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江苏省2014年高考数学(文)二轮复习简易通真题感悟:常考问题4 导数的简单应用


常考问题 4
[真题感悟]

导数的简单应用

1. (2012· 南京、 盐城模拟)函数 f(x)=(x2+x+1)ex(x∈R)的单调减区间为________. 解析 f′(x)=(2x+1)ex+(x2+x+1)ex

=(x2+3x+2)ex<0, 解得-2<x<-1, 故函数 f(x)的减区间为(-2,-1). 答案 (-2,-1)(或闭区间)

2.(2013· 广东卷)若曲线 y=kx+ln x 在点(1,k)处的切线平行于 x 轴,则 k= ________. 解析 答案 1 ∵y′=k+ ,∴y′|x=1=k+1=0,∴k=-1. x -1

3.(2013· 江西卷 )设函数 f(x)在 (0 ,+∞)内可导,且 f(ex)= x+ ex,则 f′(1)= ________. 解析 设 ex=t,则 x=ln t(t>0),

1 ∴f(t)=ln t+t,∴f′(t)= t +1, ∴f′(1)=2. 答案 2

4. (2013· 新课标全国Ⅰ卷)若函数 f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线 x=-2 对称,则 f(x)的最大值是________. 解析 ?f?0?=f?-4?, 由题意知? ?f?-1?=f?-3?,

?b=-15×?16-4a+b?, 即? 解得 a=8,b=15, ?0=9-3a+b, 所以 f(x)=(1-x2)(x2+8x+15), 则 f′(x)=-4(x+2)(x2+4x-1). 令 f′(x)=0,得 x=-2 或 x=-2- 5或 x=-2+ 5, 当 x<-2- 5时,f′(x)>0;

1

当-2- 5<x<-2 时,f′(x)<0; 当-2<x<-2+ 5时,f′(x)>0; 当 x>-2+ 5时,f′(x)<0, 所以当 x=-2- 5时,f(x)极大值=16; 当 x=-2+ 5时,f(x)极大值=16,所以函数 f(x)的最大值为 16. 答案 16

[考题分析] 高考对本内容的考查主要有: (1)导数的几何意义是考查热点,要求是 B 级,理解导数的几何意义是曲线上 在某点处的切线的斜率,能够解决与曲线的切线有关的问题; (2)导数的运算是导数应用的基础,要求是 B 级,熟练掌握导数的四则运算法 则、常用导数公式及复合函数的导数运算,一般不单独设置试题,是解决导数应 用的第一步; (3)利用导数研究函数的单调性与极值是导数的核心内容,要求是 B 级,对应 用导数研究函数的单调性与极值要达到相等的高度.

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