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2015-2016学年重庆市第八中学高二下学期第四次月考数学(文)试题(解析版)


数学(文)试题
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的一项.
1.设 x ? Z ,集合 A 是奇数集,集合 B 是偶数集.若命题 p : ?x ? A, 2 x ? B ,则( A. ?p : ?x ? A, 2 x ? B C. ?p : ?x ? A, 2 x ? B B. ?p : ?x ? A, 2 x ? B D. ?p : ?x ? A, 2 x ? B )

【考点】全称量词与存在性量词 【试题解析】因为全称命题的否定为特称命题, 所以命题 故答案为:C 【答案】C 2.已知集合 A ? x lg ? x ? 1? ? 0 , B ? x ?1 ? x ? 3 ,则 A ? B ? ( A. ? ?1,3? 【考点】集合的运算 【试题解析】 所以 故答案为:D 【答案】D 3.复数 z 满足 ?1 ? i ? z ? A. 1 ? i 。 B. ? ?1, 2? C. ?1,3? D. ?1, 2? ,的否定为 。

?

?

?

?



3 ? i ,则 z ? (

) C. ? 1 ? i D. ?1 ? i

B. 1 ? i

【考点】复数乘除和乘方 【试题解析】由 得:

所以 故答案为:A 【答案】A



4.幂函数 y ? f ? x ? 的图象过点 ? A.

?1 2? ?2, 2 ? ? ,则 log4 f ? 2? 在值为( ? ?
C.



1 4

B.

1 2

3 4

D.1

【考点】幂函数 【试题解析】设幂函数 因为 的图象过点 ,

所以

所以 故答案为:A 【答案】A 5.阅读如下图所示程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为( )

A.7

B.9

C.10

D.11

【考点】算法和程序框图 【试题解析】 否; 否; 故答案为:B 【答案】B 6.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为( ) 否; 是,故输出 i=9. 否;

A.

3 ?8 ? ? ? 6

B.

3 ? 9 ? 2? ? 6

C.

3 ?8 ? 2? ? 6

D.

3 ?6 ? ? ? 6

【考点】空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图 【试题解析】该几何体是一个四棱锥与一个半圆锥的组合体。 所以 故答案为:A 【答案】A 7.函数 f ? x ? ? 。

1 x ? sin x 的大致图象可能是( 2



A.

B.

C.

D.

【考点】函数图象 【试题解析】因为函数为奇函数,故排除 C; 又 即 f(x)在 故答案为:A 【答案】A 8.已知 0 ? a ? 1 ,则方程 a ? log a x ? 0 的零点个数是(
x



时,

上单调递减,故排除 B、D。

) D.4

A.1 【考点】零点与方程 【试题解析】方程

B.2

C. 3

的零点个数即 与



图像的交点个数。

由数形结合的知识可得: 故答案为:B 【答案】B

的图像有两个交点。

9.已知 x ? log2 3 ? log2 3, y ? log0.5 3, z ? 0.9?1.1 ,则( A. x ? y ? z B. z ? y ? x C. y ? z ? x



D. y ? x ? z

【考点】对数与对数函数指数与指数函数 【试题解析】 所以 。 故答案为:D 【答案】D 10 . 设 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 y ? f ? x ? , 满 足 对 任 意 t ? R 都 有 f ? t? ? f ?1 ? t ? ,且

? 1? x ? ?0, ? 时, f ? x ? ? ?x2 ,则 ? 2?
A.

?3? f ? ? ? 的值等于( ?2?
C.

) D. ?

9 4

B. ?

9 4

1 4

1 4


【考点】周期性和对称性 【试题解析】因为 所以 是 R 上的奇函数,所以 又

所以 故答案为:C 【答案】C 11.已知点 A 是抛物线 y ?

1 2 x 的对称轴与准线的交点,点 F 为该抛物线的焦点,点 P 在 4

抛物线上且满足 PF ? m PA ,当 m 取最小值时,点 P 恰好在以 A, F 为焦点的双曲线上, 则该双曲线的离心率为( A. )

5 ?1 2

B.

2 ?1 2

C. 2 ? 1

D. 5 ? 1

【考点】双曲线抛物线 【试题解析】由题知:A(0,-1) ,F(0,1) 。|PF|等于 P 到准线的距离 d。 要使 m 最小,即 最小,此时直线 PA 与抛物线相切。 设 PA:

联立

消 y 得:

所以 P(2,1)或(-2,1) 。 所以双曲线的实轴长为:PA-PF=

所以 故答案为:C 【答案】C

所以双曲线的离心率为

12 . 已 知 函 数 f ? x ? ?

1 2 b x 1 x ? ? c ( b, c 是 常 数 ) 和 g ? x ? ? ? 为 定 义 在 2 x 4 x

M ? ? x 1 ? x ? 4? 上 的 函 数 , 对 于 任 意 的 x ? M , 存 在 x0 ? M 使 得

f ? x ? ? f ? x0 ? , g ? x ? ? g ? x0 ? , 且 f ? x0 ? ? g ? x0 ? , 则 f ? x ? 在 集 合 M 上 的 最 大 值 为
( A. )

7 2

B.5

C. 6

D.8

【考点】函数综合 【试题解析】因为 当且仅当 x=2 时取等号;

所以

所以

因为 f(x)在 x=2 处有最小值,所以

所以

所以 f(x)在[1,2]上递减,在[2,4]上递增,且 f(1)= 故 f(x)的最大值为 5. 故答案为:B 【答案】B

,f(4)=5,

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.计算: lg 25 ? 2 lg

1 ? ______. 2

【考点】对数与对数函数 【试题解析】 故答案为:2 【答案】2 14.已知曲线 f ? x ? ? ? x ? a ? ln x 在点 1, f ?1? 处的切线与曲线 2 x ? y ? 2 ? 0 平行,则实 数 a ? ______. 【考点】导数的概念和几何意义 【试题解析】 ,

?

?

故答案为:1 【答案】1
2 ? ? x ? 2x ? x ? 0? 15.已知函数 f ? x ? ? ? 为奇数,则 f ? g ? ?1? ? ? ______. g x x ? 0 ? ?? ? ? ?

【考点】函数的奇偶性 【试题解析】x<0 时,-x>0,所以 f(-x)= 又 f(x)为奇函数,所以 即 故答案为: 【答案】-15 16 . 现 定 义 一 种 运 算 “ ? ”: 对 任 意 实 数 a, b, a ? b ? ? 所以 所以

?b, a ? b ? 1 . 设 ?a, a ? b ? 1

f ? x ? ? ? x 2 ? 2 x ? ? ? x ? 3? , 若函数 g ? x ? ? f ? x ? ? k 的图象与 x 轴恰有三个公共点, 则k
的取值范围是______. 【考点】零点与方程 【试题解析】当 当 即 即 时, 或 时,

所以

要使函数 即使 结合函数 故答案为:[-2,1 【答案】[-2,1 与

的图象与 轴恰有三个公共点, 的图象有三个不同的交点, 的图像知:

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤.
17. (本小题满分 12 分)

已知函数 f ? x ? ? 垂直于直线 y ?

x a 3 ? ? ln x ? ,其中 a ? R ,且曲线 y ? f ? x ? 在点 ?1, f ?1? ? 处的切线 4 x 2

1 x. 2

(1)求实数 a 的值; (2)求函数 f ? x ? 的单调区间. 【考点】利用导数研究函数的单调性导数的概念和几何意义 【试题解析】 (1) 由 知 在点 , 处的切线垂直于直线 。

(2)由(Ⅰ)知



令 因为 所以当 当

,解得 的定义域 时, 时, ,故 ,故 在 在 上为减函数; 上为增函数

【答案】见解析 18. (本小题满分 12 分) 某中学地理研究学习小组对春季昼夜温差大小与水稻发芽率之间的关系进行研究, 记录了实 验室 4 月 10 日至 4 月 14 日的每天昼夜温差与每天稻籽的发芽数,得到如下资料: 日期 温差 x / ?C 发芽数 y /颗 4 月 10 日 10 11 4 月 11 日 12 13 4 月 12 日 13 14 4 月 13 日 14 16 4 月 14 日 11 12

(Ⅰ)从 4 月 10 日至 4 月 14 日中任选 2 天,记发芽的种子数分别为 m 、 n ,求事件“ m 、

n 均小于 14”的概率.
(Ⅱ)根据表中的数据可知发芽数 y (颗)与温差 x ? ?C? 呈线性相关,请求出发芽数 y 关

? ?a ?. 于温差 x 的线性回归方程 ? y ? bx

?? ? ?a ? 中, b (参数公式:线性回归方程 ? y ? bx

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2 i

? nx

2

? ? y ? bx ? ,其中 x, y 为样 ,a

本平均值.本题中:

?x y
i ?1 i

5

i

? 804, ? xi2 ? 730 )
i ?1

5

【考点】变量相关古典概型 【试题解析】 (1)从 4 月 10 日至 4 月 14 日中任选 2 天,记发芽的种子数分别为 、 , 基本事件有: (11,13) , (11,14) , (11,16) , (11,12) , (13,14) , (13,16) , (13,12) , (14,16) , (14,12) , (16,12) ,10 个。 其中“ 、 均小于 14”的事件有: (11,13) , (11,12) , (13,12)3 个; 所以 。 ,从而 , 故线性回归方程为 【答案】见解析 19. (本小题满分 12 分)

(2)计算得

AB ? CD , 在如图所示的几何体中, 面 CDEF 为正方形, 面 ABCD 为等腰梯形, AC ? 3 ,
AB ? 2 BC ? 2 , AC ? FB .
(1)求证: AC ? 平面 FBC ; (2)求该几何体的体积.

【考点】空间几何体的表面积与体积垂直 【试题解析】 (1)因为 由勾股定理 (2)过 作 于是: ,又 于 ,所以 作 ,所以 平面 于 ,

,过



所以 【答案】见解析 20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心为原点 O ,长轴在 x 轴上,离心率 e ? 椭圆于 A, A? 两点, AA? ? (1)求椭圆 C 的标准方程; ( 2 )若直线 l 与圆 O : x2 ? y 2 ? 1 相交于不同的两点 E , F ,与椭圆 C 相交于不同的两点

2 ,过左焦点 F 1 作 x 轴的垂线交 2

2.

G , H ,求 ?OEF 的面积最大时弦长 GH 的取值范围.
【考点】圆锥曲线综合椭圆

【试题解析】 (1)依题意有:

,解得:

于是:椭圆的标准方程为:

(2)依题意:

于是:当

时,

最大,此时:

,点

到直线 的距离



当直线 的斜率不存在时,满足条件的直线方程为

当直线 的斜率存在时,设直线方程为

其中

,于是

联立方程组





,则

于是,由弦长公式可得:

代入





,则

代入上式得:

由于

,所以

,于是

综上所述: 【答案】见解析 21. (本小题满分 12 分,第Ⅰ问 4 分,第Ⅱ问 8 分) 已知函数 f ? x ? ? ax ?

a ?1 ? a ? R ? , g ? x ? ? ln x . x

(1)当 a ? 2 时,求函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 的最小值; (2)当 a ? 0 ,对任意 x ? 1 ,不等式 f ? x ? ? g ? x ? ? 1恒成立,求实数 a 的取值范围. 【考点】导数的综合运用利用导数求最值和极值利用导数研究函数的单调性 【试题解析】 (1) 当 时,

令 令 综上:函数 故 (2)

得: 得:

,解得: ,解得: 的单调递增区间为 ,单调递减区间为

的最小值为 即 ,



,则在



恒成立等价于

①当



,此时



上单调递减,



上单调递增,

于是

,这与



矛盾;

②当



时,此时 ,解得:



上单调递增

综上所述,实数 的取值范围是 【答案】见解析

请考生从第 22、23、24 三题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一个题 记分.
22. (本小题满分 10 分) 如图, AB 切 ? O 于点 B ,直线 AO 交 ? O 于 D, E 两点, BC ? DE ,垂足为 C . (1)证明: ?CBD ? ?DBA ; (2)若 AD ? 3DC, BC ? 2 ,求 ? O 的直径.

【考点】圆相似三角形 【试题解析】 (1)因为 是 又 ,所以 又 切 于点 ,得 (2)由(1)知 由 平分 ,解得

的直径,则 , ,所以 ,则 ,所以 ,又 ,

, ; ,从而 ,

由切割线定理得 即 的直径为 3. 【答案】见解析 23. (本小题满分 10 分)

,解得

,故



在直角坐标系 xoy 中,以 o 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的参数方程 为?

?x ? t ( t 为参数) ,曲线 C1 方程为 ? ? ? ? 4sin ? ? ? 12 ,定点 A? 6,0? ,点 P 是曲线 C1 ? y ? at

上的动点, Q 为 AP 的中点. (1)求点 Q 的轨迹 C2 的直角坐标方程; (2)直线 l 与直线 C2 交于 A, B 两点,若 AB ? 2 3 ,求实数 a 的取值范围. 【考点】参数和普通方程互化极坐标方程 【试题解析】 (1)由题意知,曲线 的直角坐标方程为



,由中点坐标公式得



将 得点 即是

代入 的轨迹 的直角坐标方程 .

中, ,

(2)直线 的普通方程

,由题意得:

解得



【答案】见解析 24. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ? x ? ? 2x ?1 ? 2x ? a , g ? x ? ? x ? 3 . (1)当 a ? 2 时,求不等式 f ? x ? ? g ? x ? 的解集. (2)设 a ? ?1 ,且当 x ? ? ?

? a 1? , ? 时, f ? x ? ? g ? x ? ,求 a 的取值范围. ? 2 2?

【考点】绝对值不等式 【试题解析】 (1)当 设函数 时,不等式 ,则 化为 .

其图象如图所示,从图象可知,当且仅当 ,所以原不等式的解集是 ;

时,

(2)当

.不等式

化为

所以



都成立,故

,即



又前提

,从而 的取值范围是



【答案】见解析


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