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2013年江苏省海门中学高三开学检测数学试题(测试题)


江苏省海门中学 2013 届开学检测 数学试卷
一.填空题 1.设全集 U ? R ,集合 A ? ? x | x ? 2? , B ? ??1,0,1,2,3? ,则 (CU A) ? B 2.已知复数 z 满足 ?1 ? i ? ? z ? ?i ,则 z 的模为 3.已知
1 1 ? ? 2 ,则 a ? log 2 a log 3 a


98
8
9


337 ?9

210

第 4 题图 .



P

Q

4.右面茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损, 则乙的平均成绩超过甲的概率为 5.若双曲线 x2 ?
2

. .

D
A B
第 6 题图 I←2 S←0 While I<m S←S+I I←I+3 End While Print S End
C

y ? 1 的焦点到渐近线的距离为 2 2 ,则实数 k 的值是 k

6.如图所示的“双塔”形立体建筑,已知 P ? ABD 和 Q ? CBD 是两个高相等的正三棱锥, 四点 A, B, C , D 在同一平面内.要使塔尖 P, Q 之间的距离为 50 m,则底边 AB 的长 为 m.
? 2012 的值的伪代码中,正整数 m 的最大值为

7.下面求 2 ? 5 ? 8 ? 11 ?

8.向量 a ? (cos10 ,sin10 ), b ? (cos70 ,sin 70 ) , a ? 2b =



9.对于函数 y ? f ( x) ,若存在区间 [a, b] ,当 x ? [a, b] 时的值域为 [ka, kb] (k ? 0) , 则称 y ? f ( x) 为 k 倍值函数.若 f ( x) ? ln x ? x 是 k 倍值函数, 则实数 k 的取值范围是 10.函数 y ? 1 ?

sin x ( x ? R ) 的最大值与最小值之和为 x ? x2 ? 1
4

(第 7 题图)

11.已知半椭圆

y 2 x2 ? ? 1? y ? 0, a ? b ? 0? 和半圆 x2 ? y 2 ? b2 ? y ? 0? 组成的 a 2 b2

y
G

曲线 C 如图所示.曲线 C 交 x 轴于点 A, B ,交 y 轴于点 G , H ,点 M 是半圆 上异于 A, B 的任意一点,当点 M 位于点 ( 最大,则半椭圆的方程为 12.已知 | AB |? 3 ,C 是线段 AB 上异于 A,B 的一点, ?ADC , ?BCE 均为 等边三角形,则 ?CDE 的外接圆的半径的最小值是 .
6 3 , ? ) 时, ?AGM 的面积 3 3

A

O

B M

x

H 第 11 题图
D

?2 x ? y ? 0 ? 2 2 2 13.已知实数 x、y 满足 ? x ? y ? 5 ? 0 ,若不等式 a( x ? y ) ? ( x ? y) ?y ? 4 ? 0 ?
恒成立,则实数 a 的最小值是 . A

E

C 第 12 题图

B

14.设等比数列 ?an ? 满足公比 q ? N *, an ? N * ,且 ?an ? 中的任意两项之积 也是该数列中的一项,若 a1 二.解答题 15.已知 0 ? ? ? ? ? ? ? ?, 且 sin(? ? ? ) ? 5 , tan ? ? 1 . 2 2 2 13 (1)求 cos? 的值; (2)证明: sin ? ? 5 . 13

? 281 ,则 q 的所有可能取值的集合为

16.如图,正方形 ABCD 所在的平面与三角形 CDE 所在的平面交于 CD , AE ? 平面 CDE ,且

AB ? 2AE .
(1)求证: AB // 平面 CDE ; (2)求证:平面 ABCD ? 平面 ADE ;

B A

C

E

D (第 16 题图)

17.某企业投入 81 万元经销某产品,经销时间共 60 个月,市场调研表明,该企业在经销这个产品期
?1,1 ? x ? 20 ? x ? N *? , ? 间第 x 个月的利润函数 f ? x ? ? ? 1 (单位:万元) .为了获得更多的利润, ? x, 21 ? x ? 60 ? x ? N *? ?10

企业将每月获得的利润再投入到次月的经营中.记第 x 个月的利润率为 g ? x ? ? 例如 g ? 3? ?
f ? 3?

第x个月的利润 , 第x个月的资金总和

81 ? f ?1? ? f ? 2 ?



(1)求 g ?10 ? ; (2)求第 x 个月的当月利润率; (3)求该企业经销此产品期间,哪一个月的当月利润率最大,并求出该月的当月利润率.

x2 y 2 18.已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点为 A,左、右焦点分别为 F1 , F2 ,且圆 C: a b
x2 ? y2 ? 3x ? 3 y ? 6 ? 0 过 A, F2 两点.
(1)求椭圆标准的方程; 2π (2)设直线 PF2 的倾斜角为 α,直线 PF1 的倾斜角为 β,当 β-α= 时,证明:点 P 在一定圆上; 3 (3)设椭圆的上顶点为 Q,在满足条件(2)的情形下证明: PQ ? PF1 + PF2 .

19.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足: Sn ? t ? Sn ? an ? 1? ( t 为常数,且 t ? 0, t ? 1 ) . (1)求 ?an ? 的通项公式;
2 (2)设 bn ? an ? Sn ? an ,若数列 ?bn ? 为等比数列,求 t 的值;

(3)在满足条件(2)的情形下,设 cn ? 4an ? 1 ,数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn , 若不等式
12k ? 2n ? 7 对任意的 n ? N * 恒成立,求实数 k 的取值范围. 4 ? n ? Tn

20.已知函数 f ( x) ? (mx ? n)e? x ( m, n ? R , e 是自然对数的底) . (1)若函数 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? ey ? 3 ? 0 ,试确定函数 f ( x) 单调区间; 1 (2)① 当 n ? ?1 , m ? R 时,若对于任意 x ? [ , 2] ,都有 f ( x)≥ x 恒成立,求实数 m 的最小值; 2 ② 当 m ? n ? 1 时,设函数 g ( x) ? xf ( x) ? tf ?( x) ? e? x (t ? R) ,是否存在实数 a, b, c ? [0,1] , 使得 g (a) ? g (b) ? g (c)? 若存在,求出 t 的取值范围;若不存在,说明理由.

数学试卷附加题
21. B.设 M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到 2 倍,纵坐标伸长到 3 倍的伸压变换. (1)求矩阵 M 的特征值及相应的特征向量; (2)求逆矩阵 M ?1 以及椭圆

x2 y 2 ? ? 1 在 M ?1 的作用下的新曲线的方程. 4 9

C.以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴.已知点 P 的直角坐标为(1,-5), ? π 点 M 的极坐标为(4, ),若直线 l 过点 P,且倾斜角为 ,圆 C 以 M 为圆心、4 为半径. 2 3 (1)求直线 l 关于 t 的参数方程和圆 C 的极坐标方程; (2)试判定直线 l 和圆 C 的位置关系.

22.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,通项公式为 an ?

n ?1 ? S2 n , 1 , f ( n) ? ? , n?2 n ? S2 n ? Sn ?1 ,

(1)计算 f (1), f (2), f (3) 的值; (2)比较 f (n) 与 1 的大小,并用数学归纳法证明你的结论.

23.如图所示,某城市有南北街道和东西街道各 n ? 1 条,一邮递员从该城市西北角的邮局 A 出发,送信 到东南角 B 地,要求所走路程最短. A (1)求该邮递员途径 C 地的概率 f (n) ;

?

(2)求证: 2 ? ? 2 f (n) ?

2 n ?1

( n ? N * ). ?3 ,

?C ?B

1. ??1,0,1?

2.

2 2

3. 6

4.

1 10

5. 8

6. 50 3
81

7. 2015

8. 3

1 9. (1,1 ? ) . e

10.2

11.

y2 ? x2 ? 1? y ? 0? 2
5

12.

13.

?2

, 227 , 29 , 23 , 2?

14.

9 5

15.解: (1) cos ? ? 3

5 3 12 4 63 5 (2) sin ? ? sin ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? 13 ? 5 ? ? 13 ? 5 ? 65 ? 13 .

? ?

16. (1)正方形 ABCD 中, AB // CD , 又 AB ? 平面 CDE, CD ? 平面 CDE, 所以 AB // 平面 CDE. (6 分) (2)因为 AE ? 平面CDE ,且 CD ? 平面CDE ,所以 AE ? CD ,又 且 AE AD ? A , AE、AD ? 平面ADE ,所以 CD ? 平面ADE , 正方形ABCD中, CD ? AD, 又 CD ? 平面ABCD ,所以 平面ABCD ? 平面ADE . 17.解: (1)依题意得 f ?1? ? f ? 2? ? f ? 3? ? (2)当 x ? 1 时, g ?1? ?
g ? x? ? f ? x? f ?10 ?

? f ? 9? ? 1 ,? g ?10 ? ?

81 ? f ?1? ? f ? 2 ? ?

? f ?9?

?

1 90

1 .当 1 ? x ? 20 时, f ?1? ? f ? 2? ? 81
? f ? x ? 1? ?

? f ? x ? 1? ? f ? x ? ? 1 ,则

81 ? f ?1? ? f ? 2 ? ?

1 1 ,而 x ? 1 也符合上式,故当 1 ? x ? 20 时, g ? x ? ? . 80 ? x 80 ? x f ? x?

当 21 ? x ? 60 时, g ? x ? ?
1 x 10 ? 81 ? 20 ? f ? 21? ?

81 ? f ?1? ? f ? 2 ? ?

? f ? 20 ? ? f ? 21? ?

? f ? x ? 1?

1 x 2x 10 , ? ? 2 x ? 21?? x ? 20 ? x ? x ? 1600 ? f ? x ? 1? ? 101 ? 20

? 1 ,1 ? x ? 20 ? ? 所以,第 x 个月的当月利润率为 g ? x ? ? ? 80 ? x .--------------------------10 分 2x ? , 21 ? x ? 60 ? x 2 ? x ? 1600 ?

(3)当 1 ? x ? 20 时, g ? x ? ? 当 21 ? x ? 60 时,g ? x ? ?
2 . 79

1 1 是减函数,此时 g ? x ? 的最大值为 g ?1? ? . 80 ? x 81

2x 2 2 1600 ? ? ,当且仅当 x ? ,即 x ? 40 ? N* 时,g ? x ? 有 x 2 ? x ? 1600 x ? 1600 x ? 1 79 x x

最大值为 润率为

2 1 2 ? ,? 当 x ? 40 时, g ? x ? 有最大值为 ,第 40 个月的当月利润率最大,其当月利 79 81 79

2 . 79

18.解: (1)椭圆方程是:

x2 y 2 ? ?1. 12 9

(2)设点 P(x,y) ,因为 F1 (- 3,0) , F2 ( 3,0) ,设点 P(x,y) , y y 则 k PF1 =tanβ= , k PF2 =tanα= , x+ 3 x- 3

tanβ-tanα -2 3y 2π 因为 β-α= ,所以 tan(β-α)=- 3.因为 tan(β-α)= = , 3 1+tanαtanβ x2+y2-3 -2 3y 所以 2 2 =- 3.化简得 x2+y2-2y=3.所以点 P 在定圆 x2+y2-2y=3 上. x +y -3 (3)∵PQ2=x2+(y-3)2=x2+y2-6y+9,因为 x2+y2=3+2y,所以 PQ2=12-4y. 又 PF12=(x+ 3)2+y2=2y+6+2 3x,PF22=(x- 3)2+y2=2y+6-2 3x, ∴2P F1× P F2=2 4(y+3)2-12x2=4 (y+3)2-3x2, 因为 3x2=9-3y2+6y, 所以 2 P F1× P F2=4 4y2, 2π 2π ∵β=α+ > ,又点 P 在定圆 x2+y2-2y=3 上,∴y<0,所以 2 P F1× P F2=-8y, 3 3 从而(P F1+P F2)2=PF12+2 P F1× P F2+PF22=4y+12-8y=12-4y=PQ2.所以 PQ=PF1+PF2. 19.解: (1)当 n ? 1 时, S1 ? t ? S1 ? a1 ? 1? ,得 a1 ? 1 . 当 n ? 2 时,由 Sn ? t ? Sn ? an ? 1? , ① ? ②,得 ?1 ? t ? an ? ?tan ? tan?1 ,

即 ?1 ? t ? Sn ? ?tan ? t ,①得, ?1 ? t ? Sn?1 ? ?tan?1 ? t ,② 即 an ? tan ?1 ,?

an ? t ? n ? 2 ? ,??an ? 是等比数列,且公比是 t ,? an an ?1
n 2

? tn .

(2)由(1)知, bn ? ? t

?

?

t ?1 ? t n ? 1? t

? t n ,即 bn ?

t 2n ? t n?1 ? 2t 2n?1 , 若数列 ?bn ? 为等比数列, 1? t

2 3 2 4 2 ? b1 ? b3 ,而 b1 ? 2t 2 , b2 ? t 3 ? 2t ? 1? , b3 ? t 4 2t 2 ? t ? 1 ,故 ? 则有 b2 ?t ? 2t ? 1? ? ? ? ? 2t ? ? t ? 2t ? t ? 1? ,
2

?

?

解得 t ?

b 1 1 1 1 1 ,再将 t ? 代入 bn ,得 bn ? ( )n ,由 n ?1 ? ,知 ?bn ? 为等比数列,? t ? . bn 2 2 2 2 2

1? 1 ?1 ? n 2? 2 1 1 1 (3)由 t ? ,知 an ? ( )n ,? cn ? 4( )n ? 1 ,? Tn ? 4 ? 1 2 2 2 1? 2

? ? ? ?n? 4?n? 4 2n ,由不等式

12k 2n ? 7 2n ? 7 ? 2n ? 7 恒成立,得 3k ? 恒成立,设 dn ? , n 4 ? n ? Tn 2 2n

由 dn?1

? dn ?

2n ? 5 2n ? 7 ?2n ? 9 ? ? ,? 当 n ? 4 时, d n ?1 ? d n , 2n?1 2n 2n?1
1 3 , d5 ? ,? d4 ? d5 ?3k ? 3 ,? k ? 1 . 16 32 32 32

当 n ? 4 时, dn ?1 ? dn ,而 d4 ? 20. (1)由题意 f ?( x) ?

me x ? (mx ? n)e x ?mx ? (m ? n) ? , (e x ) 2 ex

∵ f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? ey ? 3 ? 0 , 2 1 m ? n 2 ?n 1 x ?1 x ∴ f (1) ? , f ?(1) ? ? ,即 ? , ? ? ,解得 m ? 1, n ? 1 .∴ f ( x) ? x , f ?( x) ? ? x , e e e e e e e e 当 x ? 0, f ?( x) ? 0 , x ? 0, f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减,在 (??,0) 单调递增. (2)①由 n ? ?1, m ? R ,
x mx ? 1 ≥ x ,即 m≥e x e

?

1 x



1 1 1 对于任意 x ? [ , 2] ,都有 f ( x)≥ x 恒成立,等价于 m≥e x ? 对于任意 x ? [ , 2] 恒成立. 2 x 2 1 ? ?( x) ? e x ? 1 , , x2 x 1 1 1 1 2 设 h( x) ? e x ? 2 ,∵ h?( x) ? ex ? 3 ? 0 对 x ? [ , 2] 恒成立,∴ h( x) ? e x ? 2 在 [ , 2] 单调递增. x 2 x 2 x 1 1 1 1 而 h( ) ? e ? 4 ? 0, h(2) ? e2 ? ? 0 ,∴ ? ?( x) ? e x ? 2 在 [ , 2] 上有唯一零点 x0 , 2 2 4 x 1 1 ∴ x ? ( , x0 ) , ? ?( x) ? 0 , x ? ( x0 , 2) , ? ?( x) ? 0 ,∴ ? ( x) 在 ( , x0 ) 单调递减,在 ( x0 , 2) 上单调递增, 2 2 ? m≥ e ? 2, 1 ? 1 1 ?m≥? ( ), ? 2 ∴ ? ( x) 的最大值是 ? ( ) 和 ? (2) 中的较大的一个,∴ ? 2 即? 1 ∴ m≥e ? , 2 2 2 ? m≥ e ? , ? ?m≥? (2), ? 2 1 ∴m 的最小值为 e2 ? . 2 ②假设存在 a、b、c ?[0,1] ,使得 g (a) ? g (b) ? g (c) ,则问题等价于 2( g ( x))min ? ( g ( x))max .

记 ? ( x) ? e x ?

Q g ( x) ?

3?t e ? 1 ,得 t ? 3 ? ? 1 . e 2 3?t ②当 t ≤ 0 时, g ?( x)≥0 , g ( x) 在 [0,1] 上单调递增,∴ 2 g (0) ? g (1) ,即 2 ? ,得 t ? 3 ? 2e ? 0 . e ③当 0 ? t ? 1 时,在 x ? [0, t ) 上,g '( x) ? 0 , g ( x) 在 [0, t ) 上单调递减, 在 x ? (t ,1] 上,g '( x) ? 0 ,g ( x) t ?1 3?t }. 在 (t ,1] 上单调递增,∴ 2 g (t ) ? max{g (0), g (1)} ,即 2 ? t ? max{1, (*) e e t ?1 t ?1 4 3?t 3 ? ,不等式(*)无解. 由(1)知 f (t ) ? t 在 t ?[0,1] 上单调递减,故 2 ? t ≥ ,而 e e e e e e 综上所述,存在 t ? ( ??,3 ? 2e) U (3 ? , ??) ,使得命题成立. 2
①当 t ≥1 时, g ?( x)≤0 , g ( x) 在 [0,1] 上单调递减,∴ 2 g (1) ? g (0) ,即 2 ? B. (1)由条件得矩阵 M ? ?

x 2 ? (1 ? t ) x ? 1 ?( x ? t )( x ? 1) ,∴ g '( x) ? . x ex e

?2 ?0

0? ?1 ? ?0 ? ,它的特征值为 2 和 3 ,对应的特征向量为 ? ? 及 ? ? ; ? 3? ?0 ? ?1 ?

?1 ?2 (2) M ?1 ? ? ?0 ? ?

? 0? x2 y 2 ,椭圆 ? ? 1 在 M ?1 的作用下的新曲线的方程为 x 2 ? y 2 ? 1 . ? 1? 4 9 ? 3?

C 解: (1)圆 C 的极坐标方程为 ? ? 8sin ? . π (2)因为 M(4, )对应的直角坐标为(0,4) ,直线 l 的普通方程为 3x ? y ? 5 ? 3 ? 0 , 2 |0?4?5? 3| 9? 3 ? ? 5 ,所以直线 l 与圆 C 相离. ∴圆心到直线 l 的距离 d ? 2 3 ?1 22 解: (1)由已知 f (1) ? S2 ? 1 ?

1 1 1 13 1 3 ? , f (2) ? S 4 ? S1 ? ? ? ? , 2 3 4 12 2 2

1 1 1 1 19 ; ? ? ? ? 3 4 5 6 20 (2)由(Ⅰ)知 f (1) ? 1 , f (2) ? 1 ; 当 n ? 3 时, f (n) ? 1 . f (3) ? S6 ? S2 ?

由(Ⅰ)当 n ? 3 时, f (n) ? 1 ;假设 n ? k (k ? 3) 时, f (n) ? 1 ,即

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? 1 ,那么 f (k ? 1) ? ? ? ? ? ? k k ?1 2k k ?1 k ? 2 2k 2k ? 1 2k ? 2 1 1 1 ? 1 1 1 1 ? ? 1 1 ? ?1 ? 1 ?? ? ? ? ? ? ? ?1? ? ? ?? ? ?? ? ? 2k ? 2k ? 1 2k ? 2 k ? k k ?1 k ? 2 ? 2k ? 1 2k ? ? 2k ? 2 2 k ? 1 1 2k ? (2k ? 1) 2k ? (2k ? 2) ?1? ? ?1, ?1? ? 2k (2k ? 1) k (2k ? 2) 2k (2k ? 1) 2k (2k ? 2) 当 n ? k ? 1 时, f (n) ? 1 也成立.由(1)和(2)知,当 n ? 3 时, f (n) ? 1 . 所以当 n ? 1 ,和 n ? 2 时, f (n) ? 1 ;当 n ? 3 时, f (n) ? 1 f (k ) ?
n ?1 23.解: (1)邮递员从该城市西北角的邮局 A 到达东南角 B 地,要求所走路程最短共有 C2 n ? 2 种不同的
n 走法,其中途径 C 地的走法有 2C 2 种走法,所以邮递员途径 C 地的概率 n

f ( n) ?

n 2C 2 n n ?1 C2 n?2

(2n)! ? (n ? 1)!? n ?1 ; ?2 ? ? 2 (n!) (2n ? 2)! 2n ? 1
2

(2)由 2 f ( n) ?

2( n ? 1) (2 n ? 1) ? 1 1 ,得 ? ?1? 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1
2 n ?1

? 2 f ( n) ?

2 n ?1

1 ? ? ? ?1 ? ? 2n ? 1 ? ?
2 n ?1

2 n ?1



要证 n ? N * 时, 2 ? ? 2 f (n) ?

1 ? ? ? 3 ,只要证 n ? N * 时, 2 ? ?1 ? ? 2n ? 1 ? ?

* ? 3 ,因为 n ? N 时,

1? (2n ? 1) ? N * ,且 2n ? 1 ? 3 ,所以只要证 n ? N * ,且 n ? 3 时, 2 ? ? ?1 ? ? ? 3 .由于 n ? 3 时 ? n?

n

1? ? 0 1 1 2 1 ?1 ? ? ? C n ? C n ? C n 2 ? n? n n ?
n

n

0 1 ?Cn ?Cn

1 ?2, n
n ?Cn

? 1? 0 1 1 2 1 3 1 ?Cn ?Cn ?Cn ? 且 ?1 ? ? ? C n 2 n n n3 ? n?
? 2?

1 , nn

n(n ? 1) 1 n(n ? 1)(n ? 2) 1 n(n ? 1) 2 ?1 1 ? 2? ? 3? ? ? n, 2! n 3! n 3! n 1 n n ? 1 1 n n ? 1 (n ? 2) 1 n n ?1 2 1 ?2? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 2! n n 3! n n n n! n n n n 1 1 1 1 1 1 1 , ? 2? ? ? ? ? 2? ? ? ? 2! 3! n! 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n(n ? 1)
1? ?1 1? ?1 1? ? ? 2 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? 2 3? ? 3 4? ?
n

1? 1 ? 1 ?? ? ? ? 3? ? 3. n ? n ?1 n ?
2 n ?1

所以 2 ? ? g (n)? ? 3 成立,所以 2 ? ? 2 f (n) ?

?3 .


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