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直线的点斜式方程 课件_图文

福鼎九中

池祖基

温故而知新 1.简述在直角坐标系中确定一条直线的 几何要素.
(1)直线上的一点和直线 的倾斜角(或斜率) (2)直线上两点

2.直线的倾斜角α与斜率k的关系是
k ? tan ? (α≠90) __________

3.过点A(x1,y1)、B (x2,y2)的直线的斜率
y 2 ? y1 k=_______ x2 ? x1

( x1 ? x2 )

问题提出

在直角坐标系中,直线上的点的 坐标具有一定的内在联系,如何通 过代数关系反映这种内在联系,有 待我们进行分析和探究.

循序渐进:给定一个定点A(-1,3)和斜率为-2就可 以决定一条直线L . (1)如果直线L上一点B的横坐标为2,你能求出 它的纵坐标吗? (2)如果直线上不同于A点的点B的横坐标为x, 你能求出它的纵坐标吗?
A(-1,3)?

y

o

x
? B(2,-3)

直线上任意一点B(x,y)(除点A)外和 A(-1,3)的连线的斜率是不变量,即都 为-2.因此有:

A(-1,3)?

y

y ?3 ? ?2 x ? (?1)

o
?
B(x,y)

x

故:

y-3=-2(x+1)

问题的深入 思考3:已知直线l经过点P0(x0,y0),且斜率为k,设 点P(x,y)是直线l上不同于点P0的任意一点,那么x,y 应满足什么关系? 当点P(x,y)(不同于点 p0) 在直线l上运动时, pp 0 的 斜率恒等于k,即



y ? y0 ?k x ? x0

y
P0 ?x0, y0 ?

.
o

.

p ? x, y ?

y ? y0

x ? x0

y ? y0 ? k ( x ? x0 )

x

二、直线的点斜式方程
在直角坐标系中,给定一个点 P0 ( x0 , y0 ) 和斜率 k ,我们能否将直线上所有点的 坐标P(x, y)满足的关系表示出来?
y P

l
P 0

O

x

直线经过点 P0 ( x0 , y0 ),且斜率 为 k ,设点 P( x, y) 是直线 l 上不同于点 P 的任意一点, 0 因为直线 l 的斜率为 k , 由斜率公式得 k ? y ? y0 x ? x0
即 y ? y0 ? k ( x ? x0 )
( 1)

y ? y0 思考4:代数式 k ? 可看作是 x ? x0

一个关于x,y的方程,化为整式即为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,那么直线l上每一 点的坐标都满足这个方程吗?
思考5:满足方程 y ? y0 ? k ( x ? x0 )
的所有点P(x,y)是否都在直线l上?

直线的点斜式方程
(1)过点 P ,斜率是 k 的直线 l 上的 0 ?x0 , y0 ? 点,其坐标都满足方程 y ? y0 ? k ?x ? x0 ? 。 (2)坐标满足方程 y ? y0 ? k ?x ? x0 ? 的点都

在过点 P ?x , y ? 斜率为 k 的直线 l 上。 0 0 0
上述两条都成立,所以这个方程

y ? y0 ? k ?x ? x0 ? 就是过点 P0 ?x0 , y0 ? 斜率为 k 的直线 l 的方程.

直线的点斜式方程
直线l经过点p0 ? x0 , y0 ? , 且斜率为k,点p ? x,y ? 是直线 上不同于p0的点,由斜率公式得 :

? y ? y0 ? k ? x ? x0 ?
直线的点斜式方程 由直线上一定点及其斜率确定

y ? y0 k? x ? x0

y
P0 ?x0, y0 ?

.
o

.
x ? x0

p ? x, y ?

y ? y0

x

学会自己探究 直角坐标系中过P0(x0,y0)所有直线都可以用

( x ? x0? ) 直线的点斜式方程 y ? y0 ? k 表示吗
y

.

P0?x0 , y0 ?

(1)当直线l的倾斜角为0°时, tan0 °=0,即k=0

o
y

x

这时直线l与x轴平行或重合,那么l的方程就是: (2)当直线l的倾斜角为90°时, 斜率不存在 这时直线l与y轴平行或重合,那么l的方程就是:

.

P0 ?x0 , y0 ?

o

x

特殊情况:
y

(1)l与x轴平行或重合时:
P0(x0,y0)

倾斜角为0°
l x

y0

斜率k=0

O 直线上任意点 纵坐标都等于y0

y ? y0 ? 0 ? ( x ? x0 )

y ? y0 ? 0
y ? y0

所以:只要直线的斜率存在,直线就可 以用点斜式方程来表示

特殊情况:
y l

(2)l与x轴垂直时: 倾斜角为90°

P0(x0,y0)
x

斜率k 不存在!
不能用点斜式求方程! 但是直线是存在的.

O

x0

直线上任意点 横坐标都等于x0

x ? x0

x ? x0 ? 0

归纳总结
1.点斜式的局限性: 只能表示斜率存在的直线 不能表示与x轴垂直的直线 2.经过点P0(x0,y0)的直线有无数条,可 分两类: ①斜率存在时:y ? y0 ? k ( x ? x0 )
②斜率不存在时:x ? x0

小结:点斜式方程
y
l

①倾斜角α≠90°
x

y ? y0 ? k ( x ? x0 )
②倾斜角α=0°

y y0 y l x l

y ? y0 ? 0或y ? y0
③倾斜角α=90°

O

x0

x

x ? x0 ? 0或x ? x0

点斜式方程的应用:
例1:一条直线经过点P1(-2,3),倾斜角 α=450,求这条直线的方程,并画出图形。
解:这条直线经过点P1(-2,3), 斜率是 k=tan450=1 代入点斜式得 y-3 = x + 2
画图时,只需再找出直线l上的另 一点P1(x1,y1),例如,取x1=- 4,y1=1,得P1的坐标(-4,1),则过 P0,P1的直线即为所求.

y
5 P1 ° ° ° -5 O

x

答案:
1、写出下列直线的点斜式方程: (1)经过点A(3,-1),斜率是

y ?1 ? 2( x ? 3)
y?2 ? 3 ( x ? 2) 3

2;

(2)经过点B( ? 2 ,2),倾斜 角是 30 0 (3)经过点C(0,3),倾斜角是

00
0

y?3

(4)经过点D(-4,-2),倾斜角是 120

y ? 2 ? ? 3( x ? 4)

你都作对了吗?

2、填空题


1)已知直线的点斜式方程是 y ? 2 ? x ? 1

1 ,倾斜角是 那么此直线的斜率是_______ 0 __________ 。 45
(2)已知直线的点斜式方是 y ? 2 ? 3( x ?1)

3 那么此直线的斜率是__________ ,倾斜 0 60 角是____________ 。

知识探究二:直线的斜截式方程
思考1:已知直线l的斜率是k,与y轴的交点是P y (0,b),求直线方程。

代入点斜式方程,得l的直线方程: y-b=k(x-0) (2) 即 y = kx + b

.(0,b)

O

x

直线l与y轴交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴 上的截距。 方程(2)是由直线的斜率k与它在y轴上的截距b 确定,所以方程(2)叫做直线的斜截式方程,简 称斜截式。

思考2:方程y=kx+b叫做直线的斜截式方 程,其中b叫做直线在y轴上的截距.那么 下列直线:y=2x-1,y=-x-3,y=3x,y=-3 在y轴上的截距分别是什么?

几何意义:k 是直线的斜率,b是 直线在y轴上的截距

思考3:直线的斜截式方程在结构形 式上有哪些特点?如何理解它与一 次函数的联系和区别?
斜截式方程: 系数为1

y ? kx ? b
斜率
纵截距

问题:一次函数的表达式是怎样的?图像的特点


y ? kx ? b (k ? 0, b 是常数)叫做一次函数。

思考4:能否用斜截式方程表示直角 坐标平面内的所有直线?
思考5:若不能,请说明哪类直线不 能斜截式方程表示?该如何表示?

x-x0=0,或x=x0

自我巩固一下 练习:写出下列直线的斜截式方程 (1)斜率为 23 ,在y轴上的截距是-2;
3 y? x?2 2

(2)斜率为-2,在y轴上的截距是4
y ? ?2 x ? 4

例 例2、已知直线 l : y ? k x ? b , l : y ? k x ? b 题 试讨论: (1)l1 // l2 的条件是什么? 分 析: (2)l ? l 的条件是什么?
1 1 1 2 2
1 2

2

解: (1)若 l1 // l2则k1 ? k 2
此时

l1 , l2与y轴交点不同,即b1 ? b2

反之 k1 ? k 2且b1 ? b2时,l1 // l2 (2)若 l1 ? l2 , 则k1k 2 ? ?1 反之 k1k 2 ? ?1时,l1 ? l2

例2、已知直线 l1 : y ? k1x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 试讨论: (1)l1 // l2 的条件是什么? (2)l1 ? l2 的条件是什么?
于是我们得到,对于直线

l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2
l1 ∥ l 2 ? k1 ? k2 , 且b1 ? b2 l1 ? l 2 ? k1 ? k 2 ? ?1

练习

4、判断下列各对直线是否平行或垂直:
1 1 (1) l1 : y ? x ? 3 , l2 : y ? x ? 2 2 2 5 3 (2) l1 : y ? x , l2 : y ? ? x 3 5

l1 // l2 l1 ? l2

挑战自我
已知直线 l : y ? 2 ? 3 ( x ? 1) 过点 p (1,2) , 求过 P 点且与 l 所

解: 设所求的直线为 l ? ,其倾斜角为 ? ?

成的锐角为 30°的直线方程。

因为
则与

3 所以直线 的方程为 x ? 1或y ? 2 ? 3 ( x ? 1) 3 3 x ? 1或y ? x?2? 3 3

? ? ? 90?或? ? ? 30? 又因为直线 l ? 过点p(1,2)

l 所成锐角为 30°的直线 l ?的倾斜角为

l

的斜率为 3 ,所以其倾斜角? ? 60?

l?

探究发现:

k为常数时,下列方程所表示的直线过 定点吗?

y ? 3 ? k ( x ? 4)

? ?4,3?

过定点 的直线束

?4,3?

变式训练
(- 3,2) 直线y ? kx ? 3k ? 2必过定点 _______

? y ? k ? x ? 3? ? 2

? y ? 2 ? k ? x ? 3? 当x ? ?3时, y ? 2
? 直线过定点(- 3,2)

点斜式

y ? y0 ? k ( x ? x0 )

(k存在)
( k ? 0)

特殊情况: y ? y0 ? 0 或 y ? y0
x ? x0 ? 0 或 x ? x0

(k不存在)

斜截式:

y = kx + b

点斜式方程:y-y1=k(x-x1) 斜截式方程:y = k x + b
几何意义:k 是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距
①直线的点斜式,斜截式方程在直线斜率存在时才可以应用。 ②直线方程的最后形式应表示成二元一次方程的一般形式。

课后作业
课本P100习题3.2 A组 1(1)(2)(3)、2、3、5(写到作业本上)

谢谢各位专家莅临指导!


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