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2016-2017学年河北省衡水中学高三(上)第三次调研数学试卷(文科)


2016-2017 学年河北省衡水中学高三(上)第三次调研数学试卷(文科)
一、选择题: 2 1. (5 分)已知集合 A={x|x ﹣3x+2=0},B={x|logx4=2},则 A∪B=( A.{﹣2,1,2} B.{1,2} C.{﹣2,2} D.{2} 2. (5 分)若复数 z 满足 A. B. C. D. ,则 z 的共轭复数的虚部是(





3. (5 分)下列结论正确的是( ) A.若直线 l∥平面 α,直线 l∥平面 β,则 α∥β. B.若直线 l⊥平面 α,直线 l⊥平面 β,则 α∥β. C.若直线 l1,l2 与平面 α 所成的角相等,则 l1∥l2 D.若直线 l 上两个不同的点 A,B 到平面 α 的距离相等,则 l∥α 4. (5 分)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a2a5=2a3,且 a4 与 2a7 的等差中项为 ,则 S5=( A.29 B.31 C.33 D.36 5. (5 分)若正实数 x,y 满足 3x+y=5xy,则 4x+3y 取得最小值时 y 的值为( A.1 B.3 C .4 D.5 )



6. (5 分)若 x,y 满足

且 z=2x+y 的最大值为 6,则 k 的值为(



A.﹣1 B.1 C.﹣7 D.7 7. (5 分)阅读如图所示的程序框图,则该算法的功能是(



A.计算数列{2 }前 5 项的和 B.计算数列{2 ﹣1}前 5 项的和 n﹣1 n C.计算数列{2 }前 6 项的和 D.计算数列{2 ﹣1}前 6 项的和 8. (5 分)△ABC 中,“角 A,B,C 成等差数列”是“sinC=( cosA+sinA)cosB”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

n﹣1

n



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9. (5 分)已知 a>b,二次三项式 ax +2x+b≥0 对于一切实数 x 恒成立,又? x0∈R,使 ax0 +2x0+b=0 成 立,则 A.1 B. 的最小值为( C .2 D.2 = , )

2

2

10. (5 分)已知等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,若对于任意的自然数 n,都有



+

=(



A.

B.

C.

D.
2

11. (5 分)已知函数 g(x)=a﹣x ( ≤x≤e,e 为自然对数的底数)与 h(x)=2lnx 的图象上存在关于 x 轴对称的点,则实数 a 的取值范围是( A.[1, +2] B.[1,e ﹣2]
2

) +2,e ﹣2]
2

C .[

D.[e ﹣2,+∞) =x +y (x,y∈R) ,且点 P 落

2

12. (5 分)如图,在△OMN 中,A,B 分别是 OM,ON 的中点,若 在四边形 ABNM 内(含边界) ,则 的取值范围是( )

A.[ , ] B.[ , ] C.[ , ] D.[ , ]

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13. (5 分)若实数 a,b∈(0,1) ,且满足(1﹣a)b> ,则 a,b 的大小关系是 14. (5 分)若 tanα+ = ,α∈( , ) ,则 sin(2α+ )+2cos .
2

. .

cos α 的值为

15. (5 分)一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是

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16. (5 分)已知函数 f(x)= 根,则实数 b 的取值范围是 .

,若关于 x 的方程 f (x)﹣bf(x)+1=0 有 8 个不同

2

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (12 分)设 Sn 为各项不相等的等差数列{an}的前 n 项和,已知 a3a5=3a7,S3=9. (1)求数列{an}通项公式; (2)设 Tn 为数列{ }的前 n 项和,求 的最大值.

18. (12 分)已知向量 =(

sin ,1) , =(cos ,cos )的值;

2

) ,记 f(x)= ? .

(Ⅰ)若 f(x)=1,求 cos(x+

(Ⅱ)在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足(2a﹣c)cosB=bcosC,求 f(2A) 的取值范围.

19. (12 分)如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD=DC=CB=a,∠ABC=60°,平面 ACFE⊥平面 ABCD, 四边形 ACFE 是矩形,AE=a,点 M 在线段 EF 上. (Ⅰ)求证:BC⊥平面 ACFE; (Ⅱ)当 EM 为何值时,AM∥平面 BDF?证明你的结论.

20. (12 分)已知函数 f(x)=x+ae (a∈R) . (1)讨论函数 f(x)的单调性; 2 (2)当 x<0,a≤1 时,证明:x +(a+1)x>f'(x) .

π

21. (12 分)已知函数 f(x)=(2﹣a) (x﹣1)﹣2lnx(a∈R) . (1)若曲线 g(x)=f(x)+x 上点(1,g(1) )处的切线过点(0,2) ,求函数 g(x)的单调减区间; (2)若函数 y=f(x)在 上无零点,求 a 的最小值.

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请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修 4-1:几何证明选讲] 22. (10 分)已知四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形,且 BC=CD,其对角线 AC 与 BD 相交于点 M.过 点 B 作⊙O 的切线交 DC 的延长线于点 P. (1)求证:AB?MD=AD?BM; (2)若 CP?MD=CB?BM,求证:AB=BC.

[选修 4-4:坐标系与参数方程]

23.已知直线 l 的参数方程为
2 2

(t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐
2 2

标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ cos θ+3ρ sin θ=12,且曲线 C 的左焦点 F 在直线 l 上. (Ⅰ)若直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点.求|FA|?|FB|的值; (Ⅱ)设曲线 C 的内接矩形的周长为 P,求 P 的最大值. [选修 4-5:不等式选讲] 24.已知? x0∈R 使得关于 x 的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t 成立. (Ⅰ)求满足条件的实数 t 集合 T; (Ⅱ)若 m>1,n>1,且对于? t∈T,不等式 log3m?log3n≥t 恒成立,试求 m+n 的最小值.

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2016-2017 学年河北省衡水中学高三(上)第三次调研数学试卷(文科) 参考答案与试题解析
一、选择题: 2 1. (5 分) (2016?江门模拟)已知集合 A={x|x ﹣3x+2=0},B={x|logx4=2},则 A∪B=( A.{﹣2,1,2} B.{1,2} C.{﹣2,2} D.{2}
2



解:∵A={x|x ﹣3x+2=0}={x|(x﹣1) (x﹣2)=0}={1,2},B={x|logx4=2}={2}∴A∪B={1,2}故选 B. 2. (5 分)若复数 z 满足 A. 解:满足 ∴ = B. C. D. (﹣i) ,∴z= .故选:C. , ,则 z 的共轭复数的虚部是( )

,∴﹣i? i.则 z 的共轭复数的虚部是

3. (5 分) (2015?安徽一模)下列结论正确的是( ) A.若直线 l∥平面 α,直线 l∥平面 β,则 α∥β.B.若直线 l⊥平面 α,直线 l⊥平面 β,则 α∥β. C.若直线 l1,l2 与平面 α 所成的角相等,则 l1∥l2 D.若直线 l 上两个不同的点 A,B 到平面 α 的距离相等,则 l∥α 解:A 选项中,两个平面可以相交,l 与交线平行即可,故不正确; B 选项中,垂直于同一平面的两个平面平行,正确; C 选项中,直线与直线相交、平行、异面都有可能,故不正确;D 中选项也可能相交.故选:B. 4. (5 分)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a2a5=2a3,且 a4 与 2a7 的等差中项为 ,则 S5=( A.29 B.31 C.33 D.36 =a1?a4,∴a4=2. )

解:∵数列{an}是等比数列,a2?a3=2a1=a1q?

∵a4 与 2a7 的等差中项为 ,∴a4 +2a7 = ,故有 a7 = .
3

∴q =

= ,∴q= ,∴a1=

=16.

∴S5=

=31.故选:B.

5. (5 分) (2016?玉溪三模)若正实数 x,y 满足 3x+y=5xy,则 4x+3y 取得最小值时 y 的值为( A.1 B.3 C .4 D.5 解:∵x,y 为正数,且 3x+y=5xy;∴ ;
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=

=5, 当且仅当

, 即 y =4x ,

2

2

y=2x=1 时取“=”;即 4x+3y 取得最小值时 y 的值为 1.故选:A.

6. (5 分) (2016?山东校级一模)若 x,y 满足

且 z=2x+y 的最大值为 6,则 k 的值为(



A.﹣1 B.1 C.﹣7 D.7 解:画出满足条件的平面区域,如图示:

,由

,解得:A(k,k+3) ,由 z=2x+y 得:y=﹣2x+z,显

然直线 y=﹣2x+z 过 A(k,k+3)时,z 最大,故 2k+k+3=6,解得:k=1,故选:B. 7. (5 分) (2015?沈阳校级模拟)阅读如图所示的程序框图,则该算法的功能是( A.计算数列{2 }前 5 项的和 B.计算数列{2 ﹣1}前 5 项的和 n﹣1 n C.计算数列{2 }前 6 项的和 D.计算数列{2 ﹣1}前 6 项的和 解:由算法的流程知,第一次运行,A=2×0+1=1,i=1+1=2; 第二次运行,A=2×1+1=3,i=2+1=3;第三次运行,A=2×3+1=7,i=3+1=4; 第四次运行,A=2×7+1=15,i=5;第五次运行,A=2×15+1=31,i=6; 第六次运行,A=2×31+1=63,i=7;满足条件 i>6,终止运行,输出 A=63, ∴A=1+2+2 +…+2 =
2 5 n﹣1 n



=2 ﹣1=64﹣1=63.故选:C.

6

8. (5 分) (2015?衡阳二模) △ABC 中, “角 A, B, C 成等差数列”是“sinC= ( cosA+sinA) cosB”的 ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解:若 A,B,C 成等差数列,则 A+C=2B,∴B=60°, 若 ,则 sin(A+B)= , 即 sinAcosB+cosAsinB= ,∴cosAsinB= cosAcosB, 若 cosA=0 或 tanB= ,即 A=90°或 B=60°, ∴角 A,B,C 成等差数列是 成立的充分不必要条件.故选:A.
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9. (5 分)已知 a>b,二次三项式 ax +2x+b≥0 对于一切实数 x 恒成立,又? x0∈R,使 ax0 +2x0+b=0 成 立,则 的最小值为( )A.1 B.
2

2

2

C.2

D.2

解:∵已知 a>b,二次三项式 ax +2x+b≥0 对于一切实数 x 恒成立, ∴a>0,且△=4﹣4ab≤0,∴ab≥1. 再由? x0∈R,使 +2x0+b=0 成立,可得△=0,∴ab=1,∴a>1.



=

=

>0.



=

=

=

=





=t>2,则

=

=(t﹣2)+4+

≥4+4=8,



的最小值为 8,故

的最小值为

=2

,故选 D.

10. (5 分) (2016 秋?桃城区校级月考)已知等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,若对于任意的 自然数 n,都有 = ,则 + =( )A. B. C. D.

解:由等差数列性质可得

+

=

=

=

,故选 A.

11. (5 分) (2016?河南校级二模)已知函数 g(x)=a﹣x ( ≤x≤e,e 为自然对数的底数)与 h(x)=2lnx 的图象上存在关于 x 轴对称的点,则实数 a 的取值范围是( A.[1, +2] B.[1,e ﹣2]
2 2

2

) D.[e ﹣2,+∞) 上有解. ,
2

C .[

+2,e ﹣2]
2

2

解:由已知,得到方程 a﹣x =﹣2lnx?﹣a=2lnx﹣x 在 设 f(x)=2lnx﹣x ,求导得:f′(x)= ﹣2x= ∵ ≤x≤e,∴f′(x)=0 在 x=1 有唯一的极值点, ∵f( )=﹣2﹣
2

,f(e)=2﹣e ,f(x)极大值=f(1)=﹣1,且知 f(e)<f( ) ,

2

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故方程﹣a=2lnx﹣x 在 故选 B.

2

上有解等价于 2﹣e ≤﹣a≤﹣1.从而 a 的取值范围为[1,e ﹣2].

2

2

12. (5 分) (2015?益阳一模)如图,在△OMN 中,A,B 分别是 OM,ON 的中点,若 y∈R) ,且点 P 落在四边形 ABNM 内(含边界) ,则 的取值范围是( )

=x

+y

(x,

A.[ , ] 解:若 P 在线段 AB 上,设 ∴ 由于 = =x +y , (x,y∈R) ,则 x= =λ ,则有 ] = =λ ,则有

B.[ , ] C.[ , ] D.[ , ] = = ,

,y=

,故有 x+y=1, ,故 x=1,y=0 时,最小值为 ,当 x=0,y=1 时,

若 P 在线段 MN 上,设 最大值为 故范围为[

由于在△OMN 中,A,B 分别是 OM,ON 的中点, 则 =x +y = x + y (x,y∈R) ,

则 x= 故范围为[

, y= ]

,故有 x+y=2,当 x=2,y=0 时有最小值 ,当 x=0,y=2 时,有最大值

若 P 在阴影部分内(含边界) ,则



.故选:C.

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.若实数 a,b∈(0,1) ,且满足(1﹣a)b> ,则 a,b 的大小关系是 a<b . 解:∵a、b∈(0,1) ,且满足(1﹣a)b> ,∴ ∴ > ,∴a<b.故答案为:a<b. > ,又 ≥ ,

14.若 tanα+

=

,α∈(



) ,则 sin(2α+

)+2cos

cos α 的值为 0 .

2

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解:∵tanα+ 则 sin(2α+

= )+2cos

,α∈(
2



) ,∴tanα=3,或 tanα= +cos2αsin + ?

(舍去) ,

cos α=sin2αcos

=

sin2α+

cos2α+

=

?

+

?

+

=

?

+

?

+

=

?

+

?

+

=0,故答案为:0.

15. (5 分) (2016 秋?桃城区校级月考)一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是 2 .

解:由已知中的三视图可得:该几何体是一个三棱柱切去一个四棱锥所得的组合体, 棱柱的体积为: ×2×2×2=4,棱锥的体积为: × ×(1+2)×2×2=2, 故组合体的体积 V=4﹣2=2,故答案为:2 16.已知函数 f(x)= 数 b 的取值范围是 (2, ] . ,若关于 x 的方程 f (x)﹣bf(x)+1=0 有 8 个不同根,则实
2

解:作函数 f(x)的图象如右图,

∵关于 x 的函数 y=f (x)﹣bf(x)+1 有 8 个不同的零点, 2 ∴方程 x ﹣bx+1=0 有 2 个不同的正解,且在(0,4]上;
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2



,解得,2<b≤

;故答案为: (2,

].

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (12 分) (2016?高安市校级模拟) 设 Sn 为各项不相等的等差数列{an}的前 n 项和, 已知 a3a5=3a7, S3=9. (1)求数列{an}通项公式; (2)设 Tn 为数列{ }的前 n 项和,求 的最大值.

解: (1)设{an}的公差为 d, ∵a3a5=3a7,S3=9,∴ ,解得 (舍去)或 ,

∴an=2+(n﹣1)×1=n+1; (2)∵ ∴ = ∴ = = , , ,

当且仅当

,即 n=2 时“=”成立,即当 n=2 时,

取得最大值



18. (12 分) (2015?济宁一模)已知向量 =( (Ⅰ)若 f(x)=1,求 cos(x+ )的值;

sin ,1) , =(cos ,cos

2

) ,记 f(x)= ? .

(Ⅱ)在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足(2a﹣c)cosB=bcosC,求 f(2A) 的取值范围. 解: (Ⅰ)向量 =( = ? = sin ,1) , =(cos ,cos
2 2

) ,记 f(x) )+ , )=1﹣2sin (
2

sin cos +cos

=

sin + cos + =sin( )= ,所以 cos(x+

因为 f(x)=1,所以 sin(

)= ,

(Ⅱ)因为(2a﹣c)cosB=bcosC,由正弦定理得(2sinA﹣sinC)cosB=sinBcosC 所以 2sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC
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所以 2sinAcosB=sin(B+C)=sinA,sinA≠0, 所以 cosB= ,又 0<B< 则 A+C= 则 所以 <A< ,即 A= ,得 ,所以 B= ﹣C,又 0<C< <A+ < , ) ,所以 f(2A)的取值范围( ]. , ,

<sin(A+

)≤1,又 f(2A)=sin(A+

19. (12 分) (2015?东营二模)如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD=DC=CB=a,∠ABC=60°,平面 ACFE⊥平面 ABCD,四边形 ACFE 是矩形,AE=a,点 M 在线段 EF 上. (Ⅰ)求证:BC⊥平面 ACFE; (Ⅱ)当 EM 为何值时,AM∥平面 BDF?证明你的结论.

解: (Ⅰ)在梯形 ABCD 中,∵AD=DC=CB=a,∠ABC=60° ∴四边形 ABCD 是等腰梯形, 且∠DCA=∠DAC=30°,∠DCB=120 ∴∠ACB=90,∴AC⊥BC 又∵平面 ACF⊥平面 ABCD,交线为 AC,∴BC⊥平面 ACFE.

(Ⅱ)当 EM=

时,AM∥平面 BDF.

在梯形 ABCD 中,设 AC∩BD=N,连接 FN,则 CN:NA=1:2. ∵EM= 而 EF=AC= ,∴EM:FM=1:2.∴EM∥CN,EM=CN,

∴四边形 ANFM 是平行四边形.∴AM∥NF. 又 NF? 平面 BDF,AM?平面 BDF.∴AM∥平面 BDF. 20. (12 分) (2016 秋?桃城区校级月考)已知函数 f(x)=x+ae (a∈R) . (1)讨论函数 f(x)的单调性; 2 (2)当 x<0,a≤1 时,证明:x +(a+1)x>f'(x) . x x 解: (1)由 f(x)=x+ae 可得 f'(x)=1+ae . 当 a≥0 时,f'(x)>0,则函数 f(x)在(﹣∞,+∞)上为增函数, 当 a<0 时,f'(x)>0 可得 则函数 f(x)在
2 π

,由 f'(x)<0 可得 上为增函数,在

; 上为减函数…(4 分)

(2)证明:令 F(x)=x +(a+1)x﹣xf'(x) ,
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则 F(x)=x +(a+1)x﹣xf'(x)=x +ax﹣axe =x(x+a﹣ae ) , x x 令 H(x)=x+a﹣ae ,则 H'(x)=1﹣ae , x x x ∵x<0,∴0<e <1,又 a≤1,∴1﹣ae ≥1﹣e >0, x ∴H(x)在(﹣∞,0)上为增函数,则 H(x)<H(0)=0,即 x+a﹣ae <0, x 2 由 x<0 可得 F(x)=x(x+a﹣ae )>0,所以 x +(a+1)x>xf'(x)…(12 分) 21. (12 分) (2016 秋?桃城区校级月考)已知函数 f(x)=(2﹣a) (x﹣1)﹣2lnx(a∈R) . (1)若曲线 g(x)=f(x)+x 上点(1,g(1) )处的切线过点(0,2) ,求函数 g(x)的单调减区间; (2)若函数 y=f(x)在 上无零点,求 a 的最小值.

2

2

x

x

解: (1)∵g(x)=(3﹣a)x﹣(2﹣a)﹣2lnx, ∴g′(x)=3﹣a﹣ ,∴g′(1)=1﹣a, 又 g(1)=1,∴1﹣a= 由 g′(x)=3﹣2﹣ = =﹣1,解得:a=2, <0,解得:0<x<2,

∴函数 g(x)在(0,2)递减; (2)∵f(x)<0 在(0, )恒成立不可能, 故要使 f(x)在(0, )无零点,只需任意 x∈(0, ) ,f(x)>0 恒成立, 即对 x∈(0, ) ,a>2﹣ 恒成立,

令 l(x)=2﹣

,x∈(0, ) ,则 l′(x)=



再令 m(x)=2lnx+ ﹣2,x∈(0, ) ,则 m′(x)=

<0,

故 m(x)在(0, )递减,于是 m(x)>m( )=2﹣2ln2>0, 从而 f′(x)>0,于是 l(x)在(0, )递增, ∴l(x)<l( )=2﹣4ln2, 故要使 a>2﹣ 恒成立,只要 a∈[2﹣4ln2,+∞) , 上无零点,则 a 的最小值是 2﹣4ln2.

综上,若函数 y=f(x)在

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修 4-1:几何证明选讲] 22. (10 分) (2016?商丘三模)已知四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形,且 BC=CD,其对角线 AC 与 BD 相交于点 M.过点 B 作⊙O 的切线交 DC 的延长线于点 P. (1)求证:AB?MD=AD?BM;
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(2)若 CP?MD=CB?BM,求证:AB=BC.

证明: (1)由 BC=CD 可知,∠BAC=∠DAC, 由角分线定理可知, = ,即 AB?MD=AD?BM 得证.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分)

(2)由 CP?MD=CB?BM, 可知 = ,又因为 BC=CD,所以 =

所以 PB∥AC.所以∠PBC=∠BCA 又因为∠PBC=∠BAC 所以∠BAC=∠BCA 所以 AB=BC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10 分) [选修 4-4:坐标系与参数方程]

23. (2016?沈阳二模)已知直线 l 的参数方程为
2 2

(t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的正半
2 2

轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ cos θ+3ρ sin θ=12,且曲线 C 的左焦点 F 在直线 l 上. (Ⅰ)若直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点.求|FA|?|FB|的值; (Ⅱ)设曲线 C 的内接矩形的周长为 P,求 P 的最大值. 解: (I)曲线 C 的直角坐标方程为 x +3y =12,即 ∴曲线 C 的左焦点 F 的坐标为 F(﹣2 ,0) .
2 2



∵F(﹣2

,0)在直线 l 上,∴直线 l 的参数方程为
2 2 2

(t 为参数) .

将直线 l 的参数方程代入 x +3y =12 得:t ﹣2t﹣2=0, ∴|FA|?|FB|=|t1t2|=2. (II)设曲线 C 的内接矩形的第一象限内的顶点为 M(x,y) (0 则 x +3y =12,∴x= ∴P=4x+4y=4 令 f(y)=4 +4y. +4y,则 f′(y)= .
2 2

,0<y<2) ,



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令 f′(y)=0 得 y=1, 当 0<y<1 时,f′(y)>0,当 1<y<2 时,f′(y)<0. ∴当 y=1 时,f(y)取得最大值 16. ∴P 的最大值为 16. [选修 4-5:不等式选讲] 24. (2016?宁城县模拟)已知? x0∈R 使得关于 x 的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t 成立. (Ⅰ)求满足条件的实数 t 集合 T; (Ⅱ)若 m>1,n>1,且对于? t∈T,不等式 log3m?log3n≥t 恒成立,试求 m+n 的最小值. 解: (I)令 f(x)=|x﹣1|﹣|x﹣2|≥|x﹣1﹣x+2|=1≥t,∴T=(﹣∞,1]; (Ⅱ)由(I)知,对于? t∈T,不等式 只需 ? ≥tmax,所以 ? ? ≥t 恒成立, >0 , >0,

≥1,又因为 m>1,n>1,所以

又 1≤ 所以

?

≤ ≥4,所以

=



=

时取“=”) , ≥6,即 m+n 的最小值为 6(此时 m=n=3) .

≥2,mn≥9,所以 m+n≥2

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