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2013高考数学一轮复习 1-1集合的概念和运算课件 理_图文


第1讲 集合的概念和运算

【2013年高考会这样考】 1.考查集合中元素的互异性. 2.求几个集合的交、并、补集. 3.通过给的新材料考查阅读理解能力和创新解题的能力. 【复习指导】 1.主要掌握集合的含义、集合间的关系、集合的基本运算, 立足基础,抓好双基. 2.练习题的难度多数控制在低中档即可,适当增加一些情境 新颖的实际应用问题或新定义题目,但数量不宜过多.

基础梳理
1.集合与元素 (1)集合元素的三个特征:确定性、 互异性 、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号 ∈ 或 ? 表 示. (3)集合的表示法:列举法、 描述法 、图示法、区间法.

(4)常用数集:自然数集N;正整数集N*(或N+);整数集Z;有理 数集Q;实数集R. (5)集合的分类:按集合中元素个数划分,集合可以分为有限集、 无限集、

空集



2.集合间的基本关系 (1)子集:对任意的x∈A,都有x∈B,则A ? B(或B?A). (2)真子集:若A?B,且A≠B,则A ?B(或B? A). (3)空集:空集是任意一个集合的子集,是任何非空集合的真 子集.即??A,?? B(B≠?). (4)若A含有n个元素,则A的子集有2n个,A的非空子集有
2n-1

个.
A=B

(5)集合相等:若A?B,且B?A,则

.

3.集合的基本运算 (1)并集:A∪B={x|x∈A,或x∈B}. (2)交集:A∩B={x|x∈A,且x∈B}. (3)补集:?UA={x| (4)集合的运算性质 ①A∪B=A?B?A,A∩B=A? A?B ; ②A∩A=A,A∩?= ? ③A∪A=A,A∪?=A; ④A∩?UA=?,A∪?UA=U,?U(?UA)=A. ;

x∈U,且x?A

}

一个性质 要注意应用A?B、A∩B=A、A∪B=B、?UA??UB、A∩(?UB) =?这五个关系式的等价性. 两种方法 韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方 法,其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心.

三个防范 (1)空集在解题时有特殊地位,它是任何集合的子集,是任何 非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论,防止漏解. (2)认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形). (3)在解决含参数的集合问题时,要检验集合中元素的互异 性,否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误.

双基自测 1.(人教A版教材习题改编)设集合A={x|2≤x<4},B={x|3x -7≥8-2x},则A∪B等于( A.{x|3≤x<4} C.{x|x>2} ). B.{x|x≥3} D.{x|x≥2}

解析 B={x|3x-7≥8-2x}={x|x≥3}, ∴结合数轴得:A∪B={x|x≥2}. 答案 D

2. (2011· 浙江)若P={x|x<1},Q={x|x>-1},则( A.P?Q 解析 答案 B.Q?P C.?RP?Q

).

D.Q??RP

∵?RP={x|x≥1},∴?RP?Q. C ).

3.(2011· 福建)i是虚数单位,若集合S={-1,0,1},则( A.i∈S 解析 答案 B.i ∈S
2

C.i ∈S

3

2 D. ∈S i

∵i2=-1,∴-1∈S,故选B. B

4.(2011· 北京)已知集合P={x|x2≤1},M={a}.若P∪M= P,则a的取值范围是( A.(-∞,-1] C.[-1,1] 解析 ). B. [1,+∞) D.(-∞,-1]∪[1,+∞)

因为P∪M=P,所以M?P,即a∈P,得a2≤1,解得-

1≤a≤1,所以a的取值范围是[-1,1]. 答案 C

5.(人教A版教材习题改编)已知集合A={1,3,m},B= {3,4},A∪B={1,2,3,4},则m=________. 解析 A∪B={1,3,m}∪{3,4}={1,2,3,4}, ∴2∈{1,3,m},∴m=2. 答案 2

考向一

集合的概念

【例1】?已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为 ________. [审题视点] 分m+2=3和2m2+m=3两种情况讨论.

解析

因为3∈A,所以m+2=3或2m2+m=3.

当m+2=3,即m=1时,2m2+m=3,此时集合A中有重复元 素3,所以m=1不合乎题意,舍去;当2m2+m=3时,解得m 3 3 1 =- 或m=1(舍去),此时当m=- 时,m+2= ≠3合乎题 2 2 2 3 意.所以m=-2. 答案 3 -2

集合中元素的互异性,一可以作为解题的依据和突 破口;二可以检验所求结果是否正确. 【训练1】 设集合A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B= {3},则实数a的值为________. 解析 若a+2=3,a=1,检验此时A={-1,1,3},B={3,5},

A∩B={3},满足题意.若a2+2=3,则a=± 1.当a=-1时,B ={1,3}此时A∩B={1,3}不合题意,故a=1. 答案 1

考向二

集合的基本运算

【例2】?(2011· 天津)已知集合A={x∈R||x+3|+|x-4|≤9},B =
? ? 1 ? ? ?x∈R|x=4t+ -6,t∈?0,+∞?? t ? ? ? ?

,则集合A∩B=

________. [审题视点] 先化简集合A,B,再求A∩B.

解析

不等式|x+3|+|x-4|≤9等价于
?-3<x<4, ? 或? ?x+3+4-x≤9 ? ?x≤-3, ? 或? ?-x-3+4-x≤9, ?

?x≥4, ? ? ?x+3+x-4≤9 ?

解不等式组得A=[-4,5],又由基本不等式得B=[-2,+∞), 所以A∩B= [-2,5]. 答案 {x|-2≤x≤5}

集合运算时首先是等价转换集合的表示方法或化简 集合,然后用数轴图示法求解. 【训练2】
? ?x-2 ? ? ?x ≤0 ? ? x ? ?

(2011· 江西)若集合A={x|-1≤2x+1≤3},B=
? ? ?,则A∩B=( ? ?

). B.{x|0<x≤1} D.{x|0≤x≤1}

A.{x|-1≤x<0} C.{x|0≤x≤2}

解析 ∵A={x|-1≤x≤1},B={x|0<x≤2}, ∴A∩B={x|0<x≤1}. 答案 B

考向三

集合间的基本关系

【例3】?已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1}, 若B?A,求实数m的取值范围. [审题视点] 若B?A,则B=?或B≠?,故分两种情况讨论. 解 当B=?时,有m+1≥2m-1,得m≤2.

?m+1≥-2, ? 当B≠?时,有?2m-1≤7, ?m+1<2m-1, ? 综上,m≤4.

解得2<m≤4.

已知两集合的关系求参数时,关键是将两集合的关 系转化为元素间的关系,进而转化为参数满足的关系,解决这 类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析,而且经常要对 集合进行讨论.

【训练3】

? ?m ? (2011· 江苏)设集合A=??x,y?? 2 ≤?x-2?2+y2≤m2, ? ? ?

? x,y∈R?,B={(x,y)|2m≤x+y≤2m+1,x,y∈R}.若 ?

A∩B≠?,则实数m的取值范围是________. 解析
2 2

①若m<0,则符合题的条件是:直线x+y=2m+1与圆(x-
2

2) +y =m 有交点,从而 2+ 2 ≤m≤ ,与m<0矛盾; 2

|2-2m-1| 2

≤|m|,解得

2- 2 2

②若m=0,代入验证,可知不符合题意;

m 1 2 ③若m>0,则当 2 ≤m ,即m≥ 2 时,集合A表示一个环形区 域,集合B表示一个带形区域,从而当直线x+y=2m+1与x+ y=2m中至少有一条与圆(x-2)2+y2=m2有交点,即符合题 |2-2m| |2-2m-1| 2- 2 意,从而有 ≤|m|或 ≤|m|,解得 2 ≤m≤2 2 2 1 2- 2 1 + 2,由于2> 2 ,所以2≤m≤2+ 2. 1 综上所述,m的取值范围是 ≤m≤2+ 2. 2 答案
?1 ? ,2+ ?2 ? 2? ?

难点突破1——集合问题的命题及求解策略

集合是数学中最基本的概念,高考对集合的考查内容主要有:集合 的含义、集合间的基本关系和集合的基本运算,并且以集合的运算 为主,与不等式的解集、函数的定义域、方程的解集、平面上的点 集等内容相互交汇,涉及的知识面较广,难度不大.高考对集合的 考查有两种形式:一种是直接考查集合间的包含关系或交、并、补 的基本运算;另一种是以集合为工具考查集合语言和集合思想在方 程、不等式、解析几何等中的运用.

一、集合与排列组合 【示例】? (2011· 安徽)设集合A={1,2,3,4,5,6},B= {4,5,6,7,8},则满足S?A且S∩B≠?的集合S的个数是( A.57 B.56 C.49 D.8 ).

二、集合与不等式的解题策略 【示例】? (2011· 山东)设集合M={x|x2+x-6<0},N= ). C.(2,3] D.[2,3]

{x|1≤x≤3},则M∩N等于( A.[1,2) B.[1,2]

三、集合问题中的创新问题 【示例】? (2011· 浙江)设a,b,c为实数,f(x)=(x+a)(x2+bx

+c),g(x)=(ax+1)(cx2+bx+1).记集合S={x|f(x)=0,x∈ R},T={x|g(x)=0,x∈R}.若|S|,|T|分别为集合S,T的元素 个数,则下列结论不可能的是( A.|S|=1且|T|=0 C.|S|=2且|T|=2 ). B.|S|=1且|T|=1 D.|S|=2且|T|=3

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