2013年江苏省海门中学高三开学检测数学试题(测试题)

江苏省海门中学 2013 届开学检测 数学试卷
一．填空题 1．设全集 U ? R ，集合 A ? ? x | x ? 2? ， B ? ??1,0,1,2,3? ，则 (CU A) ? B 2．已知复数 z 满足 ?1 ? i ? ? z ? ?i ，则 z 的模为 3．已知
1 1 ? ? 2 ，则 a ? log 2 a log 3 a

甲
98
8
9

乙
337 ?9

210

第 4 题图 ．

．

P

Q

4．右面茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损， 则乙的平均成绩超过甲的概率为 5．若双曲线 x2 ?
2

． ．

D
A B
第 6 题图 I←2 S←0 While I＜m S←S+I I←I+3 End While Print S End
C

y ? 1 的焦点到渐近线的距离为 2 2 ，则实数 k 的值是 k

6．如图所示的“双塔”形立体建筑，已知 P ? ABD 和 Q ? CBD 是两个高相等的正三棱锥， 四点 A, B, C , D 在同一平面内．要使塔尖 P, Q 之间的距离为 50 m，则底边 AB 的长 为 m．
? 2012 的值的伪代码中，正整数 m 的最大值为

7．下面求 2 ? 5 ? 8 ? 11 ?

8．向量 a ? (cos10 ,sin10 ), b ? (cos70 ,sin 70 ) ， a ? 2b =

．

9．对于函数 y ? f ( x) ，若存在区间 [a, b] ，当 x ? [a, b] 时的值域为 [ka, kb] (k ? 0) ， 则称 y ? f ( x) 为 k 倍值函数．若 f ( x) ? ln x ? x 是 k 倍值函数， 则实数 k 的取值范围是 10．函数 y ? 1 ?

sin x ( x ? R ) 的最大值与最小值之和为 x ? x2 ? 1
4

（第 7 题图）

11．已知半椭圆

y 2 x2 ? ? 1? y ? 0, a ? b ? 0? 和半圆 x2 ? y 2 ? b2 ? y ? 0? 组成的 a 2 b2

y
G

曲线 C 如图所示．曲线 C 交 x 轴于点 A, B ，交 y 轴于点 G , H ，点 M 是半圆 上异于 A, B 的任意一点，当点 M 位于点 ( 最大，则半椭圆的方程为 12．已知 | AB |? 3 ，C 是线段 AB 上异于 A，B 的一点， ?ADC , ?BCE 均为 等边三角形，则 ?CDE 的外接圆的半径的最小值是 ．
6 3 , ? ) 时， ?AGM 的面积 3 3

A

O

B M

x

H 第 11 题图
D

?2 x ? y ? 0 ? 2 2 2 13．已知实数 x、y 满足 ? x ? y ? 5 ? 0 ，若不等式 a( x ? y ) ? ( x ? y) ?y ? 4 ? 0 ?
恒成立，则实数 a 的最小值是 ． A

E

C 第 12 题图

B

14．设等比数列 ?an ? 满足公比 q ? N *, an ? N * ，且 ?an ? 中的任意两项之积 也是该数列中的一项，若 a1 二．解答题 15．已知 0 ? ? ? ? ? ? ? ?, 且 sin(? ? ? ) ? 5 , tan ? ? 1 ． 2 2 2 13 （1）求 cos? 的值； （2）证明： sin ? ? 5 ． 13

? 281 ，则 q 的所有可能取值的集合为

16．如图，正方形 ABCD 所在的平面与三角形 CDE 所在的平面交于 CD ， AE ? 平面 CDE ，且

AB ? 2AE ．
（1）求证： AB // 平面 CDE ； （2）求证：平面 ABCD ? 平面 ADE ；

B A

C

E

D （第 16 题图）

17．某企业投入 81 万元经销某产品，经销时间共 60 个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期
?1,1 ? x ? 20 ? x ? N *? , ? 间第 x 个月的利润函数 f ? x ? ? ? 1 （单位：万元） ．为了获得更多的利润， ? x, 21 ? x ? 60 ? x ? N *? ?10

企业将每月获得的利润再投入到次月的经营中．记第 x 个月的利润率为 g ? x ? ? 例如 g ? 3? ?
f ? 3?

第x个月的利润 ， 第x个月的资金总和

81 ? f ?1? ? f ? 2 ?

．

（1）求 g ?10 ? ； （2）求第 x 个月的当月利润率； （3）求该企业经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率．

x2 y 2 18．已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点为 A，左、右焦点分别为 F1 , F2 ，且圆 C： a b
x2 ? y2 ? 3x ? 3 y ? 6 ? 0 过 A, F2 两点．
（1）求椭圆标准的方程； 2π （2）设直线 PF2 的倾斜角为 α，直线 PF1 的倾斜角为 β，当 β－α＝ 时，证明：点 P 在一定圆上； 3 （3）设椭圆的上顶点为 Q，在满足条件（2）的情形下证明： PQ ? PF1 + PF2 ．

19．已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足： Sn ? t ? Sn ? an ? 1? （ t 为常数，且 t ? 0, t ? 1 ） ． （1）求 ?an ? 的通项公式；
2 （2）设 bn ? an ? Sn ? an ，若数列 ?bn ? 为等比数列，求 t 的值；

（3）在满足条件（2）的情形下，设 cn ? 4an ? 1 ，数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ， 若不等式
12k ? 2n ? 7 对任意的 n ? N * 恒成立，求实数 k 的取值范围． 4 ? n ? Tn

20．已知函数 f ( x) ? (mx ? n)e? x （ m, n ? R ， e 是自然对数的底） ． （1）若函数 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? ey ? 3 ? 0 ，试确定函数 f ( x) 单调区间； 1 （2）① 当 n ? ?1 ， m ? R 时，若对于任意 x ? [ , 2] ，都有 f ( x)≥ x 恒成立，求实数 m 的最小值； 2 ② 当 m ? n ? 1 时，设函数 g ( x) ? xf ( x) ? tf ?( x) ? e? x (t ? R) ，是否存在实数 a, b, c ? [0,1] ， 使得 g (a) ? g (b) ? g (c)? 若存在，求出 t 的取值范围；若不存在，说明理由．

数学试卷附加题
21． B．设 M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到 2 倍，纵坐标伸长到 3 倍的伸压变换． （1）求矩阵 M 的特征值及相应的特征向量； （2）求逆矩阵 M ?1 以及椭圆

x2 y 2 ? ? 1 在 M ?1 的作用下的新曲线的方程． 4 9

C．以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴．已知点 P 的直角坐标为(1，－5)， ? π 点 M 的极坐标为(4， )，若直线 l 过点 P，且倾斜角为 ，圆 C 以 M 为圆心、4 为半径． 2 3 （1）求直线 l 关于 t 的参数方程和圆 C 的极坐标方程； （2）试判定直线 l 和圆 C 的位置关系．

22．已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ，通项公式为 an ?

n ?1 ? S2 n ， 1 ， f ( n) ? ? ， n?2 n ? S2 n ? Sn ?1 ，

（1）计算 f (1), f (2), f (3) 的值； （2）比较 f (n) 与 1 的大小，并用数学归纳法证明你的结论.

23．如图所示，某城市有南北街道和东西街道各 n ? 1 条，一邮递员从该城市西北角的邮局 A 出发，送信 到东南角 B 地，要求所走路程最短. A （1）求该邮递员途径 C 地的概率 f (n) ；

?

（2）求证： 2 ? ? 2 f (n) ?

2 n ?1

（ n ? N * ）. ?3 ，

?C ?B

1． ??1,0,1?

2．

2 2

3． 6

4．

1 10

5． 8

6． 50 3
81

7． 2015

8． 3

1 9． (1,1 ? ) ． e

10．2

11．

y2 ? x2 ? 1? y ? 0? 2
5

12．

13．

?2

, 227 , 29 , 23 , 2?

14．

9 5

15．解： （1） cos ? ? 3

5 3 12 4 63 5 （2） sin ? ? sin ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? 13 ? 5 ? ? 13 ? 5 ? 65 ? 13 ．

? ?

16． （1）正方形 ABCD 中， AB // CD ， 又 AB ? 平面 CDE， CD ? 平面 CDE， 所以 AB // 平面 CDE． （6 分） （2）因为 AE ? 平面CDE ，且 CD ? 平面CDE ，所以 AE ? CD ，又 且 AE AD ? A ， AE、AD ? 平面ADE ，所以 CD ? 平面ADE ， 正方形ABCD中， CD ? AD， 又 CD ? 平面ABCD ，所以 平面ABCD ? 平面ADE ． 17．解： （1）依题意得 f ?1? ? f ? 2? ? f ? 3? ? （2）当 x ? 1 时， g ?1? ?
g ? x? ? f ? x? f ?10 ?

? f ? 9? ? 1 ，? g ?10 ? ?

81 ? f ?1? ? f ? 2 ? ?

? f ?9?

?

1 90

1 ．当 1 ? x ? 20 时， f ?1? ? f ? 2? ? 81
? f ? x ? 1? ?

? f ? x ? 1? ? f ? x ? ? 1 ，则

81 ? f ?1? ? f ? 2 ? ?

1 1 ，而 x ? 1 也符合上式，故当 1 ? x ? 20 时， g ? x ? ? ． 80 ? x 80 ? x f ? x?

当 21 ? x ? 60 时， g ? x ? ?
1 x 10 ? 81 ? 20 ? f ? 21? ?

81 ? f ?1? ? f ? 2 ? ?

? f ? 20 ? ? f ? 21? ?

? f ? x ? 1?

1 x 2x 10 ， ? ? 2 x ? 21?? x ? 20 ? x ? x ? 1600 ? f ? x ? 1? ? 101 ? 20

? 1 ,1 ? x ? 20 ? ? 所以，第 x 个月的当月利润率为 g ? x ? ? ? 80 ? x ．--------------------------10 分 2x ? , 21 ? x ? 60 ? x 2 ? x ? 1600 ?

（3）当 1 ? x ? 20 时， g ? x ? ? 当 21 ? x ? 60 时，g ? x ? ?
2 ． 79

1 1 是减函数，此时 g ? x ? 的最大值为 g ?1? ? ． 80 ? x 81

2x 2 2 1600 ? ? ，当且仅当 x ? ，即 x ? 40 ? N* 时，g ? x ? 有 x 2 ? x ? 1600 x ? 1600 x ? 1 79 x x

最大值为 润率为

2 1 2 ? ，? 当 x ? 40 时， g ? x ? 有最大值为 ，第 40 个月的当月利润率最大，其当月利 79 81 79

2 ． 79

18．解： （1）椭圆方程是：

x2 y 2 ? ?1． 12 9

（2）设点 P（x，y） ，因为 F1 （－ 3，0） ， F2 （ 3，0） ，设点 P（x，y） ， y y 则 k PF1 ＝tanβ＝ , k PF2 ＝tanα＝ ， x＋ 3 x－ 3

tanβ－tanα －2 3y 2π 因为 β－α＝ ，所以 tan(β－α)＝－ 3．因为 tan(β－α)＝ ＝ ， 3 1＋tanαtanβ x2＋y2－3 －2 3y 所以 2 2 ＝－ 3．化简得 x2＋y2－2y＝3．所以点 P 在定圆 x2＋y2-2y＝3 上． x ＋y －3 （3）∵PQ2＝x2＋(y－3)2＝x2＋y2－6y＋9，因为 x2＋y2＝3＋2y，所以 PQ2＝12－4y． 又 PF12＝(x＋ 3)2＋y2＝2y＋6＋2 3x，PF22＝(x－ 3)2＋y2＝2y＋6－2 3x， ∴2P F1× P F2＝2 4(y＋3)2－12x2＝4 (y＋3)2－3x2， 因为 3x2＝9－3y2＋6y， 所以 2 P F1× P F2＝4 4y2， 2π 2π ∵β＝α+ > ，又点 P 在定圆 x2＋y2－2y＝3 上，∴y＜0，所以 2 P F1× P F2＝－8y， 3 3 从而(P F1+P F2)2＝PF12＋2 P F1× P F2＋PF22＝4y＋12－8y＝12－4y＝PQ2．所以 PQ＝PF1＋PF2． 19．解： （1）当 n ? 1 时， S1 ? t ? S1 ? a1 ? 1? ，得 a1 ? 1 ． 当 n ? 2 时，由 Sn ? t ? Sn ? an ? 1? ， ① ? ②，得 ?1 ? t ? an ? ?tan ? tan?1 ，

即 ?1 ? t ? Sn ? ?tan ? t ，①得， ?1 ? t ? Sn?1 ? ?tan?1 ? t ，② 即 an ? tan ?1 ,?

an ? t ? n ? 2 ? ，??an ? 是等比数列，且公比是 t ，? an an ?1
n 2

? tn ．

（2）由（1）知， bn ? ? t

?

?

t ?1 ? t n ? 1? t

? t n ，即 bn ?

t 2n ? t n?1 ? 2t 2n?1 ， 若数列 ?bn ? 为等比数列， 1? t

2 3 2 4 2 ? b1 ? b3 ，而 b1 ? 2t 2 , b2 ? t 3 ? 2t ? 1? , b3 ? t 4 2t 2 ? t ? 1 ，故 ? 则有 b2 ?t ? 2t ? 1? ? ? ? ? 2t ? ? t ? 2t ? t ? 1? ，
2

?

?

解得 t ?

b 1 1 1 1 1 ，再将 t ? 代入 bn ，得 bn ? ( )n ，由 n ?1 ? ，知 ?bn ? 为等比数列，? t ? ． bn 2 2 2 2 2

1? 1 ?1 ? n 2? 2 1 1 1 （3）由 t ? ，知 an ? ( )n ，? cn ? 4( )n ? 1 ，? Tn ? 4 ? 1 2 2 2 1? 2

? ? ? ?n? 4?n? 4 2n ，由不等式

12k 2n ? 7 2n ? 7 ? 2n ? 7 恒成立，得 3k ? 恒成立，设 dn ? ， n 4 ? n ? Tn 2 2n

由 dn?1

? dn ?

2n ? 5 2n ? 7 ?2n ? 9 ? ? ，? 当 n ? 4 时， d n ?1 ? d n ， 2n?1 2n 2n?1
1 3 , d5 ? ,? d4 ? d5 ?3k ? 3 ,? k ? 1 ． 16 32 32 32

当 n ? 4 时， dn ?1 ? dn ，而 d4 ? 20． （1）由题意 f ?( x) ?

me x ? (mx ? n)e x ?mx ? (m ? n) ? ， (e x ) 2 ex

∵ f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? ey ? 3 ? 0 ， 2 1 m ? n 2 ?n 1 x ?1 x ∴ f (1) ? , f ?(1) ? ? ，即 ? , ? ? ，解得 m ? 1, n ? 1 ．∴ f ( x) ? x ， f ?( x) ? ? x ， e e e e e e e e 当 x ? 0, f ?( x) ? 0 ， x ? 0, f ?( x) ? 0 ，∴ f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减，在 (??,0) 单调递增． （2）①由 n ? ?1, m ? R ，
x mx ? 1 ≥ x ，即 m≥e x e

?

1 x

，

1 1 1 对于任意 x ? [ , 2] ，都有 f ( x)≥ x 恒成立，等价于 m≥e x ? 对于任意 x ? [ , 2] 恒成立． 2 x 2 1 ? ?( x) ? e x ? 1 ， ， x2 x 1 1 1 1 2 设 h( x) ? e x ? 2 ，∵ h?( x) ? ex ? 3 ? 0 对 x ? [ , 2] 恒成立，∴ h( x) ? e x ? 2 在 [ , 2] 单调递增． x 2 x 2 x 1 1 1 1 而 h( ) ? e ? 4 ? 0, h(2) ? e2 ? ? 0 ，∴ ? ?( x) ? e x ? 2 在 [ , 2] 上有唯一零点 x0 ， 2 2 4 x 1 1 ∴ x ? ( , x0 ) ， ? ?( x) ? 0 ， x ? ( x0 , 2) ， ? ?( x) ? 0 ，∴ ? ( x) 在 ( , x0 ) 单调递减，在 ( x0 , 2) 上单调递增， 2 2 ? m≥ e ? 2, 1 ? 1 1 ?m≥? ( ), ? 2 ∴ ? ( x) 的最大值是 ? ( ) 和 ? (2) 中的较大的一个，∴ ? 2 即? 1 ∴ m≥e ? ， 2 2 2 ? m≥ e ? , ? ?m≥? (2), ? 2 1 ∴m 的最小值为 e2 ? ． 2 ②假设存在 a、b、c ?[0,1] ，使得 g (a) ? g (b) ? g (c) ，则问题等价于 2( g ( x))min ? ( g ( x))max ．

记 ? ( x) ? e x ?

Q g ( x) ?

3?t e ? 1 ，得 t ? 3 ? ? 1 ． e 2 3?t ②当 t ≤ 0 时， g ?( x)≥0 ， g ( x) 在 [0,1] 上单调递增，∴ 2 g (0) ? g (1) ，即 2 ? ，得 t ? 3 ? 2e ? 0 ． e ③当 0 ? t ? 1 时，在 x ? [0, t ) 上，g '( x) ? 0 ， g ( x) 在 [0, t ) 上单调递减， 在 x ? (t ,1] 上，g '( x) ? 0 ，g ( x) t ?1 3?t }． 在 (t ,1] 上单调递增，∴ 2 g (t ) ? max{g (0), g (1)} ，即 2 ? t ? max{1, （*） e e t ?1 t ?1 4 3?t 3 ? ，不等式（*）无解． 由（1）知 f (t ) ? t 在 t ?[0,1] 上单调递减，故 2 ? t ≥ ，而 e e e e e e 综上所述，存在 t ? ( ??,3 ? 2e) U (3 ? , ??) ，使得命题成立． 2
①当 t ≥1 时， g ?( x)≤0 ， g ( x) 在 [0,1] 上单调递减，∴ 2 g (1) ? g (0) ，即 2 ? B． （1）由条件得矩阵 M ? ?

x 2 ? (1 ? t ) x ? 1 ?( x ? t )( x ? 1) ，∴ g '( x) ? ． x ex e

?2 ?0

0? ?1 ? ?0 ? ，它的特征值为 2 和 3 ，对应的特征向量为 ? ? 及 ? ? ； ? 3? ?0 ? ?1 ?

?1 ?2 （2） M ?1 ? ? ?0 ? ?

? 0? x2 y 2 ，椭圆 ? ? 1 在 M ?1 的作用下的新曲线的方程为 x 2 ? y 2 ? 1 ． ? 1? 4 9 ? 3?

C 解： （1）圆 C 的极坐标方程为 ? ? 8sin ? ． π （2）因为 M(4， )对应的直角坐标为（0，4） ，直线 l 的普通方程为 3x ? y ? 5 ? 3 ? 0 ， 2 |0?4?5? 3| 9? 3 ? ? 5 ，所以直线 l 与圆 C 相离． ∴圆心到直线 l 的距离 d ? 2 3 ?1 22 解： （1）由已知 f (1) ? S2 ? 1 ?

1 1 1 13 1 3 ? ， f (2) ? S 4 ? S1 ? ? ? ? ， 2 3 4 12 2 2

1 1 1 1 19 ； ? ? ? ? 3 4 5 6 20 （2）由（Ⅰ）知 f (1) ? 1 , f (2) ? 1 ； 当 n ? 3 时， f (n) ? 1 ． f (3) ? S6 ? S2 ?

由（Ⅰ）当 n ? 3 时， f (n) ? 1 ；假设 n ? k (k ? 3) 时， f (n) ? 1 ，即

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? 1 ，那么 f (k ? 1) ? ? ? ? ? ? k k ?1 2k k ?1 k ? 2 2k 2k ? 1 2k ? 2 1 1 1 ? 1 1 1 1 ? ? 1 1 ? ?1 ? 1 ?? ? ? ? ? ? ? ?1? ? ? ?? ? ?? ? ? 2k ? 2k ? 1 2k ? 2 k ? k k ?1 k ? 2 ? 2k ? 1 2k ? ? 2k ? 2 2 k ? 1 1 2k ? (2k ? 1) 2k ? (2k ? 2) ?1? ? ?1， ?1? ? 2k (2k ? 1) k (2k ? 2) 2k (2k ? 1) 2k (2k ? 2) 当 n ? k ? 1 时， f (n) ? 1 也成立．由（1）和（2）知，当 n ? 3 时， f (n) ? 1 ． 所以当 n ? 1 ，和 n ? 2 时， f (n) ? 1 ；当 n ? 3 时， f (n) ? 1 f (k ) ?
n ?1 23．解： （1）邮递员从该城市西北角的邮局 A 到达东南角 B 地，要求所走路程最短共有 C2 n ? 2 种不同的
n 走法，其中途径 C 地的走法有 2C 2 种走法，所以邮递员途径 C 地的概率 n

f ( n) ?

n 2C 2 n n ?1 C2 n?2

(2n)! ? (n ? 1)!? n ?1 ； ?2 ? ? 2 (n!) (2n ? 2)! 2n ? 1
2

（2）由 2 f ( n) ?

2( n ? 1) (2 n ? 1) ? 1 1 ，得 ? ?1? 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1
2 n ?1

? 2 f ( n) ?

2 n ?1

1 ? ? ? ?1 ? ? 2n ? 1 ? ?
2 n ?1

2 n ?1

，

要证 n ? N * 时， 2 ? ? 2 f (n) ?

1 ? ? ? 3 ，只要证 n ? N * 时， 2 ? ?1 ? ? 2n ? 1 ? ?

* ? 3 ，因为 n ? N 时，

1? (2n ? 1) ? N * ，且 2n ? 1 ? 3 ，所以只要证 n ? N * ，且 n ? 3 时， 2 ? ? ?1 ? ? ? 3 ．由于 n ? 3 时 ? n?

n

1? ? 0 1 1 2 1 ?1 ? ? ? C n ? C n ? C n 2 ? n? n n ?
n

n

0 1 ?Cn ?Cn

1 ?2， n
n ?Cn

? 1? 0 1 1 2 1 3 1 ?Cn ?Cn ?Cn ? 且 ?1 ? ? ? C n 2 n n n3 ? n?
? 2?

1 ， nn

n(n ? 1) 1 n(n ? 1)(n ? 2) 1 n(n ? 1) 2 ?1 1 ? 2? ? 3? ? ? n， 2! n 3! n 3! n 1 n n ? 1 1 n n ? 1 (n ? 2) 1 n n ?1 2 1 ?2? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 2! n n 3! n n n n! n n n n 1 1 1 1 1 1 1 ， ? 2? ? ? ? ? 2? ? ? ? 2! 3! n! 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n(n ? 1)
1? ?1 1? ?1 1? ? ? 2 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? 2 3? ? 3 4? ?
n

1? 1 ? 1 ?? ? ? ? 3? ? 3． n ? n ?1 n ?
2 n ?1

所以 2 ? ? g (n)? ? 3 成立，所以 2 ? ? 2 f (n) ?

?3 ．