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四点共圆基本性质及证明

四点共圆 如果同一平面内的四个点在同一个圆上,则称这四个点共圆,一般简称为 “四点共圆”。四点共圆有三个性质: (1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等; (2)圆内接四边形的对角互补; (3)圆内接四边形的外角等于内对角。 以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证明。

1 定理

判定定理
方法 1: 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形,且两三角形都在这 底边的同侧,若能证明其顶角相等,从而即可肯定这四点共圆。 (可以说成:若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等,那么这二点和线 段二端点四点共圆) 方法 2 :把被证共圆的四点连成四边形,若能证明其对角互补或能证明其一 个外角等于其邻补角的内对角时,即可肯定这四点共圆。 (可以说成:若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对 角,那么这四点共圆)

托勒密定理
若 ABCD 四点共圆 (ABCD 按顺序都在同一个圆上) , 那么 AB ? DC+BC ? AD=AC ? BD。

黄忠明

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例题:证明对于任意正整数 n 都存在 n 个点使得所有点间两两距离为整数。 解答:归纳法。我们用归纳法证明一个更强的定理:对于任意 n 都存在 n 个 点使得所有点间两两距离为整数,且这 n 个点共圆,并且有两点是一条直径的两 端。n=1,n=2 很轻松。当 n=3 时,一个边长为整数的勾股三角形即可:比如说 边长为 3,4,5 的三角形。我们发现这样的三个点共圆,边长最长的边是一条直 径。假设对于 n 大于等于 3 成立,我们来证明 n+1。假设直径为 r(整数)。找 一个不跟已存在的以这个直径为斜边的三角形相似的一个整数勾股三角形 ABC (边长 a<b<c)。把原来的圆扩大到原来的 c 倍,并把一个边长为 ra<rb<rc 的 三角形放进去,使得 rc 边和放大后的直径重合。这个三角形在圆上面对应了第 n+1 个点,记为 P。于是根据 Ptolomy 定理,P 和已存在的所有点的距离都是一 个有理数。(考虑 P,这个点 Q 和直径两端的四个点,这四点共圆,于是 PQ 是 一个有理数因为 Ptolomy 定理里的其它数都是整数。)引入一个新的点 P 增加了 n 个新的有理数距离,记这 n 个有理数的最大公分母为 M。最后只需要把这个新 的图扩大到原来的 M 倍即可。归纳法成立,故有这个命题。

反证法证明
现就“若平面上四点连成四边形的对角互补。那么这个四点共圆”证明如下 (其它画个证明图如后) 已知:四边形 ABCD 中,∠A+∠C=180° 求证:四边形 ABCD 内接于一个圆(A,B,C,D 四点共圆) 证明:用反证法 过 A,B,D 作圆 O,假设 C 不在圆 O 上,点 C 在圆外或圆内,

黄忠明

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若点 C 在圆外,设 BC 交圆 O 于 C’,连结 DC’,根据圆内接四边形的性质 得∠A+∠DC’B=180° , ∵∠A+∠C=180° ∴∠DC’B=∠C 这与三角形外角定理矛盾, 故 C 不可能在圆外。 类似地可证 C 不可能在圆内。 ∴C 在圆 O 上,也即 A,B,C,D 四点共圆。

2 证明方法

方法 1
从被证共圆的四点中先选出三点作一圆,然后证另一点也在这个圆周上,若 能证明这一点,即可肯定这四点共圆.

方法 2
把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形,且两三角形都在这底边的同 侧,若能证明其顶角相等(同弧所对的圆周角相等),从而即可肯定这四点共圆。 几何描述:四边形 ABCD 中,∠BAC=∠BDC,则 ABCD 四点共圆。 证明:过 ABC 作一个圆,明显 D 一定在圆上。若不在圆上,可设射线 BD 与 圆的交点为 D',那么∠BD'C=∠BAC=∠BDC,与外角定理矛盾。

方法 3
把被证共圆的四点连成四边形,若能证明其对角互补或能证明其一个外角等 于其邻补角的内对角时,即可肯定这四点共圆。 证法见上

方法 4
把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段,若能证明它们各自被交点分成 的两线段之积相等,即可肯定这四点共圆(相交弦定理的逆定理);或把被证共 圆的四点两两连结并延长相交的两线段, 若能证明自交点至一线段两个端点所成
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黄忠明

的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积, 即可肯定这四点 也共圆.(割线定理的逆定理) 上述两个定理统称为圆幂定理的逆定理, 即 ABCD 四个点, 分别连接 AB 和 CD, 它们(或它们的延长线)交点为 P,若 PA ? PB=PC ? PD,则 ABCD 四点共圆。 证明:连接 AC,BD,∵PA ? PB=PC ? PD ∴PA/PC=PD/PB ∵∠APC=∠BPD ∴△APC∽△DPB 当 P 在 AB,CD 上时,由相似得∠A=∠D,且 A 和 D 在 BC 同侧。根据方法 2 可 知 ABCD 四点共圆。 当 P 在 AB,CD 的延长线上时,由相似得∠PAC=∠D,根据方法 3 可知 ABCD 四 点共圆。

方法 5 证被证共圆的点到某一定点的距离都相等,从而确定它们共圆.即连
成的四边形三边中垂线有交点,可肯定这四点共圆.

方法 6
四边形 ABCD 中,若有 AB ? CD+AD ? BC=AC ? BD,即两对边乘积之和等于对角线 乘积,则 ABCD 四点共圆。该方法可以由托勒密定理逆定理得到。 托勒密定理逆定理:对于任意一个凸四边形 ABCD,总有 AB ? CD+AD ? BC≥AC ? BD,等号成立的条件是 ABCD 四点共圆。

如图,在四边形内作△APB∽△DCB(只需要作∠PAB=∠CDB,∠PBA=∠CBD 即 可)
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由相似得∠ABP=∠DBC,∠BAP=∠BDC ∴∠ABP+∠PBD=∠DBC+∠PBD 即∠ABD=∠PBC 又由相似得 AB:BD=PB:CB=AP:CD ∴AB ? CD=BD ? AP,△ABD∽△PBC ∴AD:BD=PC:BC,即 AD ? BC=BD ? PC 两个等式相加, 得 AB ? CD+AD ? BC=BD ? (PA+PC)≥BD ? AC,等号成立的充要条件 是 APC 三点共线 而 APC 共线意味着∠BAP=∠BAC,而∠BAP=∠BDC,∴∠BAC=∠BDC 根据方法 2,ABCD 四点共圆

方法 7

若一点在一三角形三边上的射影共线,则该点在三角形外接圆上。 设有一△ABC,P 是平面内与 ABC 不同的点,过 P 作三边垂线,垂足分别为 L,M,N,若 L,M,N 共线,则 P 在△ABC 的外接圆上。 如图,PM⊥AC,PN⊥AB,PL⊥BC,且 L,N,M 在一条线上。 连接 PB,PC,∵∠PLB+∠PNB=90°+90°=180° ∴PLBN 四点共圆 ∴∠PLN=∠PBN,即∠PLM=∠PBA
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同理,∠PLM=∠PCM,即∠PLM=∠PCA=∠PBA 根据方法 2,P 在△ABC 外接圆上

3 判定与性质 圆内接四边形的对角和为 180°,并且任何一个外角都等于它的内对角。 【如图 A:四点共圆的图片】

图 A:四点共圆的图片 四边形 ABCD 内接于圆 O, 延长 AB 和 DC 交至 E, 过点 E 作圆 O 的切线 EF, AC、 BD 交于 P,则有: (1)∠A+∠C=π ,∠B+∠D=π (即图中∠DAB+∠DCB=π , ∠ABC+∠ADC=π ) (2)∠DBC=∠DAC(同弧所对的圆周角相等)。 (3)∠ADE=∠CBE(外角等于内对角,可通过(1)、(2)得到) (4)△ABP∽△DCP(两三角形三个内角对应相等,可由(2)得到) (5)AP ? CP=BP ? DP(相交弦定理) (6)EB ? EA=EC ? ED(割线定理) (7)EF?= EB ? EA=EC ? ED(切割线定理) (8)AB ? CD+AD ? CB=AC ? BD(托勒密定理) 说明:切割线定理,割线定理,相交弦定理统称圆幂定理 [1] 其他定理:弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一 半。

黄忠明

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