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两角和与差的余弦公式经典习题课_图文

两角和与差的余弦公式精讲精练

目标简述
目 标 要 求 1.了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过 程,进一步体会向量方法的作用. 2.能运用两角差的余弦公式进行简单的恒等变换(包括 化简、 求值、 证明等), 尤其要注意公式的灵活运用, 如逆用、 角度变换等. 3.三角恒等变换是高考必考内容,而两角差的余弦公 式是最基本的公式之一,在考题中一定会涉及,各类题型均 会出现.

热 点 提 示 1.两角差的余弦公式是本章所有公式的基础,其他一系 列公式都可以通过诱导公式、同角关系或变形得到,因此应 理解该公式的证明过程,要记住这一公式. 2. 进行三角函数式的求值, 要特别注意角的范围的讨论, 以决定函数值的符号. 3.本节主要应用了角度的变换技巧,如 β=(α+β)-α 等. 4.要注意灵活运用公式,对公式进行变形.

知识要点
1.在平面直角坐标系中作单位圆 O,以 Ox 为始边作角 α、β, → 它们的终边与单位圆 O 的交点分别为 A、B,则OA=(cosα,sinα), → → → ? → ?? → ? OB=(cosβ,sinβ);OA· =?OA??OB? OB ? ?? ? ? ?? ? cos(α-β)=cos(α-β).

2.cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

●想一想:用向量法证明公式 Cα-β 的过程中角 α,β 的 → → 终边与单位圆分别相交于点 A、B,向量OA、OB的坐标是如 何得到的?

→ → 提示:由于向量OA的起点为原点,所以向量OA的坐标 就是点 A 的坐标, 又因为点 A 在角 α 的终边上且|OA|=1, 由 yA xA 任意角正弦、余弦函数的定义知 sinα= ,cosα= ,因此 1 1 → → xA=cosα, A=sinα, y 即有OA=(cosα, sinα), 同理可求向量OB 的坐标.

自我测评
1.cos345° 的值等于( 2- 6 A. 4 2+ 6 C. 4 ) 6- 2 B. 4 2+ 6 D.- 4

解析:cos345° =cos(-15° +360° )=cos(-15° )=cos15° 2 3 2 =cos(45° -30° )=cos45° cos30° +sin45° sin30° = × + 2 2 2 6+ 2 1 × = . 2 4

答案:C

2.cos60° cos15° +sin60° sin15° 等于( A.cos30° B.sin60° C.cos45°

) D.cos60°

解析: 原式=cos(60° -15° )=cos45° . 答案:C

3.cos(-40° )cos20° -sin(-40° )sin(-20° )=________.

解析:原式=cos20° cos(-40° )+sin20° sin(-40° ) 1 =cos[20° -(-40° )]=cos60° . = 2

1 答案: 2

4.cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα 等于________.

解析:cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=cos(α+β-α)= cosβ.

答案:cosβ

π 3 π 5.设 α∈(0, ),若 sinα= ,求 2cos(α- )的值. 2 5 4
π 3 4 解:∵α∈(0, ),sinα= ,∴cosα= , 2 5 5 π ∴ 2cos(α- ) 4 π π 3 4 7 = 2(cosαcos +sinαsin )=cosα+sinα= + = . 4 4 5 5 5

利用差角余弦公式直接求值 【例 1】 求-sin167° sin223° +sin257° sin313° 的值.

解:原式=-sin(180° -13° )sin(180° +43° )+sin(180° + 77° )sin(360° -47° ) =sin13° sin43° +sin77° sin47° =sin13° sin43° +cos13° cos43° =cos(13° -43° ) =cos(-30° ) 3 = . 2

温馨提示: ?1?对于角度大的式子的化简问题,应先根据诱导公式将 角度化小?一般是化成锐角?. ? ?2?在应用差角的余弦公式求值时,逆用公式是十分常见 的,要注意培养这种能力.

规 律 归 纳 求解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路 是:①把非特殊角转化为特殊角的和或差,正用公式直接求 值.②在转化过程中,充分利用诱导公式,构造两角差的余 弦公式的结构形式,然后逆用公式求值.

1 求下列三角函数的值: (1)cos80° cos35° +cos10° cos55° .

解: 原式=cos80°cos35° · +sin80°sin35° · =cos(80° -35° ) 2 =cos45° = . 2
(2)cos(x+27° )cos(x-18° )+sin(x+27° )sin(x-18° ).

附条件的求值问题 3 4 【例 2】 已知 sinα+sinβ= ,cosα+cosβ= ,求 cos(α 5 5 -β)的值.
思路分析:将两式平方相加,再利用两角差的余弦公 式.

3 解:由 sinα+sinβ= ,两边平方,得 5 9 2 2 sin α+2sinαsinβ+sin β= .① 25 4 由 cosα+cosβ= ,两边平方,得 5 16 2 2 cos α+2cosαcosβ+cos β= .② 25 ①+②,得 2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)=1. 1 ∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=- . 2
温馨提示:整体思考,“凑”出组合式,使解题过程简明.

规 律 归 纳 解给值求值型问题的一般思路是:先看公式中的量,哪 些是已知的,哪些是待求的,再利用已知条件结合同角三角 函数的基本关系求出待求值,注意根据角的象限确定符号. 其次需掌握常见的角的变换技巧:拆角、拼角等,将未 知角用已知角表示出来.

1 3 2 若 cosαcosβ-sinαsinβ= , cos(α-β)= , tanα· 则 tanβ 5 5 =________.
1 解析: =cosαcosβ-sinαsinβ,① 5 3 =cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,② 5 sinαsinβ 1 ①×3-②, 0=2cosαcosβ-4sinαsinβ, 得 ∴ = . cosαcosβ 2

1 答案: 2

由三角函数值求角问题 5 10 【例 3】 已知 α、 均为锐角, sinα= , β 且 cosβ= , 5 10 求 α-β 的值.

思路分析:可先求 cos(α-β)的值,再求角 α-β.

解:∵α、β 均为锐角, 且 sinα= 5 10 2 5 3 10 ,cosβ= ,∴cosα= ,sinβ= . 5 10 5 10

2 5 10 5 3 10 2 ∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ= × + × = . 5 10 5 10 2 π π π π 又∵0<α< ,0<β< .∴- <α-β< . 2 2 2 2 π 又∵sinα<sinβ,∴α<β,即 α-β<0.∴- <α-β<0. 2 π ∴α-β=- . 4

规 律 归 纳 解这类问题一般分三步:第一步:求角的某一三角函数 值;第二步,确定角所在的范围;第三步,根据角的范围写 出所求角.

3

1 13 π 已知 cosα= ,cos(α-β)= ,且 0<β<α< .求 β. 7 14 2

1 π 4 3 解:由 cosα= ,0<α< ,得 sinα= . 7 2 7 π π 13 由 0<β<α<2,得 0<α-β<2. 又∵cos(α-β)=14, 13 2 3 3 ∴sin(α-β)= 1-cos ?α-β?= 1-?14? = 14 . 由 β=α-(α-β),得 cosβ=cos[α-(α-β)] =cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)
2

1 13 4 3 3 3 1 = × + × = . 7 14 7 14 2

π ∴β= . 3

两角差的余弦公式的综合应用 β 1 α 2 π 【例 4】 设 cos(α- )=- , sin( -β)= , 其中 α∈( , 2 9 2 3 2 α+β π π),β∈(0, ),求 cos . 2 2

思路分析:由题目可获取以下主要信息: β α ①条件中的角与待求结论中的角存在关系(α- )-( - 2 2 α+β β)= ; 2

β α ②由 α、β 的范围可确定 α- , -β 的范围,从而求出 2 2 β α sin(α- )、cos( -β). 2 2 β α 解答本题可先用同角三角函数关系求 sin(α- ),cos( - 2 2 α+β β).然后利用两角差的余弦公式求 cos . 2

π π 解:∵α∈( ,π),β∈(0, ), 2 2 β π α π π ∴α- ∈( ,π), -β∈(- , ), 2 4 2 4 2 β β 1 4 5 2 ∴sin(α- )= 1-cos ?α- ?= 1- = . 2 2 81 9 α 4 5 2 α cos( -β)= 1-sin ? -β?= 1- = . 2 2 9 3

α+β β α ∴cos =cos[(α- )-( -β)] 2 2 2 β α β α =cos(α- )cos( -β)+sin(α- )sin( -β) 2 2 2 2 1 5 4 5 2 7 5 =- × + × = . 9 3 9 3 27

规 律 归 纳 三角变换是三角运算的灵魂与核心,它包括角的变换、 函数名称的变换、三角函数式结构的变换.其中角的变换是 最基本的变换.常见的有: α=(α+β)-β,α=β-(β-α),α=(2α-β)-(α-β),α 1 1 = [(α+β)+(α-β)],α= [(β+α)-(β-α)]等. 2 2

3π 3 π 4 已知 α、β∈( ,π),sin(α+β)=- ,sin(β- )= 4 5 4 12 π ,则 cos(α+ )=________. 13 4

思路分析:考查三角函数求值以及角的变换. π π 利用 α+ =(α+β)-(β- )来求值. 4 4

3π 3π 解析:∵α、β∈( ,π),∴(α+β)∈( ,2π). 4 2 4 ∴cos(α+β)= 1-sin2?α+β?= . 5 π π 3π π 5 又(β- )∈( , ),∴cos(β- )=- . 4 2 4 4 13 π π ∴cos(α+ )=cos[(α+β)-(β- )] 4 4 π π =cos(α+β)cos(β- )+sin(α+β)sin(β- ) 4 4 4 5 3 12 56 = ×(- )+(- )× =- . 5 13 5 13 65

56 答案:- 65

感悟提升
1.公式的理解 (1)该公式是用 α,β 的正、余弦值之间的关系来表示其 差角的余弦值. 公式右端的两部分为同名三角函数的积的和, 左端为两角差的余弦. (2)公式中的角 α,β 为任意角.

2.角的代换 (1)将未知角用已知角表示出来,使之能直接运用公式, 像这样的代换方法就是角的代换. α=(α+β)-β, 如 α=β-(β α+β β α -α),2α=(α+β)+(α-β), =(α- )-( -β)等. 2 2 2 (2)三角变换是三角运算的灵魂与核心,在三角变换中, 角的变换是基本变换,必须引起足够重视.在解题中要善于 抓住角的联系,即用已知角表示所求角,使问题容易解决.

能力提升

基础达标
一、选择题 1.cos75° cos15° -sin75° sin195° 的值为( 1 3 1 A.0 B. C. D.- 2 2 2 )

解 析 : 原 式 = cos75° cos15° sin75° - sin(180° 15° = + ) 1 cos75° cos15° +sin75° sin15° =cos(75° -15° )=cos60° . = 2

答案:B

(

5 3π π 2.已知 cosα= ,α∈( ,2π),则 cos(α- )的值等于 13 2 4 ) 5 2 2 2 7 2 3 2 A. B.- C.- D. 26 13 26 13

5 3π 解析:∵cosα= ,α∈( ,2π), 13 2 5 2 12 2 ∴sinα=- 1-cos α=- 1-? ? =- . 13 13 π π π 5 2 ∴ cos(α - ) = cosαcos + sinαsin = × +(- 4 4 4 13 2 12 2 7 2 )× =- . 13 2 26

答案:C

3.若 sinα· sinβ=1,则 cos(α-β)的值为( A.0 B.1 C.± 1 D.-1

)

解析:由 sinα· sinβ=1,则 cosα=cosβ=0 可得。

答案:B

3 1 4.若 sinα-sinβ=1- ,cosα-cosβ= ,则 cos(α-β) 2 2 的值为( ) 1 3 3 A. B. C. D.1 2 2 4

解 析 : 将 已 知 两 等 式 平 方 并 相 加 得 2 - 2sinαsinβ - 3 1 3 2cosαcosβ=1- 3+ + ,即 cos(α-β)= . 4 4 2

答案:B

5.cosα+ 3sinα 化简的结果可以是( 1 π π A. cos( -α) B.2cos( -α) 2 6 3 1 π π C. cos( -α) D.2cos( -α) 2 3 6

)

1 3 π π 解析:原式=2( cosα+ sinα)=2(cosαcos +sinαsin ) 2 2 3 3 π π =2cos(α- )=2cos( -α),∴应选 B. 3 3

答案:B

π 5 π 6.已知 cos(θ+ )= ,0<θ< ,则 cosθ 等于( 6 13 3 5 3+12 A. 26 12-5 3 B. 13 5+12 3 C. 26

)

6+5 3 D. 13

π π π 解析:∵ <θ+ < , 6 6 2 π π 12 2 ∴sin(θ+ )= 1-cos ?θ+ ?= , 6 6 13 π π π π π π cosθ=cos[(θ+ )- ]=cos(θ+ )cos +sin(θ+ )sin 6 6 6 6 6 6 5 3 12 1 5 3+12 = × + × = ,选 A. 13 2 13 2 26

答案:A

二、填空题 7.cos80° cos20° +sin100° sin380° =________.

解 析 :利 用 诱导 公式 得 sin100° sin80° sin380° = , = sin20° , ∴原式=cos80° cos20° +sin80° sin20° 1 =cos(80° -20° )=cos60° . = 2
1 答案: 2

π π 8 . 化 简 sin( - α)cos(α + β) + sinαcos[ - (α + β)] = 2 2 ________.

解析:原式=cosαcos(α+β)+sinαsin(α+β) =cos[α-(α+β)]=cos(-β)=cosβ.

答案:cosβ

?π ? 3 5 ? ? 9.已知 sinα= ,α∈?2,π?,cosβ=- ,β 是第三象 5 13 ? ? 限角,则 cos(α-β)=________.

?π ? 3 ? 解析:由 sinα= ,α∈?2,π?,得 ? 5 ? ? ?3? 4 ? ?2 2 cosα=- 1-sin α=- 1-?5? =- , 5 ? ? 5 又由 cosβ=- ,β 是第三象限角,得 13 ? 5 ?2 12 ? ? 2 sinβ=- 1-cos β=- 1-?-13? =- , 13 ? ? 所以 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ ? 4? ? 5 ? 3 ? 12? 16 16 ? ? ? ? ? ? =?-5?×?-13?+ ×?-13?=- . 答案:- 65 65 ? ? ? ? 5 ? ?

三、解答题 2cos10° -sin20° 10.求值: . cos20°
2cos10° -sin20° 2cos?30° -20° ?-sin20° 解: = cos20° cos20° 2cos30° cos20° +2sin30° sin20° -sin20° = cos20° 3cos20° +sin20° -sin20° = cos20° = 3.

3 5 11.已知锐角 α、β 满足 cosα= ,cos(α+β)=- ,求 cosβ 5 13 的值.

创新题型
12.已知函数 f(x)=Asin(x+φ)(A>0,0<φ<π),x∈R 的最 π 1 大值是 1,其图象经过点 M( , ). 3 2 (1)求 f(x)的解析式; π 3 12 (2)已知 α,β∈(0, ),且 f(α)= ,f(β)= ,求 f(α-β) 2 5 13 的值.

解: (1)由已知得 A=1,则 f(x)=sin(x+φ). π 1 π 1 由已知得 f( )= ,则 sin( +φ)= . 3 2 3 2 π π 4π π 5π π 又 0<φ<π,则 < +φ< . 所以 +φ= ,则 φ= , 3 3 3 3 6 2 π 即 f(x)=sin(x+ )=cosx. 2

3 12 (2)由(1)得 cosα= ,cosβ= . 5 13 π 又 α,β∈(0, ), 2 4 5 2 2 则 sinα= 1-cos α= ,sinβ= 1-cos β= . 5 13 3 12 4 所以 f(α-β)=cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ= × + 5 13 5 5 56 × = . 13 65


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