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二次方程根的分布归纳


二次方程根的分布
1、一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 根的分布情况
2

表一: (两根与 0 的大小比较即根的正负情况)
分 布 情 况
两个负根即两根都小于 0 两个正根即两根都大于 0 一正根一负根即一个根小于 0, 一个大于 0 ? x1 ? 0 ? x2 ?

? x1 ? 0, x2 ? 0?

? x1 ? 0, x2 ? 0?

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论

? ??0 ? b ? ?0 ?? 2a ? ? f ?0? ? 0 ?

? ??0 ? b ? ?0 ?? 2a ? ? f ?0? ? 0 ?

f ?0? ? 0

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论 综 合 结 论 ( 不 讨 论

? ??0 ? b ? ?0 ?? 2a ? ? f ?0? ? 0 ?

? ??0 ? b ? ?0 ?? 2a ? ? f ?0? ? 0 ?

f ?0? ? 0

a

? ??0 ? b ? ?0 ? ? ? 2a ?a ? f ? 0 ? ? 0 ?

? ??0 ? b ? ?0 ? ? ? 2a ?a ? f ? 0 ? ? 0 ?

a ? f ?0? ? 0



表二: (两根与 k 的大小比较)
分 布 情 况
两根都小于 k 即 两根都大于 k 即 一个根小于 k ,一个大于 k 即

x1 ? k , x2 ? k

x1 ? k , x2 ? k

x1 ? k ? x2

a?0


大 致 图 象 (

k k k

得 出 的 结 论

? ??0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? f ?k ? ? 0 ?

? ??0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? f ?k ? ? 0 ?

f ?k ? ? 0

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论

? ??0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? f ?k ? ? 0 ?

? ??0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? f ?k ? ? 0 ?

f ?k ? ? 0

综 合 结 论 ( 不 讨 论

a

? ??0 ? b ? ?k ? ? 2a ? ?a ? f ? k ? ? 0 ?

? ??0 ? b ? ?k ? ? 2a ? ?a ? f ? k ? ? 0 ?

a ? f ?k ? ? 0



表三: (根在区间上的分布)
分 布 情 况
两根都在 ?m, n? 内 两根有且仅有一根在 ?m, n? 内 一根在 ?m, n? 内, 另一根在 ? p, q ?

(图象有两种情况,只画了一种) 内, m ? n ? p ? q

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论

? ??0 ? ? f ?m? ? 0 ? ? f ?n? ? 0 ? b ?m ? ? ?n 2a ? ?

f ?m? ? f ?n? ? 0

? f ? m? ? 0 ? ? ? f ? n? ? 0 ? f ? m? f ? n? ? 0 或? ? ? ? f ? p? ? 0 ? f ? p? f ?q? ? 0 ? f ?q? ? 0 ?

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论

? ??0 ? ? f ?m? ? 0 ? ? f ?n? ? 0 ? b ?m ? ? ?n 2a ? ?

f ?m? ? f ?n? ? 0

? f ? m? ? 0 ? ? ? f ? n? ? 0 ? f ? m? f ? n? ? 0 或? ? ? ? f ? p? ? 0 ? f ? p? f ?q? ? 0 ? f ?q? ? 0 ?

综 合 结 论 ( 不 讨 论

——————

f ?m? ? f ?n? ? 0

? f ?m ? f ?n ? ? 0 ? ? ? f ? p ? f ?q ? ? 0 ?

a



根的分布练习题
例 1、已知二次方程 ? 2m ?1? x2 ? 2mx ? ? m ?1? ? 0 有一正根和一负根,求实数 m 的取值范围。

例 2、已知方程 2x2 ? ? m ?1? x ? m ? 0 有两个不等正实根,求实数 m 的取值范围。

例 3、已知二次函数 y ? ? m ? 2? x2 ? ? 2m ? 4? x ? ?3m ? 3? 与 x 轴有两个交点,一个大于 1,一个小于 1,求实数

m 的取值范围。

例 4、已知二次方程 mx ? ? 2m ? 3? x ? 4 ? 0 只有一个正根且这个根小于 1,求实数 m 的取值范围。
2

2、二次函数在闭区间 ?m, n? 上的最大、最小值问题探讨
设 f ?x? ? ax2 ? bx ? c ? 0 ?a ? 0? ,则二次函数在闭区间 ?m, n ? 上的最大、最小值有如下的分布情况:

m?n??

b 2a

m??

b b ? n即? ? ?m, n? 2a 2a

?

b ?m?n 2a

图 象

最 大 、 最 小 值

f ?x ?max ? f ?m ? f ?x ?min ? f ?n ?

f ?x ?max ? max? f ?n ?, f ?m?? ? b ? f ?x ?min ? f ? ? ? ? 2a ?

f ?x ?max ? f ?n ? f ?x ?min ? f ?m?

二次函数在闭区间上的最值练习
二次函数在闭区间上求最值,讨论的情况无非就是从三个方面入手:开口方向、对称轴以及闭区间,以下三 个例题各代表一种情况。 例 1、函数 f ? x ? ? ax ? 2ax ? 2 ? b ? a ? 0? 在 ? 2,3? 上有最大值 5 和最小值 2,求 a , b 的值。
2

例 2、求函数 f ? x ? ? x2 ? 2ax ? 1, x ??1,3? 的最小值。

改:1.本题若修改为求函数的最大值,过程又如何? 2.本题若修改为求函数的最值,讨论又该怎样进行? ; 例 3、求函数 y ? x2 ? 4x ? 3 在区间 ?t , t ? 1? 上的最小值。

反馈练习
1、已知函数 2、设

f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 在区间 ?0,m? 上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范围为
个解

f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 若 f (m) ? 0, f (n) ? 0, m ? n ,则一元二次方程 f ( x) ? 0 在区间
f ( x) ? x2 ? 4x ? 4 在区间 ?t , t ? 1? (t ? R) 上的最小值为 g (t ) ,试写出 g (t ) 的函数表达式,

(m, n) 内有
3、已知函数

作出 g (t ) 的图像并写出 g (t ) 的最小值

4、 (1)已知 ? , ? 是方程 x (2)若 x
2

2

? (2m ?1) x ? 4 ? 2m ? 0 的两个根,且 ? ? 2 ? ?

,求 m 的取值范围;

? ax ? 2 ? 0 的两根都小于 ?1 ,求 a 的取值范围

5、已知函数

f ( x) ? x2 ? (a2 ?1) x ? a ? 2 的一个零点比 1 大,一个零点比 1 小,求实数 a 的取值范围


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