > a ? x2 > a2 ? x > a 或 x < - a .
75.无理不等式

(1)

ì f ( x) ? 0 ? f ( x) > g ( x) ? í g ( x) ? 0 . ? f ( x) > g ( x ) ? ì f ( x) ? 0 ì f ( x) ? 0 ì g ( x) ? 0 ì f ( x) ? 0 ? f ( x) > g ( x) ? í g ( x) ? 0 或í ?í 或í . 2 ? f ( x) > [ g ( x)] ? g ( x) < 0 ? f ( x) > [ g ( x)]2 ? g ( x) < 0 ? ì f ( x) ? 0 ? f ( x) < g ( x) ? í g ( x) > 0 . ? f ( x) < [ g ( x)]2 ?

(2)

(3)

76.指数不等式与对数不等式 (1)当 a > 1 时,

a f ( x ) > a g ( x ) ? f ( x ) > g ( x) ;
(2)当 0 < a < 1 时,

ì f ( x) > 0 ? log a f ( x) > log a g ( x) ? í g ( x) > 0 . ? f ( x) > g ( x ) ?

a

f ( x)

>a

g (x)

ì f ( x) > 0 ? ? f ( x) < g ( x) ; log a f ( x) > log a g ( x) ? í g ( x) > 0 ? f ( x) < g ( x) ?

77.斜率公式

k=

y2 - y1 (P . 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ) x2 - x1

78.直线的五种方程 (1)点斜式 y - y1 = k ( x - x1 ) (直线 l 过点 P 1 ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ). (2)斜截式 y = kx + b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距). (3)两点式

y - y1 x - x1 = ( y1 ? y2 )( P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )). y2 - y1 x2 - x1

两点式的推广: ( x2 - x1 )( y - y1 ) - ( y2 - y1 )( x - x1 ) = 0 (无任何限制条件! ) (4)截距式

x y + = 1 ( a、b 分别为直线的横、纵截距, a ? 0、b ? 0 ) a b
r r

(5)一般式 Ax + By + C = 0 (其中 A、B 不同时为 0). 直线 Ax + By + C = 0 的法向量: l ? = ( A, B ) ,方向向量: l = ( B, - A) 79.两条直线的平行和垂直 (1)若 l1 : y = k1 x + b1 , l2 : y = k2 x + b2 ① l1 || l2 ? k1 = k2 , b1 ? b2 ; ② l1 ^ l2 ? k1k2 = -1 .

(2)若 l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 , l2 : A2 x + B 2 y + C2 = 0 ,且 A1、A2、B1、B2 都不为零, ① l1 || l2 ?

A1 B1 C1 ;② l1 ^ l2 ? A1 A2 + B1 B2 = 0 ; = ? A2 B2 C2 k2 - k1 | . ( l1 : y = k1 x + b1 , l2 : y = k2 x + b2 , k1k2 ? -1 ) 1 + k2 k1

80.夹角公式 (1) tan a =|

(2) tan a =|

A1 B2 - A2 B1 | .( l1 : Ax ). 1 +B 1 y +C 1 = 0 , l2 : A 2 x + B 2 y + C2 = 0 , A 1 A2 + B1 B2 ? 0 A1 A2 + B1 B2

直线 l1 ^ l2 时,直线 l1 与 l2 的夹角是 81. l1 到 l2 的角公式 (1) tan a =

p . 2

k2 - k1 .( l1 : y = k1 x + b1 , l2 : y = k2 x + b2 , k1k2 ? -1 ) 1 + k2 k1 A1 B2 - A2 B1 A1 A2 + B1 B2
. (

(2)

tan a =

l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0

,

l2 : A2 x + B 2 y + C2 = 0

,

A1 A2 + B1 B2 ? 0 ).
直线 l1 ^ l2 时,直线 l1 到 l2 的角是

p . 2

82.四种常用直线系方程及直线系与给定的线段相交: (1)定 点直 线 系方 程:经 过 定点 P0 ( x0 , y0 ) 的 直 线系 方程为 y - y0 = k ( x - x0 ) ( 除直 线

x = x0 ),其中 k 是待定的系数; 经过定点 P0 ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 A( x - x0 ) + B( y - y0 ) = 0 ,
其中 A, B 是待定的系数. (2)共点直线系方程: 经过两直线 l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 , l2 : A2 x + B 2 y + C2 = 0 的交点的直 线系方程为 ( A1 x + B1 y + C1 ) + l ( A2 x + B2 y + C2 ) = 0 (除 l2 ),其中λ是待定的系数. (3)平行直线系方程:直线 y = kx + b 中当斜率 k 一定而 b 变动时,表示平行直线系方 程.与直线 Ax + By + C = 0 平行的直线系方程是 Ax + By + l = 0 ( l ? 0 ),λ是参变量. (4)垂直直线系方程:与直线 Ax + By + C = 0 (A≠0,B≠0)垂直的直线系方程是

Bx - Ay + l = 0 ,λ是参变量.
(5)直线系 F(x, y, l) = 0 与线段 AB, A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) 相交 ? F(x1, y1, l) × F(x2 , y2, l) ? 0 .

⑹到定点 P 0 ( x0 , y0 ) 距离为 r 的直线系方程: x cos q

+ y sin q + r - x0 cos q - y0 sin q = 0

(其中 J 是待定的系数) .

83.点到直线的距离 : d =

| Ax0 + By0 + C | A2 + B 2

(点 P ( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax + By + C = 0 ).

84. Ax + By + C > 0 或 < 0 所表示的平面区域 设直线 l : Ax + By + C = 0 ,则 Ax + By + C > 0 或 < 0 所表示的平面区域是: 若 B ? 0 ,当 B 与 Ax + By + C 同号时,表示直线 l 的上方的区域;当 B 与 Ax + By + C 异 号时,表示直线 l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下. 若 B = 0 ,当 A 与 Ax + By + C 同号时,表示直线 l 的右方的区域;当 A 与 Ax + By + C 异 号时,表示直线 l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左. 85. ( A1 x + B1 y + C1 )( A2 x + B2 y + C2 ) > 0 或 < 0 所表示的平面区域

( A1x + B1 y + C1 )( A2 x + B2 y + C2 ) > 0 或 < 0 所表示的平面区域是两直线 A1 x + B1 y + C1 = 0 和 A2 x + B2 y + C2 = 0 所成的对顶角区域(上下或左右两部分) .
86. 圆的四种方程 (1)圆的标准方程 ( x - a ) + ( y - b) = r .
2 2 2

(2)圆的一般方程 x + y + Dx + Ey + F = 0 ( D + E - 4 F >0).
2 2 2 2

(3)圆的参数方程 í

ì x = a + r cos q . ? y = b + r sin q

(4) 圆的直径式方程 (x - x1)(x - x2) +( y - y1)( y - y2 ) = 0 (圆的直径的端点是 A(x1, y1) 、 B(x2, y2)). 87. 圆系方程 (1)过点 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) 的圆系方程是

( x - x1 )( x - x2 ) + ( y - y1 )( y - y2 ) + l[( x - x1 )( y1 - y2 ) - ( y - y1 )( x1 - x2 )] = 0

? ( x - x1 )( x - x2 ) + ( y - y1 )( y - y2 ) + l (ax + by + c) = 0 , 其 中 ax + by + c = 0 是 直 线 AB 的
方程,λ是待定的系数. (2)过直线 l : Ax + By + C = 0 与圆 C : x + y + Dx + Ey + F = 0 的交点的圆系方程是
2 2

x 2 + y 2 + Dx + Ey + F + l ( Ax + By + C ) = 0 ,λ是待定的系数.
(3) 过圆 C1 : x 2 + y 2 + D1 x + E1 y + F1 = 0 与圆 C2 : x 2 + y 2 + D2 x + E2 y + F2 = 0 的交点的 圆系方程是 x + y + D1 x + E1 y + F1 + l ( x + y + D2 x + E2 y + F2 ) = 0 ,λ是待定的系数.
2 2 2 2

特别地,当 l = -1 时, x + y + D1 x + E1 y + F1 + l ( x + y + D2 x + E2 y + F2 ) = 0 就是
2 2 2 2

( D1 - D2 ) x + ( E1 - E2 ) y + ( F1 - F2 ) = 0 表示:
①当两圆相交时,为公共弦所在的直线方程; ②向两圆所引切线长相等的点的轨迹(直线)方程,有的称这条直线为根轴; 88.点与圆的位置关系:点 P ( x0 , y0 ) 与圆 ( x - a ) + ( y - b) = r 的位置关系有三种
2 2 2

若d =

(a - x0 ) 2 + (b - y0 ) 2 ,则 d > r ? 点 P 在圆外; d = r ? 点 P 在圆上; d < r ? 点

P 在圆内.
89.直线与圆的位置关系 直线 Ax + By + C = 0 与圆 ( x - a ) 2 + ( y - b) 2 = r 2 的位置关系有三种( d =

Aa + Bb + C A2 + B 2

):

d > r ? 相离 ? D < 0 ; d = r ? 相切 ? D = 0 ; d < r ? 相交 ? D > 0 .
90.两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 = d

d > r1 + r2 ? 外离 ? 4条公切线 ; d = r1 + r2 ? 外切 ? 3条公切线 ;
r1 - r2 < d < r1 + r2 ? 相交 ? 2条公切线 ; d = r1 - r2 ? 内切 ? 1条公切线 ;
内含 内切 r2-r1 相交 外切 相离 r1+r2

o

d

d

d

d

0 < d < r1 - r2 ? 内含 ? 无公切线 .
91.圆的切线方程及切线长公式 (1)已知圆 x + y + Dx + Ey + F = 0 .
2 2

①若已知切点 ( x0 , y0 ) 在圆上,则切线只有一条,其方程是

D( x0 + x) E ( y0 + y ) + + F = 0. 2 2 D( x0 + x) E ( y0 + y ) 当 ( x0 , y0 ) 圆外时, x0 x + y0 y + + + F = 0 表示过两个切点的切 2 2 x0 x + y0 y +
点弦方程.求切点弦方程,还可以通过连心线为直径的圆与原圆的公共弦确定. ②过圆外一点的切线方程可设为 y - y0 = k ( x - x0 ) ,再利用相切条件求 k,这时必有两 条切线,注意不要漏掉平行于 y 轴的切线. ③斜率为 k 的切线方程可设为 y = kx + b ,再利用相切条件求 b,必有两条切线. (2)已知圆 x 2 + y 2 = r 2 . ①过圆上的 P0 ( x0 , y0 ) 点的切线方程为 x0 x + y0 y = r ;
2

②斜率为 k 的圆的切线方程为 y = kx ± r 1 + k .
2 2 2 (3) 过圆 x + y + Dx + Ey + F = 0 外一点 (x0 , y0 ) 的切线长为 l = x0 + y0 + Dx0 + Ey0 + F

2

2

92.椭圆

ì x = a cos q x2 y2 c b2 + = 1( a > b > 0) 的参数方程是 . 离心率 e = = 1 , í a2 b2 a a2 ? y = b sin q

a2 b2 准线到中心的距离为 ,焦点到对应准线的距离(焦准距) p = . c c
过焦点且垂直于长轴的弦叫通经,其长度为: 2g

b2 . a

93.椭圆

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积 a2 b2

PF1 = e( x +

a2 a2 ?F PF ) = a + ex , PF2 = e( - x) = a - ex ; S DF1PF2 = c | yP |= b 2 tan 1 . c c 2

94.椭圆的的内外部 (1)点 P ( x0 , y0 ) 在椭圆
2 2 x0 y0 x2 y2 + = 1( a > b > 0) 的内部 ? + <1. a2 b2 a2 b2 2 2 x0 y0 x2 y2 + = 1( a > b > 0) 的外部 ? + > 1. a2 b2 a2 b2

(2)点 P ( x0 , y0 ) 在椭圆 95. 椭圆的切线方程 (1)椭圆

xx y y x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 + 02 = 1 . 2 a b a b xx y y x2 y2 + 2 =1外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 02 + 02 = 1 . 2 a b a b

(2)过椭圆

(3)椭圆

x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0) 与直线 Ax + By + C = 0 相切的条件是 A2 a 2 + B 2b 2 = c 2 . 2 a b

x2 y2 c b2 96.双曲线 2 - 2 = 1( a > 0, b > 0) 的离心率 e = = 1 + 2 ,准线到中心的距离为 a b a a a2 b2 ,焦点到对应准线的距离(焦准距) p = . c c
过焦点且垂直于实轴的弦叫通经,其长度为: 2g

b2 . a

焦半径公式 PF1 =| e( x +

a2 a2 ) |=| a + ex | , PF2 =| e( - x) |=| a - ex | , c c
2

两焦半径与焦距构成三角形的面积 S DF1PF2 = b cot 97.双曲线的内外部

?F1 PF . 2

(1)点 P ( x0 , y0 ) 在双曲线

2 2 x0 y0 x2 y2 = 1( a > 0, b > 0) 的内部 ? >1. a2 b2 a2 b2 2 2 x0 y0 x2 y2 = 1( a > 0, b > 0) 的外部 ? <1. a2 b2 a2 b2

(2)点 P ( x0 , y0 ) 在双曲线

98.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1)若双曲线方程为

x2 y2 x2 y2 b = 1 ? 渐近线方程: - 2 = 0 ? y = ± x. 2 2 2 a b a b a
x y x y b x ? ± = 0 ? 双曲线可设为 2 - 2 = l . a b a a b
2 2

(2)若渐近线方程为 y = ±

(3)若双曲线与

x2 y2 x2 y2 = 1 有公共渐近线,可设为 =l a 2 b2 a2 b2

( l > 0 ,焦点在 x 轴上, l < 0 ,焦点在 y 轴上) . (4) 焦点到渐近线的距离总是 b . 99. 双曲线的切线方程

xx y y x2 y 2 (1)双曲线 2 - 2 = 1(a > 0, b > 0) 上一点 P ( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 - 02 = 1 . a b a b
(2)过双曲线

xx y y x2 y 2 - 2 = 1 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 02 - 02 = 1 . 2 a b a b

(3)双曲线

x2 y 2 - = 1 与直线 Ax + By + C = 0 相切的条件是 A2 a 2 - B 2b 2 = c 2 . a2 b2

100. 抛物线 y 2 = 2 px 的焦半径公式 抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 焦半径 CF = x0 +

p . 2

p (其中θ为 x 轴的正向绕焦点按逆时针方向旋转到 FC 的角) 1 - cos q p p 过焦点弦长 CD = x1 + + x 2 + = x1 + x 2 + p . 2 2 2p CD = (其中α为倾斜角) sin 2 a CF =

101 . 抛 物 线 y = 2 px 上 的 动 点 可 设 为 P (
2

yo , y o ) 或 P(2 pt 2 , 2 pt ) P ( xo , yo ) , 其 中 2p

2

yo2 = 2 pxo .
102.二次函数 y = ax + bx + c = a( x +
2

b 2 4ac - b2 ) + (a ? 0) 的图象是抛物线: 2a 4a

b 4ac - b 2 b 4ac - b 2 + 1 (1)顶点坐标为 ( , ); (2)焦点的坐标为 ( , ); 2a 4a 2a 4a
(3)准线方程是 y =

4ac - b 2 - 1 . 4a

103.以抛物线上的点为圆心,焦半径为半径的圆必与准线相切;以抛物线焦点弦为直径的 圆,必与准线相切;以抛物线的半径为直径径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切. 104. 抛物线的切线方程 (1)抛物线 y = 2 px 上一点 P ( x0 , y0 ) 处的切线方程是 y0 y = p ( x + x0 ) .
2

(2)过抛物线 y = 2 px 外一点 P ( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 y0 y = p(x + x0 ) .
2

(3)抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 与直线 Ax + By + C = 0 相切的条件是 pB 2 = 2 AC . 105.两个常见的曲线系方程 (1)过曲线 f1(x, y) = 0 , f2 (x, y) = 0的交点的曲线系方程是 f1(x, y) + l f2 (x, y) = 0 ( l 为参数).

(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程

x2 y2 + = 1 ,其中 k < max{a 2 , b 2 } . a2 - k b2 - k

当 k < min{a 2 , b 2 } 时,表示椭圆; 当 min{a 2 , b 2 } < k < max{a 2 , b 2 } 时,表示双曲线. 106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB =

( x1 - x2 )2 + ( y1 - y2 ) 2 或

AB = (1 + k 2 )[( x2 + x1 )2 - 4 x2 × x1 ] =| x1 - x2 | 1 + tan 2 a =| y1 - y2 | 1 + co t 2 a
( 弦 端点 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) , 由 方程 í

ì y = kx + b 2 消 去 y 得 到 ax + bx + c = 0 , ?F( x , y) = 0

D > 0 , a 为直线 AB 的倾斜角, k 为直线的斜率, | x1 - x2 |= ( x1 + x2 ) 2 - 4 x1 x2 ) .
107.圆锥曲线的两类对称问题 (1)曲线 F ( x, y ) = 0 关于点 P ( x0 , y0 ) 成中心对称的曲线是 F (2 x0 -x, 2 y0 - y ) = 0 . (2)曲线 F ( x, y ) = 0 关于直线 Ax + By + C = 0 成轴对称的曲线是

F (x -

2 A( Ax + By + C ) 2 B( Ax + By + C ) ,y) = 0. 2 2 A +B A2 + B 2

特别地,曲线 F ( x, y ) = 0 关于原点 O 成中心对称的曲线是 F ( - x, - y ) = 0 . 曲线 F ( x, y ) = 0 关于直线 x 轴对称的曲线是 F ( x, - y ) = 0 . 曲线 F ( x, y ) = 0 关于直线 y 轴对称的曲线是 F ( - x, y ) = 0 . 曲线 F ( x, y ) = 0 关于直线 y = x 轴对称的曲线是 F ( y, x ) = 0 . 曲线 F ( x, y ) = 0 关于直线 y = - x 轴对称的曲线是 F ( - y , - x ) = 0 . 108.圆锥曲线的第二定义:动点 M 到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离之比为常数 e ,若 0 < e < 1 ,M 的轨迹为椭圆;若 e = 1 ,M 的轨迹为抛物线;若 e > 1 ,M 的轨迹为双曲线. 109.证明直线与直线的平行的思考途径 (1)转化为判定共面二直线无交点; (2)转化为二直线同与第三条直线平行; (3)转化为线面平行; (4)转化为线面垂直; (5)转化为面面平行. 110.证明直线与平面的平行的思考途径 (1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行. 111.证明平面与平面平行的思考途径 (1)转化为判定二平面无公共点; (2)转化为线面平行; (3)转化为线面垂直. 112.证明直线与直线的垂直的思考途径 (1)转化为相交垂直; (2)转化为线面垂直;

(3)转化为线与另一线的射影垂直; (4)转化为线与形成射影的斜线垂直. 113.证明直线与平面垂直的思考途径 (1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面. 114.证明平面与平面的垂直的思考途径 (1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直; (3) 转化为两平面的法向量平行. 115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律: a + b = b + a . (2)加法结合律:( a + b )+ c = a +( b + c ). (3)数乘分配律:λ( a + b )=λ a +λ b . 116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和, 等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公 共始点为始点的对角线所表示的向量. 117.共线向量定理 对空间任意两个向量 a 、 b ( b ≠ 0 ), a ∥ b ? 存在实数λ使 a =λ b .

r

r r r

r

r

r r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r P、A、B 三点共线 ? AP || AB ? AP = t AB ? OP = (1 - t )OA + tOB . r uuu r uuu r uuu r uuu AB || CD ? AB 、 CD 共线且 AB、CD 不共线 ? AB = tCD 且 AB、CD 不共线.
118.共面向量定理

向量 p 与两个不共线的向量 a 、 b 共面的 ? 存在实数对 x, y ,使 p = xa + yb . 推论 空间一点 P 位于平面 MAB 内的 ? 存在有序实数对 x, y ,使 MP = xMA + yMB , 或对空间任一定点 O,有序实数对 x, y ,使 OP = OM + xMA + yMB . 119 . 对 空 间 任 一 点 O 和 不 共 线 的 三 点 A 、 B 、 C , 满 足 OP = xOA + yOB + zOC

r

r

r

r

r

r

uuur

uuur

uuur

uuu r

uuuu r

uuur

uuur

uuu r

uuu r

uuu r

uuur

(x+ y+ z = k) ,则当 k = 1 时,对于空间任一点 O ,总有 P、A、B、C 四点共面;当 k ? 1 时,

若 O ? 平面 ABC,则 P、A、B、C 四点共面;若 O ? 平面 ABC,则 P、A、B、C 四点不共面.

uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur A、B、 C、D 四点共面 ? AD 与 AB 、 AC 共面 ? AD = x AB + y AC ?

uuur uuu r uuu r uuur OD = (1 - x - y )OA + xOB + yOC ( O ? 平面 ABC) .
120.空间向量基本定理

如果三个向量 a 、 b 、 c 不共面,那么对空间任一向量 b ,存在一个唯一的有序实数组 x, y,z,使 p =x a +y b +z c . 推论 设 O、A、B、C 是不共面的四点,则对空间任一点 P,都存在唯一的三个有序实数 x, y,z,使 OP = xOA + yOB + zOC . 121.射影公式

r

r

r

r

r

r

r

r

uuu r

uuu r

uuu r

uuur

已知向量 AB = a 和轴 l , e 是 l 上与 l 同方向的单位向量.作 A 点在 l 上的射影 A? ,作 B 点 在 l 上的射影 B? ,则

uuu r r

r

uuu r r r r r A?B? =| AB | cos < a , e >= a × e
r

122.向量的直角坐标运算 设 a = ( a1 , a2 , a3 ) , b = (b1 , b2 , b3 ) 则 (1) a + b = ( a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 ) ; (2) a - b = ( a1 - b1 , a2 - b2 , a3 - b3 ) ; (3)λ a = (l a1 , l a2 , l a3 ) (λ∈R); (4) a · b = a1b1 + a2b2 + a3b3 ; 123.设 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则

r

r r

r r

r

r

r

uuu r uuu r uuu r AB = OB - OA = ( x2 - x1 , y2 - y1 , z2 - z1 ) .
124.空间的线线平行或垂直 设 a = ( x1 , y1 , z1 ) , b = ( x2 , y2 , z2 ) ,则

r

r

ì x1 = l x2 r r r r r r ? a P b ? a = l b(b ? 0) ? í y1 = l y2 ; ?z = l z 2 ? 1 r r r r a ^ b ? a × b = 0 ? x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = 0 .
125.夹角公式 设 a = ( a1 , a2 , a3 ) , b = (b1 , b2 , b3 ) ,则 cos < a , b >=
2 2 2 2 2 2 2

r

r

r r

a1b1 + a2b2 + a3b3
2 2 2 a + a2 + a3 b12 + b2 + b32 2 1



推论 ( a1b1 + a2b2 + a3b3 ) ? ( a1 + a2 + a3 )(b1 + b2 + b3 ) ,此即三维柯西不等式. 126. 正棱锥的侧面与底面所成的角为 q ,则 cos q =

S底面 S侧面



特别地,对于正四面体每两个面所成的角为 q ,有 cos q = 127.异面直线所成角

1 . 3

r r r r | a ×b | cos q =| cos a, b | = r r = | a |×| b |
o o

| x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 | x12 + y12 + z12 × x2 2 + y2 2 + z2 2

(其中 q ( 0 < q ? 90 )为异面直线 a, b 所成角, a, b 分别表示异面直线 a, b 的方向向量)

r r

uuu r ur AB × m ur r ur ( m 为平面 a 的法向量). b = arc sin uuu | AB || m |
129.若 DABC 所在平面 b 与过若 AB 的平面 a 成的角 q ,另两边 AC , BC 与平面 a 成的 角分别是 q1 、 q 2 , A、B 为 DABC 的两个内角,则

128.直线 AB 与平面所成角

sin 2 q1 + sin 2 q 2 = (sin 2 A + sin 2 B) sin 2 q .
特别地,当 ?ACB = 90 时,有 sin q1 + sin q 2 = sin q .
2 2 2
o

130. 若 DABC 所在平面 b 与过 AB 的平面 a 成的角 q ,另两边 AC , BC 与平面 a 成的角分

别是 q1 、 q 2 , A 、B 为 DABO 的两个内角,则
' '

tan 2 q1 + tan 2 q 2 = (sin 2 A' + sin 2 B ' ) tan 2 q .
特别地,当 ?AOB = 90 时,有 sin q1 + sin q 2 = sin q .
2 2 2
o

131.二面角 a - l - b 的平面角(根据具体图形确定是锐角或是钝角)

ur r ur r ur r m×n m×n q = arc cos ur r 或 p - arc cos ur r ( m , n 为平面 a , b 的法向量) . | m || n | | m || n |
132.三余弦定理 设 AC 是α内的任一条直线,AD 是α的一条斜线 AB 在α 内的射影, 且 BD⊥AD, 垂足为 D, 设 AB 与α(AD)所成的角为 q1 , AD 与 AC 所成的角为 q 2 , AB 与 AC 所成的角为 q .则

B
q1 q2 q

A a

D C

cos q = cos q1 cos q 2 .
133. 三射线定理 若夹在平面角为 j 的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是 q1 , q 2 ,与二面角的 棱所成的角是θ,则有 sin j sin q = sin q1 + sin q 2 - 2sin q1 sin q 2 cos j ;
2 2 2 2

| q1 - q 2 |? j ? 180o - (q1 + q 2 ) (当且仅当 q = 90o 时等号成立).
134.空间两点间的距离公式

若 A ( x1 , y1 , z1 ) , B ( x2 , y2 , z2 ) , 则 d A, B = | AB |= AB × AB = ( x2 - x1 ) + ( y2 - y1 ) + ( z2 - z1 ) .
2 2 2

uuu r

uuu r uuu r

135.点 Q 到直线 l 距离

r uuu r 1 r r r r r h = r (| a || b |) 2 - (a × b ) 2 (点 P 在直线 l 上, a 为直线 l 的方向向量, b = PQ ). |a|
136.异面直线间的距离

uuu r uu r r | CD × n | r d= ( l1 , l2 是两异面直线, 其公垂向量为 n ,C、D 分别是 l1 , l2 上任一点,d 为 l1 , l2 |n|

间的距离). 137.点 B 到平面 a 的距离

uuu r uu r | AB × n | r r d= ( n 为平面 a 的法向量, A ? a , AB 是 a 的一条斜线段) . |n|

138.异面直线上两点距离公式

d = h 2 + m2 + n 2 m 2mn cos q . uuur uuur 2 2 2 d = h + m + n - 2mn cos EA' , AF .
d = h 2 + m2 + n 2 - 2mn cos j ( j = E - AA' - F ) .
(两条异面直线 a、b 所成的角为θ,其公垂线段 AA' 的长度为 h.在直线 a、b 上分别取两点 E、 F, A E = m , AF = n , EF = d ).
'

139.三个向量和的平方公式

r r r r 2 r 2 r2 r r r r r r (a + b + c) 2 = a + b + c + 2a × b + 2b × c + 2c × a
r 2 r 2 r2 r r r r r r r r r r r r = a + b + c + 2 | a | × | b | cos a, b + 2 | b | × | c | cos b, c + 2 | c | × | a | cos c, a

140. 长度为 l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 l1、l2、l3 ,夹角分别为

q1、q 2、q 3 ,则有 l 2 = l12 + l22 + l32 ?cos2 q1 + cos2 q2 + cos2 q3 =1 ? sin2 q1 + sin2 q2 + sin2 q3 = 2 .
(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例) . 141. 面积射影定理 S =

S' . cos q
'

(平面多边形及其射影的面积分别是 S 、 S ,它们所在平面所成锐二面角的为 q ). 142. 斜棱柱的直截面 已知斜棱柱的侧棱长是 l ,侧面积和体积分别是 S斜棱柱侧 和 V斜棱柱 ,它的直截面的周长和面积 分别是 c1 和 S1 ,则① S斜棱柱侧 = c1l ;② V斜棱柱 = S1l . 143.作截面的依据 三个平面两两相交,有三条交线,则这三条交线交于一点或互相平行.

144.棱锥的平行截面的性质 如果棱锥被平行于底面的平面所截, 那么所得的截面与底面相似, 截面面积与底面面积的比 等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比 (对应角相等, 对应边对应成比例的多边形是相似多边形, 相似多边形面积的比等于对应边的比的平方) ;相应小棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于顶点 到截面距离与棱锥高的立方比; 相应小棱锥的的侧面积与原棱锥的的侧面积的比等于顶点到截面 距离与棱锥高的平方比. 145.欧拉定理(欧拉公式) V + F - E = 2 (简单多面体的顶点数 V、棱数 E 和面数 F). (1) E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为 n 的多边形,则面数 F 与棱 数 E 的关系: E =

1 nF ; 2 1 mV . 2

(2)若每个顶点引出的棱数为 m ,则顶点数 V 与棱数 E 的关系: E = 146.球的半径是 R,则其体积 V =

4 3 p R ,其表面积 S = 4p R 2 . 3

147.球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是 正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体: 棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为

6 a (正四面体高 12

6 1 6 6 3 a 的 ),外接球的半径为 a (正四面体高 a 的 ). 3 4 4 3 4
148.柱体、锥体的体积

1 V柱体 = Sh ( S 是柱体的底面积、 h 是柱体的高) . 3 1 V锥体 = Sh ( S 是锥体的底面积、 h 是锥体的高) . 3
149.分类计数原理(加法原理) : N = m1 + m2 + L + mn . 150.分步计数原理(乘法原理) : N = m1 ? m2 ? L ? mn . 151. 排列数公式 :An = n(n - 1)L(n - m + 1) =
m

n! . (n, m ∈N*, 且 m ? n ). 规定 0! = 1 . (n - m)!

152.排列恒等式 :(1) An = ( n - m + 1) An
m m m -1 n n +1 n

m -1

;(2) An =
m
m

n Anm-1 ; n-m
m m -1

(3) An = nAn -1 ; (4) nAn = An +1 - An ; (6) 1!+ 2 × 2!+ 3 × 3!+ L + n × n ! = ( n + 1)!- 1 . 153. 组合数公式: C
m n =

(5) An +1 = An + mAn



Anm n(n -1)L(n - m + 1) n! * = = ( n ∈N , m? N , 且 m ? n ). m Am 1? 2 ?L? m m! × (n - m) !
m n-m

154.组合数的两个性质:(1) C n = C n 155.组合恒等式 (1) Cn =
m

;(2) C n + C n

m

m -1

= C n +1 .规定 C n = 1 .
m 0

n - m + 1 m -1 n Cn ;(2) Cnm = Cnm-1 ; m n-m n m -1 Cn -1 ; m
r r

(3) Cn =
m

(4)

?C
r =0
r

n

r n

= 2n ;

(5) C r + C r +1 + C r + 2 + L + C n = C n +1 .
r r +1

(6) C n + C n + C n + L + C n + L + C n = 2 .
0 1 2 r n n

(7) C n + C n + C n + L = C n + C n + C n + L 2
1 3 5 0 2 4

n -1



(8) C n + 2C n + 3C n + L + nC n = n 2
1 2 3 n r 0 r -1 1 0r r

n -1



(9) C m C n + C m C n + L + C m C n = C m + n .
r

(10) (C n ) + (C n ) + (C n ) + L + (C n ) = C 2 n .
0 2 1 2 2 2 n 2 n

156.排列数与组合数的关系: An = m ! × Cn .
m m

157.单条件排列(以下各条的大前提是从 n 个元素中取 m 个元素的排列) (1) “在位”与“不在位” ①某 (特) 元必在某位有 An -1 种; ②某 (特) 元不在某位有 An - An -1 (补集思想) = An -1 An -1
m 1 m -1 m -1 m -1

(着眼位置) = An -1 + Am -1 An -1 (着眼元素)种.
m 1

m -1

(2)紧贴与插空(即相邻与不相邻)

①定位紧贴: k ( k ? m ? n) 个元在固定位的排列有 Ak An - k 种.
k

m-k

②浮动紧贴: n 个元素的全排列把 k 个元排在一起的排法有 An - k +1 Ak 种. 注:此类问题常用捆绑法; ③插空:两组元素分别有 k、h 个( k ? h + 1 ) ,把它们合在一起来作全排列,k 个的一组互 不能挨近的所有排列数有 Ah Ah +1 种. (3)两组元素各相同的插空 m 个大球 n 个小球排成一列,小球必分开,问有多少种排法? 当 n > m + 1 时,无解;当 n ? m + 1 时,有
n Am n +1 = Cm +1 种排法. n An
n h k

n - k +1

k

(4)两组相同元素的排列:两组元素有 m 个和 n 个,各组元素分别相同的排列数为 Cm + n . 158.分配问题 (1)(平均分组有归属问题)将相异的 mn 个物件等分给 m 个人,各得 n 件,其分配方法数 共有 N = C mn × C mn - n × C mn - 2 n × L × C 2 n × C n =
n n n n n

(mn)! . (n!) m

(2)(平均分组无归属问题)将相异的 mn 个物体等分为无记号或无顺序的 m 堆,其分配方 法数共有

N=

n n n n n Cmn × Cmn (mn)! - n × Cmn - 2 n ... × C2 n × Cn = . m! m!(n!) m

(3)(非平均分组有归属问题)将相异的 P(P=n1 +n 2 + L +n m ) 个物体分给 m 个人,物件必须 被分完,分别得到 n1 , n2 ,…, nm 件,且 n1 , n2 ,…, nm 这 m 个数彼此不相等,则其分配方
nm n1 n2 法数共有 N = C p × Cp - n1 ...C n m × m! =

p!m! . n1!n2 !...nm !

(4)(非完全平均分组有归属问题)将相异的 P(P=n1 +n 2 + L +n m ) 个物体分给 m 个人,物件 必须被分完,分别得到 n1 , n2 ,…, nm 件,且 n1 , n2 ,…, nm 这 m 个数中分别有 a、b、c、…

个相等,则其分配方法数有 N =

nm n1 n2 Cp × Cp - n1 ...Cn m × m!

a!b!c!...

=

p !m ! . n1 !n2 !...nm !(a !b !c !...)

(5) (非平均分组无归属问题)将相异的 P(P=n1 +n 2 + L +n m ) 个物体分为任意的 n1 ,n2 , …,

nm 件 无 记 号 的 m 堆 , 且 n1 , n2 , … , nm 这 m 个 数 彼 此 不 相 等 , 则 其 分 配 方 法 数 有
N= p! . n1!n2!...nm!

( 6 ) ( 非完全平均分组无归属问题 ) 将相异的 P(P=n1 +n 2 + L +n m ) 个物体分为任意的 n1 ,

n2 ,…, nm 件无记号的 m 堆,且 n1 , n2 ,…, nm 这 m 个数中分别有 a、b、c、…个相等,则
其分配方法数有 N =

p! . n1!n2!...nm !(a!b!c!...)

(7)(限定分组有归属问题)将相异的 p ( p = n1 +n2 + L +nm )个物体分给甲、乙、丙,…… 等 m 个人, 物体必须被分完, 如果指定甲得 n1 件, 乙得 n2 件, 丙得 n3 件, …时, 则无论 n1 , n2 , …,

nm 等 m 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有
n1 n2 nm N = Cp × Cp - n1 ...Cn m =

p! . n1!n2!...nm!

159. “错位问题” 2 封信与 2 个信封全部错位排列数:1; 3 封信与 3 个信封全部错位排列数:2; 4 封信与 4 个信封全部错位排列数:9; 5 封信与 5 个信封全部错位排列数:44; (一般记着上面的就够了) 推广 贝努利装错笺问题:信 n 封信与 n 个信封全部错位的组合数为

1 1 1 1 - + - L + (-1)n ] . 2! 3! 4! n! 推广: n 个元素与 n 个位置,其中至少有 m 个元素错位的不同组合总数为 f (n) = n ![

1 2 3 4 f (n, m) = n !- Cm (n - 1)!+ Cm (n - 2)!- Cm (n - 3)!+ Cm (n - 4)! p m - L + (-1) p Cm (n - p)!+ L + (-1)m Cm (n - m)!

= n ![1 -

1 2 3 4 p m Cm Cm Cm Cm p Cm m Cm + + L + ( 1) + L + ( 1) ]. 1 2 2 An An An An4 Anp Anm

160.不定方程 x1 +x2 + L +xn = m 的解的个数 (1)方程 x1 +x2 + L +xn = m ( n, m ? N )的正整数解有 C m-1 个.
*

n -1

(2) 方程 x1 +x2 + L +xn = m ( n, m ? N )的非负整数解有 C n+m-1 个.
*

n -1

(3) 方程 x1 +x2 + L +xn = m ( n, m ? N )满足条件 xi ? k ( k ? N , 2 ? i ? n - 1 )的非负
*
*

整数解有 Cm +1-( n - 2)( k -1) 个. 161.二项式定理 ( a + b) = C n a + C n a
n 0 n 1 n -1 2 n-2 2 r n-r r n n b + Cn a b + L + Cn a b + L + Cn b ;

n -1

二项展开式的通项公式 Tr +1 = C n a
r

n-r

b r (r = 0, 1, 2 L,n) .

f ( x) = (ax + b) n = a0 + a1 x + a2 x 2 + L + an x n 的展开式的系数关系:

a0 + a1 + a2 + L + an = f (1) ; a0 - a1 + a2 + L + (-1)n an = f (-1) ; a0 = f (0) .
162.等可能性事件的概率: P ( A) =

m . n

163.互斥事件 A,B 分别发生的概率的和:P(A+B)=P(A)+P(B). 164. n 个互斥事件分别发生的概率的和: P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An). 165.独立事件 A,B 同时发生的概率:P(A·B)= P(A)·P(B). 166.n 个独立事件同时发生的概率: P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An). 167.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率: Pn ( k ) = Cn P (1 - P )
k k n-k

.

168.离散型随机变量的分布列的两个性质

(1) Pi ? 0(i = 1, 2,L) ;(2) P 1+P 2 +L = 1. 169.数学期望: Ex = x1 P 1 + x2 P 2 + L + xn P n +L 170.数学期望的性质 (1) E ( ax + b) = aE (x ) + b . (2)若 x ~ B ( n, p ) ,则 Ex = np . (3) 若 x 服从几何分布,且 P (x = k ) = g (k , p ) = q k -1 p ,则 Ex =
2 2

1 . p
2

171.方差: Dx = ( x1 - Ex ) × p1 + ( x2 - Ex ) × p2 + L + ( xn - Ex ) × pn + L 172.标准差: sx = Dx . 173.方差的性质 (1) D ( ax + b ) = a Dx ;
2

(2)若 x ~ B ( n, p ) ,则 Dx = np (1 - p ) .
(3) 若 x 服从几何分布,且 P (x

= k ) = g (k , p ) = q k -1 p ,则 Dx =
2 2

q . p2

174.方差与期望的关系: Dx = Ex - ( Ex ) .
1 175.正态分布密度函数: f ( x ) = e 2p 6

( x - m )2
262

, x ? ( -?, +? ) ,

式中的实数μ, s ( s >0)是参数,分别表示个体的平均数与标准差.
x 1 176.标准正态分布密度函数: f ( x ) = e 2 , x ? ( -?, +? ) . 2p 6
2

177.对于 N ( m , s 2 ) ,取值小于 x 的概率: F ( x ) = F ?

? x-m ? ÷. è s ?

P( x1 < x0 < x 2 ) = P( x < x 2 ) - P( x < x1 )

? x -m ? ? x1 - m ? = F ( x2 ) - F ( x1 ) = F ? 2 ÷ -F? ÷. è s ? è s ?
178.回归直线方程
n ì ( xi - x )( yi - y ) ? ? i =1 ?b = = n $ 2 y = a + bx ,其中 í ( xi - x ) ? ? i =1 ? ?a = y - bx n

? x y - nx y
i =1 n i i

?x
i =1

2

i

- nx 2



179.相关系数 : r =

? ( x - x )( y - y )
i =1 i i

n

? (x - x ) ? ( y - y )
2 i =1 i i =1 i

n

n

=
2

? ( x - x )( y - y )
i =1 i i

n

(? xi - nx )(? yi - ny )
2 2 2 2 i =1 i =1

n

n



|r|≤1,且|r|越接近于 1,相关程度越大;|r|越接近于 0,相关程度越小. 180.特殊数列的极限

ì0 ? (1) lim q = í1 n ?? ?不存在 ?
n

| q |< 1 q =1 | q |< 1或q = -1
(k < t ) (k = t ) . (k > t )


ì0 ? ak n k + ak -1n k -1 + L + a0 ? at (2) lim =í n ?? b n t + b n t -1 + L + b t t -1 0 ? bk ?不存在 ?
(3) S = lim

a1 1 - q n 1- q

(

n ??

)=

a1 1- q

( S 无穷等比数列

{a q }
n -1 1 x ? x0

( | q |< 1 )的和) .

181. 函数的极限定理: lim f ( x) = a ? lim- f ( x) = lim+ f ( x) = a .
x ? x0
x ? x0

182.函数的夹逼性定理 如果函数 f(x),g(x),h(x)在点 x0 的附近满足: (1) g ( x ) ? f ( x ) ? h( x ) ;(2) lim g ( x) = a, lim h( x) = a (常数),
x ? x0 x ? x0

则 lim f ( x) = a . (本定理对于单侧极限和 x ? ? 的情况仍然成立. )
x ? x0

183.几个常用极限

(1) lim

1 1 1 = 0 , lim a n = 0 ( | a |< 1 ) ; (2) lim x = x0 , lim = . n ?? n ?? n x ? x0 x ? x0 x x0

184.两个重要的极限

sin x ? 1? (1) lim =1; (2) lim ? 1 + ÷ = e (e=2.718281845…). x ?0 x ?? x è x?
185.函数极限的四则运算法则 若 lim f ( x) = a , lim g ( x) = b ,则
x ? x0 x ? x0

x

(1) lim é (2) lim é ? f ( x ) ± g ( x )ù ? = a±b; ? f ( x ) × g ( x )ù ? = a × b ; (3) lim
x ? x0 x ? x0

x ? x0

g ( x)

f ( x)

=

a (b ? 0) . b

186.数列极限的四则运算法则 若 lim an = a, lim bn = b ,则
n ?? n ??

(1) lim ( an ± bn ) = a ± b ;(2) lim ( an × bn ) = a × b ;(3) lim
n ?? n ??

an a = (b ? 0) n ?? b b n

(4) lim ( c × an ) = lim c × lim an = c × a ( c 是常数).
n ?? n ?? n ??

187. f ( x ) 在 x0 处的导数(或变化率或微商)

f ( x0 + Dx) - f ( x0 ) Dy = lim . Dx ? 0 Dx Dx ? 0 Dx Ds s (t + Dt ) - s (t ) 188.瞬时速度: u = s?(t ) = lim = lim . Dt ? 0 Dt Dt ? 0 Dt Dv v(t + Dt ) - v(t ) 189.瞬时加速度: a = v?(t ) = lim = lim . Dt ?0 Dt Dt ?0 Dt dy df Dy f ( x + Dx) - f ( x) 190. f ( x ) 在 (a, b) 的导数: f ?( x ) = y ? = = = lim = lim . D x ? 0 D x ? 0 dx dx Dx Dx f ?( x0 ) = y?
x = x0

= lim

191. 函数 y = f ( x ) 在点 x0 处的导数的几何意义 函数 y = f ( x ) 在点 x0 处的导数是曲线 y = f ( x ) 在 P ( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率 f ?( x0 ) , 相应的切线方程是 y - y0 = f ?( x0 )( x - x0 ) . 192.几种常见函数的导数

(1) C ? = 0 (C 为常数) .(2) ( x n )? = nx (4) (cos x )? = - sin x .
x x x x

n -1

(n ? Q) .(3) (sin x)? = cos x .

(5) (ln x)? =

1 1 ; (log a x )? = log a e . x x

(6) (e )? = e ; (a )? = a ln a . 193.导数的运算法则 (1) (u ± v) = u ± v . (2) (uv) = u v + uv . (3) ( ) =
' ' ' ' ' ' '

u v

u 'v - uv ' (v ? 0) . v2

194.复合函数的求导法则 设函数 u = j ( x ) 在点 x 处有导数 u x? = j ?( x ) ,函数 y = f (u ) 在点 x 处的对应点 U 处有导数

? ? yu? = f ?(u ) , 则 复 合 函 数 y = f (j ( x)) 在 点 x 处 有 导 数 , 且 y? x = yu × u x , 或 写 作 f x?(j ( x)) = f ?(u )j ?( x) .
195.常用的近似计算公式(当 x 充分小时) (1) 1 + x ? 1 +
x

1 n 1 1 x ; 1 + x ? 1 + x ;(2) (1 + x)a ? 1 + a x(a ? R) ; ? 1- x ; 2 n 1+ x

(3) e ? 1 + x ;(4) ln (1 + x) ? x ;(5) sin x ? x ( x 为弧度) ; (6) tan x ? x ( x 为弧度) ;(7) arctan x ? x ( x 为弧度) 196.判别 f ( x0 ) 是极大(小)值的方法 当函数 f ( x ) 在点 x0 处连续时, (1)如果在 x0 附近的左侧 f ?( x ) > 0 ,右侧 f ?( x ) < 0 ,则 f ( x0 ) 是极大值; (2)如果在 x0 附近的左侧 f ?( x ) < 0 ,右侧 f ?( x ) > 0 ,则 f ( x0 ) 是极小值. 197.复数的相等: a + bi = c + di ? a = c, b = d . ( a , b, c , d ? R ) 198.复数 z = a + bi 的模(或绝对值) | z | = | a + bi | = a + b .
2 2

199.复数的四则运算法则 (1) (a + bi ) + (c + di ) = ( a + c ) + (b + d )i ;

(2) (a + bi ) - (c + di ) = ( a - c ) + (b - d )i ; (3) ( a + bi )(c + di ) = ( ac - bd ) + (bc + ad )i ; (4) ( a + bi ) ? (c + di ) =

ac + bd bc - ad + i (c + di ? 0) . c2 + d 2 c2 + d 2

200.复数的乘法的运算律 对于任何 z1 , z2 , z3 ? C ,有 交换律: z1 × z2 = z2 × z1 . 结合律: ( z1 × z2 ) × z3 = z1 × ( z2 × z3 ) . 分配律: z1 × ( z2 + z3 ) = z1 × z2 + z1 × z3 . 201.复平面上的两点间的距离公式

d =| z1 - z2 |= ( x2 - x1 ) 2 + ( y2 - y1 ) 2 ( z1 = x1 + y1i , z2 = x2 + y2i ) .
202.向量的垂直 非零复数 z1 = a + bi , z2 = c + di 对应的向量分别是 OZ1 , OZ 2 ,则

uuuu r

uuuu r

uuuu r uuuu r z OZ1 ^ OZ 2 ? z1 × z2 的实部为零 ? 2 为纯虚数 ? | z1 + z2 |2 =| z1 |2 + | z2 |2 z1
? | z1 - z2 |2 =| z1 |2 + | z2 |2 ? | z1 + z2 |=| z1 - z2 | ? ac + bd = 0 ? z1 = l iz2
(λ为非零实数). 203.实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程 ax + bx + c = 0 ,
2

①若 D = b - 4ac > 0 ,则 x1,2 =
2 2

-b ± b2 - 4ac ; 2a
b ; 2a

②若 D = b - 4ac = 0 ,则 x1 = x2 = 2

③若 D = b - 4ac < 0 , 它在实数集 R 内没有实数根; 在复数集 C
A

B

D

C

内有且仅有两个共轭复数根 x =

-b ± -(b 2 - 4ac)i 2 (b - 4ac < 0) . 2a
BD BA = . DC AC

204.三角形的内角平分线性质:在 DABC 中, ?A 的平分线交边 BC 于 D,则

(三角形的外角平分线也有同样的性质) 205. 数学归纳法是一种用于证明与自然数 n 有关的命题的正确性的证明方法. 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤: (1)证明:当 n 取第一个值 n0 结论正确; (2)假设当 n=k(k∈N*,且 k≥n0)时结论正确,证明当 n=k+1 时结论也正确. 由(1),(2)可知,命题对于从 n0 开始的所有正整数 n 都正确 206.有理不等式解集的端点,恰好就是其对应的“零点” (就是对应方程的解和使分母为零 的值) .
王新敞
奎屯 新疆


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