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2014高考数学文科山东卷

2014 年高考山东卷文科数学真题及参考答案
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选 项中,选择符合题目要求的选项。
2 (a ? bi) ? (1)已知 a, b ? R, i 是虚数单位,若 a ? i ? 2 ? bi ,则

(A) 3 ? 4i

(B) 3 ? 4i

(C) 4 ? 3i

(D) 4 ? 3i

2 (a ? bi) ? (2 ? i)2 ? 4 ? 4i ? i 2 ? 3 ? 4i 【解析】由 a ? i ? 2 ? bi 得, a ? 2,b ? ?1 ,

故答案选 A
2 (2)设集合 A ? {x x ? 2 x ? 0}, B ? {x 1 ? x ? 4}, 则 A ? B ?

(A)(0,2]

(B) (1,2)

(C) [1,2)

(D)(1,4)

【解析】 A ? (0, 2),B ? ?1,4? ,数轴上表示出来得到 A ? B ? [1,2) 故答案为 C (3)函数 f ( x) ?

1 的定义域为 log2 x ? 1
(B) (0,2] (C) (2,??)

2) (A) (0,

? ?) (D) [ 2,

【解析】 log2 x ? 1 ? 0 故 x ? 2 。选 D (4)用反证法证明命题“设 a, b ? R, 则方程 x ? ax ? b ? 0 至少有一个实根”时要做的假设
2

是 (A)方程 x ? ax ? b ? 0 没有实根
2

(B)方程 x ? ax ? b ? 0 至多有一个实根
2

(C)方程 x ? ax ? b ? 0 至多有两个实根
2

(D)方程 x ? ax ? b ? 0 恰好有两个实根
2

【解析】答案选 A,解析略。 (5)已知实数 x, y 满足 a ? a (0 ? a ? 1) ,则下列关系式恒成龙的是
x y

(A) x ? y
3

3

(B) sin x ? sin y
2

(C) ln(x ? 1) ? ln(y ? 1)
2

(D)

1 1 ? 2 x ?1 y ?1
2

2 2 x y 【解析】由 a ? a (0 ? a ? 1) 得, x ? y ,但是不可以确定 x 与 y 的大小关系,故 C、D

排除,而 y ? sin x 本身是一个周期函数,故 B 也不对, x ? y 正确。
3 3

(6)已知函数 y ? loga ( x ? c)(a,c为常数。其中 a ? 0,a ? 1) 的图像如右图,则下列结论

成立的是 (A) a ? 1,c ? 1 (C) 0 ? a ? 1, c ? 1

(B) a ? 1,0 ? c ? 1 (D) 0 ? a ? 1,0 ? c ? 1

【解析】 由图象单调递减的性质可得 0 ? a ? 1 ,向左平移小于 1 个单位,故 0 ? c ? 1 答案选 C (7)已知向量 a ? (1, 3),b ? (3,m) .若向量 a,b 的夹角为

π ,则实数 m = 6

(A) 2 3 【解析】 :

(B) 3

(C) 0

(D) ? 3

r r a ? b ? 3 ? 3m r r r r r r 3 a ? b ? a b cos a, b ? 2 9 ? m 2 ? 2

? ?

? 3 ? 3m ? 3 ? 9 ? m 2 ? m ? 3
答案:B (8)为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床实验。所有志愿者的舒张压数据 (单位:kPa)的分组区间为[12,13), [13,14),[14,15),[15,16].将其按从左到右的顺序分别 编号为第一组,第二组,……,第五组。右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。已知 第一组和第二组共有 20 人,第三组中没有疗效的有 6 人,则第三组中有疗效的人数为 (A) 6 (B) 8 (C) 12 (D) 18 【解析】 :第一组与第二组频率之和为 0.24+0.16=0.4

20 ? 0.4 ? 50

50 ? 0.36 ? 18 18 ? 6 ? 12
答案:C (9) 对于函数 f(x) , 若存在常数 a ? 0 , 使得 x 取定义域内的每一个值, 都有 f(x) ? f( 2a-x), 则称 f(x) 为准偶函数。下列函数中是准偶函数的是 (A) f ( x) ?

x (B) f ( x) ? x 2 (C) f ( x) ? tan x (D) f ( x) ? cos(x ? 1)

【解析】 :由分析可知准偶函数即偶函数左右平移得到的。 答案:D (10)已知 x,y 满足的约束条件 ?

? x-y-1 ? 0, 当目标函数 z ? ax ? by(a ? 0,b ? 0) 在该约束 ?2 x-y-3 ? 0,

2 2 条件下取得最小值 2 5 时, a ? b 的最小值为

(A) 5

(B) 4

(C) 5

(D) 2

【解析】 :?

? x ? y ?1 ? 0 求 得 交 点 为 ? 2,1 ? , 则 2a ? b ? 2 5 , 即 圆 心 ? 0, 0? 到 直 线 ?2 x ? y ? 3 ? 0
2

?2 5? 2 2a ? b ? 2 5 ? 0的距离的平方 ? ? 5 ? ? ? 2 ? 4。 ? ?
答案: B

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,答案须填在题中横线上。
11.执行右面的程序框图,若输入的 x 的值为 1,则输出的 n 的值为
2 【解析】 :根据判断条件 x ? 4 x ? 3 ? 0 ,得 1 ? x ? 3 ,



输入 x ? 1 第一次判断后循环, x ? x ? 1 ? 2, n ? n ? 1 ? 1 第二次判断后循环, x ? x ? 1 ? 3, n ? n ? 1 ? 2 第三次判断后循环, x ? x ? 1 ? 4, n ? n ? 1 ? 3 第四次判断不满足条件,退出循环,输出 n ? 3 答案:3

12.函数 y ?

3 sin 2 x ? cos 2 x 的最小正周期为 2



【解析】 :y?

3 3 1 1 ?? 1 ? sin 2 x ? cos2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? ? sin ? 2 x ? ? ? 2 2 2 2 6? 2 ?

?T ?
答案: T ? ?

2? ? ?. 2

13.一个六棱锥的体积为 2 3 ,其底面是边长为 2 的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱 锥的侧面积为 。

【解析】 :设六棱锥的高为 h ,斜高为 h ? , 则由体积 V ?

1 ?1 ? ? ? ? 2 ? 2 ? sin 60 ? 6 ? ? h ? 2 3 得: h ? 1 , h? ? 3 ?2 ?

? 3?

2

? h2 ? 2

1 ? 侧面积为 ? 2 ? h? ? 6 ? 12 . 2
答案:12

14.圆心在直线 x ? 2 y ? 0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切, 圆 C 截 x 轴所得的弦的长 2 3 , 则圆 C 的标准方程为 。

? a? 【解析】 设圆心 ? a, ? ? a ? 0 ? ,半径为 a . 由勾股定理 ? 2?

? ?
2

?a? 3 ? ? ? ? a 2 得: a ? 2 ?2?
2
2

2

? 圆心为 ? 2,1? ,半径为 2, ? 圆 C 的标准方程为 ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 4
答案: ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 4
2 2

15.已 知 双 曲 线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的 焦 距 为 2c , 右 顶 点 为 A , 抛 物 线 a 2 b2

x2 ? 2 py ? p ? 0? 的焦点为 F ,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c ,且 FA ? c ,
则双曲线的渐近线方程为 【解析】 由题意知 。

P ? c2 ? a2 ? b , 2

抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为 ? c,

? ?

P? ?, 2?

即 ? c, ?b ? 代入双曲线方程为

c2 c 2 b2 ? 2, ? ? 1 ,得 a2 a 2 b2

b c2 ?1 ? 1 . ? 渐近线方程为 y ? ? x ,? ? a a2
答案:1

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。
(16) (本小题满分 12 分) 海关对同时从 A, B, C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此种 商品的数量(单位:件)如右表所示,工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6 件样品进行检测。 地区 数量

A
50

B
150

C
100

(Ⅰ)求这 6 件样品中来自 A, B, C 各地区样品的数量; (Ⅱ) 若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测, 求这 2 件商品来自相同 地区的概率。

(16)【解析】 : (Ⅰ)因为工作人员是按分层抽样抽取商品,所以各地区抽取商品比例为:

A : B : C ? 50 :150 :100 ? 1: 3 : 2 1 3 2 所以各地区抽取商品数为: A : 6 ? ? 1 , B : 6 ? ? 3 , C : 6 ? ? 2 ; 6 6 6
(Ⅱ)设各地区商品分别为: A, B1 , B2 , B3 , C1 , C2 基本时间空间 ? 为: ? A, B1 ? , ? A, B2 ? , ? A, B3 ? , ? A, C1 ? , ? A, C2 ? , ? B1, B2 ? , ? B1, B3 ?

? B1, C1 ? , ? B1, C2 ? , ? B2 , B3 ? , ? B2 , C1 ? , ? B2 , C2 ? , ? B3 , C1 ? , ? B3 , C2 ? , ?C1, C2 ? ,共 15 个.
样本时间空间为: ? B1, B2 ? , ? B1, B3 ? , ? B2 , B3 ? , ?C1, C2 ? 所以这两件商品来自同一地区的概率为: P ? A ? ? (17) (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a , b, c 。已知 a ? 3, cos A ? (Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积。 (17)【解析】 : (Ⅰ)由题意知: sin A ? 1 ? cos A ?
2

4 . 15

6 ? ,B ? A? . 3 2

3 , 3

?? ? ? 6 ? , sin B ? sin ? A ? ? ? sin A cos ? cos A sin ? cos A ? 2? 2 2 3 ?
由正弦定理得:

a b a ? sin B ? ?b? ?3 2 sin A sin B sin A

(Ⅱ)由余弦定理得:

cos A ?

b2 ? c 2? a 2 6 ? ? c 2 ? 4 3c ? 9 ? 0 ? c1 ? 3, c2 ? 3 3, 2bc 3

又因为 B ? A ?

?
2

为钝角,所以 b ? c ,即 c ? 3 ,

所以 S

ABC

1 3 2 ? ac sin B ? . 2 2

(18) (本小题满分 12 分)

如图,四棱锥 P ? ABCD 中, AP ? 平面PCD, AD // BC, AB ? BC ? 别为线段 AD, PC 的中点。 (Ⅰ)求证: AP // 平面BEF (Ⅱ)求证: BE ? 平面PAC 【解析】 : (Ⅰ)连接 AC 交 BE 于点 O,连接 OF,不妨设 AB=BC=1,则 AD=2

1 AD , E , F 分 2

? AB ? BC, AD // BC, ? 四边形 ABCE 为菱形

?O, F分别为AC, PC中点, ?OF // AP
? AP // 平面BEF 又? OF ? 平面BEF,
(Ⅱ)? AP ? 平面PCD,CD ? 平面PCD,? AP ? CD

? BC // ED, BC ? ED,? BCDE为平行四边形, ? BE // CD ,? BE ? PA
又? ABCE为菱形, ? BE ? AC

又? PA ? AC ? A, PA、AC ? 平面PAC ,? BE ? 平面PAC
(19) (本小题满分 12 分) 在等差数列 ?an ? 中,已知 d ? 2 , a 2 是 a1 与 a 4 等比中项. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? an? n?1? , 记 Tn ? ?b1 ? b2 ? b3 ?
2

? ? ?1? bn ,求 Tn .
n

【解析】 : (Ⅰ)由题意知:

?an ?为等差数列,设 an ? a1 ? ?n ?1?d ,? a2 为 a1 与 a4 的等比中项
2 2 ?a2 ? a1 ? a4 且 a1 ? 0 ,即 ?a1 ? d ? ? a1 ?a1 ? 3d ? ,? d ? 2 解得: a1 ? 2

? an ? 2 ? (n ?1) ? 2 ? 2n
(Ⅱ)由 (Ⅰ)知: an ? 2n , bn ? a n ( n?1) ? n(n ? 1)
2

① 当 n 为偶数时:

Tn ? ??1? 2 ? ? ?2 ? 3? ? ?3 ? 4 ? ? ?? ? n?n ? 1?

? 2?? 1 ? 3? ? 4?? 3 ? 5? ? ?? ? n?? ?n ? 1? ? ?n ? 1?? ? 2 ? 2 ? 4 ? 2 ? 6 ? 2 ? ?? ? n ? 2 ? 2 ? ?2 ? 4 ? 6 ? ?? ? n ? ?2 ? n ? n n 2 ? 2n 2? ? 2? 2 2

② 当 n 为奇数时:

Tn ? ??1? 2? ? ?2 ? 3? ? ?3 ? 4? ? ?? ? n?n ? 1?

? 2?? 1 ? 3? ? 4?? 3 ? 5? ? ?? ? ?n ? 1??? ?n ? 2? ? n? ? n?n ? 1? ? 2 ? 2 ? 4 ? 2 ? 6 ? 2 ? ?? ? ?n ? 1?? 2 ? n?n ? 1? ? 2 ? ?2 ? 4 ? 6 ? ?? ? ?n ? 1?? ? n?n ? 1? ?2 ? n ? 1? n ? 1 2 2 ? n?n ? 1? ? ? n ? 2n ? 1 ? 2? 2 2

? n 2 ? 2n ? 1 ? ,n为奇数 ? ? 2 T ?? 2 综上: n ? n ? 2n , n为偶数 ? ? 2
(20)(本小题满分 13 分) 设函数 f ? x ? ? a ln x ?

x ?1 ,其中 a 为常数. x ?1

(Ⅰ)若 a ? 0 ,求曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程; (Ⅱ)讨论函数 f ? x ? 的单调性. 【解析】(1) 当a ? 0时 f ( x) ?

?

?

x ?1 2 , f ?( x) ? x ?1 ( x ? 1) 2

f ?(1) ?

2 1 ? 2 (1 ? 1) 2


?y ?

f (1) ? 0 ?直线过点(1,0)
1 1 x? 2 2

(2) f ?( x) ?

a 2 ? ( x ? 0) x ( x ? 1)2 2 恒大于0. f ( x)在定义域上单调递增. ( x ? 1)2

①当a ? 0时, f ?( x) ?

②当a ? 0时,f ?( x) ?

a 2 a( x ? 1)2 ? 2 x ? = ? 0. f ( x)在定义域上单调递增. x ( x ? 1)2 x( x ? 1)2

1 ③当a ? 0时,? ? (2a ? 2) 2 ? 4a 2 ? 8a ? 4 ? 0, 即a ? ? . 2

开口向下,f ( x)在定义域上单调递减。
当? 1 ?(2a ? 2) ? 8a ? 4 ?a ? 1 ? 2a ? 1 ? a ? 0时,? ? 0.x1,2 ? ? 2 2a a
2a ? 2 1 ? ?1 ? ? 0.且x1 x2 ? 1 ? 0 2a a

对称轴方程为x ? ?

? f ( x)在(0,

? a ? 1 ? 2a ? 1 ? a ? 1 ? 2a ? 1 ? a ? 1 ? 2a ? 1 ) 单调递减, ( , ) 单调递增, a a a ?a ? 1+ 2a ? 1 ( , +?) 单调递减。 a

综上所述,a ? 0 时,f ( x)在定义域上单调递增;a ? 0 时,f ( x) 在定义域上单调递增 a?? ( 1 1 ? a ? 1 ? 2a ? 1 时,f ( x)在定义域上单调递减; ? ? a ? 0 时,f ( x) 在(0, ) 单调递减, 2 2 a

? a ? 1 ? 2a ? 1 ? a ? 1 ? 2 a ? 1 ?a ? 1+ 2a ? 1 , ) 单调递增, ( , +?) 单调递减。 a a a

(21)(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,直线 2 a b 2

y ? x 被椭圆 C 截得的线段长为
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

4 10 . 5

(Ⅱ) 过原点的直线与椭圆 C 交于 A, B 两点 ( A, B 不是椭圆 C 的顶点) , 点 D 在椭圆 C 上, 且 AD ? AB ,直线 BD 与 x 轴、 y 轴分别交于 M , N 两点. (i)设直线 BD, AM 的斜率分别为 k1 , k2 .证明存在常数 ? 使得 k1 ? ? k2 ,并求出 ? 的 值; (ii)求 OMN 面积的最大值.

3 c 3 c 2 3 a 2 ? b2 3 【解析】(1) e ? ? ? 即 2= , ? ? a 2 ? 4b2 2 2 a 2 a 4 a 4
设直线与椭圆交于 p, q 两点。不妨设 p 点为直线和椭圆在第一象限的交点。

又 弦长为

4 10 2 5 2 5 , ? p( , ) 5 5 5

4 4 ? 52 ? 52 ? 1 a b
联立解得a 2 ? 4, b 2 ? 1 ? 椭圆方程为 x2 ? y 2 ? 1. 4

2014 高考山东卷数学科目的真题点评及解析到此结束,希望广大考生关注新东方在线 高考名师团队其他科目的解析和点评。 最后,新东方在线祝愿广大 2014 高考考生取得优异成绩,金榜题名。并祝 2015 高考考 生备考顺利。

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