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2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识):8.7 双 曲 线


课时跟踪检测(五十五) 双 曲 线

1.(2012· 唐山模拟)已知双曲线的虚轴长是实轴长的 3倍,焦点坐标为(-4,0),(4,0), 则双曲线方程为( x2 y2 A. - =1 4 12 x2 y2 C. - =1 24 8 ) x2 y2 B. - =1 2 4 x2 y2 D. - =1 8 24 )

2.“ab<0”是“方程 ax2+by2=c 表示双曲线”的( A.必要但不充分条件 C.充分必要条件
2

B.充分但不必要条件 D.既不充分也不必要条件

x y2 3.(2012· 哈尔滨模拟)已知 P 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)上的点,F1,F2 是其焦点, a b

???? ???? 5 PF 双曲线的离心率是 ,且 PF1 ,· 2 ,=0,若△PF1F2 的面积为 9,则 a+b 的值为( 4
A.5 C.7 B.6 D.8

)

4.(2012· 浙江模拟)平面内有一固定线段 AB,|AB|=4,动点 P 满足|PA|-|PB|=3,O 为 AB 中点,则|OP|的最小值为( A.3 3 C. 2 ) B.2 D.1

5.(2012· 浙江高考)如图,中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共 焦点,M,N 是双曲线的两顶点.若 M,O,N 将椭圆长轴四等分,则 双曲线与椭圆的离心率的比值是( A.3 C. 3
2 2

) B.2 D. 2

x y 6.(2012· 福建高考)已知双曲线 2- =1 的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于 a 5 ( ) 3 14 A. 14 3 C. 2 3 2 B. 4 4 D. 3

7.(2012· 西城模拟)若双曲线 x2-ky2=1 的一个焦点是(3,0),则实数 k=________. x2 y2 8.设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的半焦距为 c.已知原点到直线 l:bx+ay=ab 的距离 a b

1 等于 c+1,则 c 的最小值为________. 4 x2 y2 a2 9.(2012· 济南模拟)过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点 F 作圆 x2+y2= 的切线, a b 4 切点为 E, 延长 FE 交双曲线右支于点 P, E 为 PF 的中点, 若 则双曲线的离心率为________. x2 y2 10.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,点 P 在双曲线的 a b 右支上,且|PF1|=4|PF2|,求双曲线的离心率的取值范围.

11.(2012· 宿州模拟)已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2 在坐标轴上,离心率为 2, 且过点(4,- 10).点 M(3,m)在双曲线上. (1)求双曲线方程;

MF (2)求证: MF1 · 2 =0.

????? ?????

12.(2012· 广东名校质检)已知双曲线的方程是 16x2-9y2=144. (1)求双曲线的焦点坐标、离心率; (2)设 F1 和 F2 是双曲线的左、右焦点,点 P 在双曲线上,且|PF1|· 2|=32,求∠F1PF2 |PF 的大小.

1.(2012· 长春模拟)设 e1、e2 分别为具有公共焦点 F1、F2 的椭圆和双曲线的离心率,P 是两曲线的一个公共点,且满足| PF1 ,+ PF2 ,|=| F1 F2 ,|,则 A. 2 2 B.2 D.1

????

????

?????

e1e2 的值为( e2+e2 1 2

)

C. 2

x2 y2 2.已知双曲线 2- 2=1(a>1,b>0)的焦距为 2c,直线 l 过点(a,0)和(0,b),点(1,0) a b 4 到直线 l 的距离与点(-1,0)到直线 l 的距离之和 s≥ c,则双曲线的离心率 e 的取值范围为 5 ________. x2 y2 3.设 A,B 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左, 右顶点, 双曲线的实轴长为 4 3, a b b 焦点到直线 l:y= x 的距离为 a (1)求双曲线的方程; (2)已知直线 y= 3 x-2 与双曲线的右支交于 M、N 两点,且在双曲线的右支上存在点 3 3.

D,使 OM ,+ ON ,=t OD ,,求 t 的值及点 D 的坐标.

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课时跟踪检测(五十五) A级 x2 y2 1.选 A 由题意可设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0), a b

?b= 3, ?b= 3, ?a ? 由已知条件可得? 即?a ? ? ?c=4, ?a2+b2=42,
?a2=4, ? x2 y2 解得? 2 故双曲线方程为 - =1. 4 12 ? ?b =12,

2.选 A 若 ax2+by2=c 表示双曲线, x2 y2 c2 即 + =1 表示双曲线,则 <0,这就是说“ab<0”是必要条件,然而若 ab<0,c 可以 c c ab a b 等于 0,即“ab<0”不是充分条件.

PF 3. C 由 PF1 ,· 2 ,=0 得 PF1 ,⊥ PF2 ,,设| PF1 ,|=m,| PF2 ,|=n,不妨设 m>n, 选
? ?a=4, 1 c 5 则 m2+n2=4c2,m-n=2a, mn=9, = ,解得? ∴b=3,∴a+b=7. 2 a 4 ? ?c=5,

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4.选 C 依题意得,动点 P 位于以点 A,B 为焦点、实轴长为 3 的双曲线的含焦点 B 的一支上,结合图形可知,该曲线上与点 O 距离最近的点是该双曲线的一个顶点,因此|OP| 3 的最小值等于 . 2 c 5.选 B 设焦点为 F(± c,0),双曲线的实半轴长为 a,则双曲线的离心率 e1= ,椭圆的 a

c e1 离心率 e2= ,所以 =2. 2a e2 c 3 6.选 C 由题意知 c=3,故 a2+5=9,解得 a=2,故该双曲线的离心率 e= = . a 2 7.解析:∵双曲线 x2-ky2=1 的一个焦点是(3,0), 1 1 ∴1+ =32=9,可得 k= . k 8 1 答案: 8 8.解析:根据已知,得 a2+b2 c2 ab 1 1 c = c+1,又 ab≤ = ,故得 c+1≤ , 2 2 4 2 2 4 2 a +b

解得 c≥4,即 c 的最小值为 4. 答案:4 9.解析:设双曲线的右焦点为 F′.由于 E 为 PF 的中点,坐标原点 O 为 FF′的中点, a 所以 EO∥PF′,又 EO⊥PF,所以 PF′⊥PF,且|PF′|=2× =a,故|PF|=3a,根据勾股 2 定理得|FF′|= 10a.所以双曲线的离心率为 答案: 10 2 10a 10 = . 2a 2

10.解:由定义,知|PF1|-|PF2|=2a. 8 又|PF1|=4|PF2|,所以|PF1|= a, 3 2 |PF2|= a. 3 8a 2a 10 5 当 P 为双曲线的右顶点时, 2c= + = a, .当 P 不是双曲线的顶点时, e= 在△PF1F2 3 3 3 3 中,由余弦定理,得 64 2 4 2 a + a -4c2 9 9 17 9 cos∠F1PF2= = - e2, 8 2 8 8 2·a·a 3 3 ∵∠F1PF2∈(0,π),cos ∠F1PF2∈(-1,1) 17 9 ∴-1< - e2<1, 8 8 25 5 解得 1<e2< ,1<e< . 9 3 5 综上所述双曲线的离心率的取值范围为?1,3?. ? ? 11.解:(1)∵e= 2,∴可设双曲线方程为 x2-y2=λ(λ≠0). ∵过点(4,- 10),∴16-10=λ,

即 λ=6. x2 y2 ∴双曲线方程为 - =1. 6 6 (2)证明:由(1)可知,双曲线中 a=b= 6,∴c=2 3, ∴F1(-2 3,0),F2(2 3,0), m m ∴kMF1= ,kMF2= , 3+2 3 3-2 3 m2 m2 kMF1· 2= kMF =- . 3 9-12 ∵点(3,m)在双曲线上, ∴9-m2=6,m2=3, 故 kMF1· 2=-1,∴MF1⊥MF2. kMF

MF ∴ MF1 · 2 =0.
12.解:(1)由 16x2-9y2=144 得 x2 y2 - =1, 9 16 所以 a=3,b=4,c=5, 5 所以焦点坐标 F1(-5,0),F2(5,0),离心率 e= . 3 (2)由双曲线的定义可知||PF1|-|PF2||=6, |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 cos ∠F1PF2= 2|PF1||PF2| ?|PF1|-|PF2|?2+2|PF1||PF2|-|F1F2|2 = 2|PF1||PF2| = 36+64-100 =0, 64

????? ?????

则∠F1PF2=90° . B级

1.选 A 依题意,设|PF1|=m,|PF2|=n,|F1F2|=2c,不妨设 m>n.则由| PF1 + PF2 | =| F1 F2 |得| PF1 + PF2 ,|=| PF2 - PF1 |=| PF1 - PF2 |,即| PF1 + PF2 |2 =| PF1 -

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???? ???? ???? PF2 |2,所以 PF1 · 2 =0, PF
所以 m2+n2=4c2.又 e1= 所以 e1e2 2= e2+e2 1
2 2 2c 2c 1 1 2?m +n ? ,e2= ,所以 2+ 2= =2, 2 e1 e2 4c m+n m-n

1 2 = . 2 1 1 + 2 e2 e1 2

x y 2.解析:由题意知直线 l 的方程为 + =1,即 bx+ay-ab=0.由点到直线的距离公式 a b 得,点(1,0)到直线 l 的距离 d1= =d1+d2= b?a-1? a +b
2 2,同理得,点(-1,0)到直线

l 的距离 d2=

b?a+1? a2+b2

,s

2ab 2ab 4 2ab 4 2 2= c .由 s≥5c,得 c ≥5c, a +b

即 5a c2-a2≥2c2. 5 所以 5 e2-1≥2e2,即 4e4-25e2+25≤0,解得 ≤e2≤5. 4 由于 e>1,所以 e 的取值范围为? 答案:? 5 ? ? 2, 5 ? 5 ?. ? 2, 5 ?

3.解:(1)由题意知 a=2 3, b 故 l 的方程为 y= x, 2 3 即 bx-2 3y=0,则 |bc| = 3, b2+12 x2 y2 - =1. 12 3

得 b2=3,故双曲线的方程为

(2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0), 则 x1+x2=tx0,y1+y2=ty0, 将直线方程代入双曲线方程得 x2-16 3x+84=0, 则 x1+x2=16 3,y1+y2=12,

?x =4 3 3, y 则? x y ?12- 3 =1,
0 0 2 0 2 0

?x0=4 3, 得? ?y0=3,

故 t=4,点 D 的坐标为(4 3,3).


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