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1.3.1 二项式定理


1.3.1 二项式定理

2018年3月5日星期W

问题:
(1)今天是星期一,那么7天后的这 (星期一) 一天是星期几呢? (2)如果是15天后的这一天呢?
(星期二)

(3)如果是 8

100

天后的这一天呢?

回顾:
(a ? b) ? a ? 2ab ? b 3 (a ? b) ? (a ? b)(a ? b)(a ? b) 2 2 ? (a ? b)(a ? ab ? ba ? b ) 3 2 2 3 ? a ? 3a b ? 3ab ? b
2
2 2

(a ? b) ? ?
4 n

(a ? b) ? ?

尝试二项式定理的发现 :

(a ? b) ? a ? b
1

(a ? b) ? a ? 2ab ? b
2 2

2

(a ? b) ? a ? 3a b ? 3ab ? b 4 4 3 3 2 2 4 (a ? b) ? a a b a b ab b n n -1 n-2 2 n n n -1 (a ? b) ? a a b a b ? ab b
3 3 2 2 3

尝试二项式定理的发现 :

(a ? b) ?(a ? b)(a? b)(a? b)
3

? C a ? C a b ? C ab ? C b
0 3 3 1 2 3 2 3 2

3 3 3

a

3

ab

2

ab

2

b

3

C

0 3

C

1 3

C

2 3

C

3 3

尝试二项式定理的发现 :
4

(a ? b) ?(a ? b)(a? b)(a? b) (a ? b)
? C a ? C a b ? C a b ? C ab ? C b
0 4 4 1 3 4 2 2 2 4 3 4 3 4 4 4

a

4

ab
C
1 4

3

ab
C
2 4

2 2

ab

3

b
C

4

4 4

归纳提高

将(a+b)n展开的结果又是怎样呢?
发现规律: 对于(a+b)n=

(a ? b)( a ? b) ? (a ? b) ???? ? ???? ? ?
n个

的展开式中an-rbr的系数是在n个括号中,恰有r个 r 括号中取b(其余括号中取a)的组合数 C n .那么, 我们能不能写出(a+b)n的展开式? 引出定理,总结特征
n
0 n n 1 n ?1 n r n?r r n n n n

(a ? b) ? C a ? C a b ? ? ? ? ? C a b ? ? ? ? ? C b
(n ? N ? )

二项式定理
0 n n ?1 r n ?r r n n (a ? b)n ? Cn a ? C1 a b ? ? ? ? ? C a b ? ? ? ? C n n nb

(n ? N ? )
这个公式表示的定理叫做二项式定理,公式 展开式 右边的多项式叫做 (a+b) n的 , r 其中 Cn(r=0,1,2,……,n)叫做 二项式系数 , r n?r r Cn a b 叫做二项展开式的通项,用 Tr+1 表示,该项是指展开式的第 r+1 项,展开式共有 n+1 个项. _____

二项式定理

(a ? b) ? C a ? C a b ? ? ? ? ? C a b ? ? ? ?C b
n 0 n n

1 n ?1 n

r n ?r r n

n n n

(n ? N )
1.项数规律:

?

展开式共有n+1个项
2.系数规律:

C 、C 、C 、 ? ? ?、C
0 n 1 n 2 n

n n

2.指数规律: (1)各项的次数均为n;即为n次齐次式 (2)a的次数由n逐次降到0, b的次数由0逐次升到n.

对定理的再认识
特别地:
1、把b用-b代替

(a-b)n=

0 n 1an-1b+ Cna -Cn



r n-r r r +(-1) Cna b

+…
2、令a=1,b=x
n 1 n

n n n +(-1) Cnb
2 2 n r r n n n n

(1 ? x) ? 1 ? C x ? C x ? ? ? ? ? C x ? ? ? ?C x

尝试二项式定理的应用:

例 1 : 展开(1 ? 2x)5
(1 ? 2x) ? C (2x) ? C (2x) ? C (2x)
5 0 5 0 1 5 1 2 5 2

? C (2x) ? C (2x) ? C (2x)
3 5 3 4 5 4 5 5 5

? 1 ? 10x ? 40x ? 80x ? 80x ? 32x

2

3

4

5

尝试二项式定理的应用: 思 考 : 若展开(1 ? 2x)呢 ?
5

(1 ? 2x) ? C (?2x) ? C ( - 2 x ) ? C (?2x)
5 0 5 0 1 5 1 2 5
3 5 3 4 5 4 5 5
2 3 4

2
5

? C (?2 x )? C (?2 x ) ? C (?2 x )
? 1-10x ? 40x - 80x ? 80x ? 32x
5 2 3 4

5
5

(1 ? 2x) ? 1 ? 10x ? 40x ? 80x ? 80x ? 32x

尝试二项式定理的应用:
练习:

( 1) ( .1 ? 2x) 展开式第3 项是
5

T2?1 ? C( ? 2 x ) ? 4 0 x
2 5 2

2

(2) .第3项的二项式系 是 数 10

(a ? b) ? C a ? C a b ? ? ? ? ? C a b ? ? ? ?C b
n 0 n n

1 n ?1 n

r n ?r r n

n n n

例2.

用二项式定理展开下列各式:

(1)

1 4 1 1 2 1 3 1 4 解:(1)(1 ? x ) ? 1 ? 4( x ) ? 6( x ) ? 4( x ) ? ( x ) 4 6 4 1 ? 1? ? 2 ? 3 ? 4 . x x x x 1 6 2x ?1 6 1 (2) (2 x ? ) ?( ) ? 3 (2 x ? 1) 6 x x x ? 64x 3 ? 192x 2 ? 240x ? 160

1 4 (1 ? ) x

(2)

1 6 (2 x ? ) x

60 12 1 ? ? 2 ? 3. x x x

二项式定理的应用:
例3、求(x+a)12的展开式中的倒数第4项
解:
12

( x ? a) 的展开式有13项, 倒数第4项是它的第10项.

T9?1 ? C x

9 12?9 9 12

a ? 220x a .
3 9

课堂练习

1.求(2x ? 3 y) 的展开式的第三项
6

T3 ? T2?1 ? C ?2 x ?
2 6
6

6? 2

?3 y ?

2

? 2160 x y
4

2

求( 3 y ? 2x) 的展开式的第三项

T3 ? T2?1 ? C ?3 y ?
2 6

6? 2

?2x?

2

? 4860 y x

4 2

2.求 x ? 2 x 的展开式的第4项的二 项式系数,并求第4项的系数.
3

?

?

7

王新敞
奎屯

新疆

解:展开式的第4项的二项式系数 C3 7 3 3 第4项的系数 7

C 2 ? 280

? 35

问 题 探 究 :
今天是星期一,那么 的这一天是星期几?

8

100

天后

8

100

? (7 ? 1)
?C 7
0 100 100

100

? C 7 ??? C 7
1 99 100
99 1 100 100 100 99 100

r 100 ?r 100

??? C 7 ? C
0 99 100

?( 7 C 7 ? ? ? C )? 1
余数是1,所以这一天是星期二

小结: n 0 n 1 n?1 2 n? ?2 2 (a ? b) ? Cn a ? Cna b ? Cn a b ? ?

?C n a
r

n? r

b ? ?? ? C n b n
r

n

(n ? N ? )

(a ? b) 的展开式通项 T r ?1 ? C n a n? r b r的特点:
n

r

①项数:共n+1项,是关于a与b的齐次多项式 ②指数:a的指数从n逐项递减到0,是降幂排列; b的指数从0逐项递增到n,是升幂排列。
1)注意二项式定理 中二项展开式的特征 2)区别二项式系数,项的系数 3)掌握用通项公式求二项式系数,项的系数及项


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