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【数学】2.3.4《平面与平面垂直的性质》课件(人教A版必修2)1_图文

提出问题:
1、平面与平面垂直的定义

两个平面相交,如果它们所成的二面角是 直二面角,就说这两个平面互相垂直。
2、平面与平面垂直的判定定理

一个平面过另一个平面的垂 线,则这两个平面垂直。
符号表示:

该命题正确吗?
?

?

b

b ? ?? ? ? ? ? ? b ???

平面与平面垂直的性质定理
Ⅰ. 观察实验 两个平面垂直,则一个平面 观察两垂直平面中,一个平面内 内垂直于交线的直线与另一 的直线与另一个平面的有哪些 个平面垂直. 位置关系?
符号表示:
?

?
b

l

Ⅱ.概括结论

? ? ?? ?l ? b?l ?

? ? ?? ? ? ? ? ?b ? ? 该命题正确吗? ? ? b b ? ? ?? 简述为: b??
面面垂直 线面垂直

Ⅲ.知识应用

练习1:判断正误。
已知平面α⊥平面β,α∩

β=l下列命题

(1)平面α内的任意一条直线必垂直于平面β ( ×)

(2)垂直于交线l的直线必垂直于平面β ( ×)
(3)过平面α内任意一点作交线的垂线,则此 垂线必垂直于平面β( )



例1:如图,AB是⊙O的直径,C是圆周上不同 于A,B的任意一点,平面PAC⊥平面ABC, (1)判断BC与平面PAC的位置关系,并证明。 (2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系。
(1)证明:∵ AB是⊙O的直径, P C是圆周上不同于A,B的任 意一点 ∴∠ACB=90°∴BC⊥AC C 又∵平面PAC⊥平面ABC, 平面PAC∩平面ABC=AC, A BC?平面ABC O ∴BC⊥平面PAC (2)又∵ BC ?平面PBC ,∴平面PBC⊥平面PAC

B

解题反思
1、面面垂直的性质定理给我们提供了一 种证明线面垂直的方法 2、本题充分地体现了面面垂直与 线面 垂直之间的相互转化关系。

面面垂直

性质定理 判定定理

线面垂直

例 垂直于同一平面的两平面的交线垂直于这个平面。 已知:α⊥γ,β ⊥γ,α ∩ β= а,求证: a⊥γ. 证法一:

线线垂直

设α ∩ γ =b, β ∩ γ =c,在γ 内任取一点P, 作PM ⊥ b于M,PN ⊥C于N. 因为 α⊥γ,β ⊥γ , α a 所以 PM ⊥ α, PN ⊥ β. β 因为 α ∩ β= a, M b cN 所以 PM ⊥ a, PN ⊥ a, γ P 所以 a⊥γ.

线面垂直

已知:α⊥γ,β ⊥γ,α ∩ β= а,求证: a⊥γ. 证法二:

任取P∈a,过点P作b⊥γ. 因为α ⊥γ, 所以b α, 因为β ⊥γ, α 因此b β, 故α ∩ β= b. 由已知 α∩ β= a, γ 所以a与 b重合, 所以a ⊥γ.

同一法
a P β b

已知:α⊥γ,β ⊥γ,α ∩ β= а,求证: a⊥γ. 证法三:

设α⊥γ于b,β ⊥γ于c. 在α内作 b′ ⊥ b, 所以 b′ ⊥ γ. 同理在β内作c′ ⊥ c,有c ′ ⊥ γ, 所以 b′ ‖c′, 又b′ β, c′ β, 所以 b′ ‖ β. 又 b′ α, α ∩ β=a, 所以 b′ ‖ a, γ 故 a ⊥ γ.

线线平行

线面垂直
α b′ b a

β c′
c

练习2:如图,已知PA⊥平面ABC, 平面PAB⊥平面PBC,求证:BC⊥平面PAB
证明:过点A作AE⊥PB,垂足 P 为E, ∵平面PAB⊥平面PBC, 平面PAB∩平面PBC=PB, A ∴AE⊥平面PBC ∵BC ? 平面PBC ∴AE⊥BC ∵PA⊥平面ABC,BC ? 平面ABC ∴PA⊥BC ∵PA∩AE=A,∴BC⊥平面PAB B

C

练习3:如图,以正方形ABCD的对角线AC为折 痕,使△ADC和△ABC折成相垂直的两个面, 求BD与平面ABC所成的角。
D

D

折成
A

O

C A O B C

B

1、平面与平面垂直的性质定理:两个平面 垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另 一个平面垂直。 2、证明线面垂直的两种方法: 线线垂直→线面垂直;面面垂直→线面垂直 3、线线、线面、面面之间的关系的转化是解 决空间图形问题的重要思想方法。

小结
A
α a B β

线线垂直

线面垂直

面面垂直

线线平行

面面平行

平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的 直线与另一个平面垂直. 符号表示:

? ?? ? ?? ?l b ?? b?l
简述为:

?

b

l

? b??

?

面面垂直

线面垂直

练习:
1、下列命题中错误的是( B ) A 如果平面 α ⊥平面 β ,那么平面 直线平行于平面 β B如果平面 α ⊥平面 β ,那么平面 线都垂直于平面 β

α 内一定存在 α 内所有直 α 内一

C如果平面 α 不垂直于平面 β ,则平面 定不存在直线垂直于平面 β

D如果平面 α 、β 都垂直于平面M,且 α 与 β 交于直线 a,则 a ⊥平面M

2、已知两个平面垂直,下列命题中正确的有(B )个 ①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意 直线;

②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无 数条直线;
③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面; ④过一个平面内的任意一点做交线的垂线,则此垂线 必垂直于另一个平面。

A 3

B

2

C 1

D

0


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