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(课堂设计)2014-2015高中数学 2.3.1 平面向量基本定理学案 新人教A版必修4


§2.3

平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理
自主学习

知识梳理 1.平面向量基本定理 (1)定理:如果 e1,e2 是同一平面内的两个 __________向量,那么对于这一平面内的 ________向量 a,____________实数 λ 1,λ 2,使 a=________________. (2)基底:把__________的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内________向量的一组基底. 2. 两向量的夹角与垂直

→ → (1) 夹角:已知两个 ______________a 和 b ,作 OA = a , OB = b ,则 __________ = θ (0°≤θ ≤180°),叫做向量 a 与 b 的夹角. ①范围:向量 a 与 b 的夹角的范围是__________. ②当 θ =0°时,a 与 b________. ③当 θ =180°时,a 与 b________. (2)垂直:如果 a 与 b 的夹角是________,则称 a 与 b 垂直,记作________. 自主探究 设 e1、e2 是同一平面内两个不共线的向量,a 是这一平面内的任一向量.通过作图法可 以证明:一定存在一组实数(λ 1,λ 2)使 a=λ 1e1+λ 2e2 成立,并且(λ 1,λ 2)是唯一的,请 你根据图 1 和图 2 叙述这一过程.

对点讲练 知识点一 对基底概念的理解 例 1 如果 e1,e2 是平面 α 内两个不共线的向量,那么下列说法中不正确的是( ) ①λ e1+μ e2(λ 、μ ∈R)可以表示平面 α 内的所有向量; ②对于平面 α 内任一向量 a,使 a=λ e1+μ e2 的实数对(λ ,μ )有无穷多个; ③若向量 λ 1e1+μ 1e2 与 λ 2e1+μ 2e2 共线,则有且只有一个实数 λ ,使得 λ 1e1+μ 1e2 =λ (λ 2e1+μ 2e2); ④若存在实数 λ ,μ 使得 λ e1+μ e2=0,则 λ =μ =0. A.①② B.②③ C.③④ D.② 回顾归纳 考查两个向量是否能构成基底,主要看两向量是否非零且不共线.此外,一 个平面的基底一旦确定,那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来. 变式训练 1 设 e1、e2 是不共线的两个向量,给出下列四组向量: ①e1 与 e1+e2; ②e1-2e2 与 e2-2e1; ③e1-2e2 与 4e2-2e1; ④e1+e2 与 e1-e2. 其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是________. (写出所有满足条件的序号) 知识点二 用基底表示向量

1

→ 例 2 如图,梯形 ABCD 中,AB∥CD,且 AB=2CD,M、N 分别是 DC 和 AB 的中点,若AB → → → → =a,AD=b 试用 a,b 表示DC、BC、MN.

回顾归纳 用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边形将基底和所要表示的向 量联系起来. 解决此类题时, 首先仔细观察所给图形. 借助于平面几何知识和共线向量定理, 结合平面向量基本定理解决. → 变式训练 2 如图,已知△ABC 中,D 为 BC 的中点,E,F 为 BC 的三等分点,若AB=a, → → → → AC=b,用 a,b 表示AD,AE,AF.

知识点三 平面向量基本定理的应用 例 3 如图所示,在△ABC 中,点 M 是 BC 的中点,点 N 在边 AC 上,且 AN=2NC,AM 与 BN 相交于点 P,求证:AP∶PM=4∶1.

回顾归纳 (1)充分挖掘题目中的有利条件,本题中两次使用三点共线,注重方程思想 的应用; (2)用基底表示向量也是运用向量解决问题的基础,应根据条件灵活应用,熟练掌握. → → 变式训练 3 如图所示,已知△AOB 中,点 C 是以 A 为中点的点 B 的对称点,OD=2DB, → → DC 和 OA 交于点 E,设OA=a,OB=b.

2

→ → (1)用 a 和 b 表示向量OC、DC; → → (2)若OE=λ OA,求实数 λ 的值.

1.对基底的理解 (1)基底的特征 基底具备两个主要特征:①基底是两个不共线向量;②基底的选择是不唯一的.平面内 两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件. (2)零向量与任意向量共线,故不能作为基底. 2.准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解,即平面内任一向量都可以沿两个不共线的 方向分解成两个向量和的形式,且分解是唯一的. (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想,用向量解决几何问题时,我们可 以选择适当的基底,将问题中涉及的向量向基底化归,使问题得以解决. 课时作业 一、选择题 1.若 e1,e2 是平面内的一组基底,则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( ) 1 A.e1-e2,e2-e1 B.2e1+e2,e1+ e2 2 C.2e2-3e1,6e1-4e2 D.e1+e2,e1-e2 → → 2.等边△ABC 中,AB与BC的夹角是( ) A.30° B.45° C.60° D.120° 3.下面三种说法中,正确的是( ) ①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底; ②一个平面内有 无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可作为基底中的向量. A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ → → → 4. 在△ABC 中, D, E, F 依次是 BC 的四等分点, 以AB=e1, AC=e2 为基底, 则AF等于( ) 1 3 3 1 A. e1+ e2 B. e1+ e2 4 4 4 4 1 1 1 1 C. e1- e2 D. e1+ e2 4 4 4 4 → → → → → → 5.已知△ABC 和点 M 满足MA+MB+MC=0.若存在实数 m 使得AB+AC=mAM成立,则 m 的 值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 二、填空题 6.设向量 m=2a-3b,n=4a-2b,p=3a+2b,试用 m,n 表示 p 的结果是________.
3

→ → → → → 7.在△ABC 中,AB=c,AC=b.若点 D 满足BD=2DC,则AD=____________. 三、解答题 → → 8. 如图在平行四边形 ABCD 中,M,N 分别为 DC,BC 的中点,已知AM=c,AN=d,试用 → → c,d 表示AB,AD.

→ 1→ → 1→ → → 9. 如图所示,在△OAB 中,OC= OA,OD= OB,AD 与 BC 交于点 M,设OA=a,OB=b, 4 2 → 以 a、b 为基底表示OM.

§2.3

平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理 答案

知识梳理 1.(1)不共线 任意 有且只有一对 λ 1e1+λ 2e2 (2)不共线 所有 2.(1)非零向量 ∠AOB ①[0,180°] ②同向 ③反向 (2)90° a⊥b 自主探究 → → → 解 在平面内任取一点 O.作OA=e1,OB=e2,OC=a.过点 C 作平行于直线 OB 的直线, 与直线 OA 交于点 M;过点 C 作平行于直线 OA 的直线,与直线 OB 交于点 N. 由共线向量定理知,存在实数 λ 1、λ 2 使 → → → → → OM=λ 1e1,ON=λ 2e2,由于OC=OM+ON, 所以 a=λ 1e1+λ 2e2.
4

下面说明这里的 λ 1、λ 2 是唯一的. 设 a=λ ′1e1+λ ′2e2 λ 1e1+λ 2e2=λ ′1e1+λ ′2e2. ∴(λ 1-λ 1′)e1+(λ 2-λ 2′)e2=0, ∵e1、e2 不共线.∴λ 1-λ 1′=λ 2-λ 2′=0. ∴λ 1′=λ 1,λ 2′=λ 2. ∴(λ 1,λ 2)是唯一存在的. 对点讲练 例 1 B [由平面向量基本定理可知,①④是正确的. 对于②,由平面向量基本定理可知,一旦一个平面的基底确定,那么任意一个向量在此 基底下的实数对是唯一的. 对于③,当两向量的系数均为零,即 λ 1=λ 2=μ 1=μ 2=0 时,这样的 λ 有无数个, 故选 B.] 变式训练 1 ①②④ 解析 对于③4e2-2e1=-2e1+4e2=-2(e1-2e2), ∴e1-2e2 与 4e2-2e1 共线,不能作为基底. 例2 解

如图所示,连接 CN,则四边形 ANCD 是平行四边形. → → 1→ 1 则DC=AN= AB= a, 2 2 → → → → 1→ BC=NC-NB=AD- AB 2 1 =b- a, 2 → → → → 1→ MN=CN-CM=-AD- CD 2 1 1 1 → ? →? =-AD- ?- AB?= a-b. 2? 2 ? 4 → → → 变式训练 2 解 AD=AB+BD → 1→ =AB+ BC 2 1 1 1 =a+ (b-a)= a+ b; 2 2 2 1 → → → → 1→ AE=AB+BE=AB+ BC=a+ (b-a) 3 3 2 1 = a+ b; 3 3 2 → → → → 2→ AF=AB+BF=AB+ BC=a+ (b-a) 3 3 1 2 = a+ b. 3 3 → → 例 3 解 设AB=b,AC=c, → 1 1 → 2→ → → → 2 则AM= b+ c,AN= AC,BN=BA+AN= c-b. 2 2 3 3 → → → → ∵AP∥AM,BP∥BN,
5

→ → → → ∴存在 λ ,μ ∈R,使得AP=λ AM,BP=μ BN, → → → 又∵AP+PB=AB, → → → ∴λ AM-μ BN=AB, ?1 1 ? ?2 ? ∴由 λ ? b+ c?-μ ? c-b?=b 得 2 2 3 ? ? ? ? 1 1 2 ? λ +μ ?b+? λ - μ ?c=b. ?2 ? ?2 ? 3 ? ? ? ? 又∵b 与 c 不共线. 1 ? ?2λ +μ =1; ∴? 1 2 ? ?2λ -3μ =0. 4 λ = ; ? ? 5 解得? 3 ? ?μ =5.

→ 4→ 故AP= AM,即 AP∶PM=4∶1. 5 变式训练 3 解 (1)由题意,A 是 BC 的中点, → 2→ 且OD= OB, 3 → → → 由平行四边形法则,OB+OC=2OA. → → → → → → ∴OC=2OA-OB=2a-b,DC=OC-OD 2 5 =(2a-b)- b=2a- b. 3 3 → → (2)EC∥DC. → → → 又∵EC=OC-OE=(2a-b)-λ a 5 → =(2-λ )a-b,DC=2a- b, 3 2-λ 1 4 ∴ = ,∴λ = . 2 5 5 3 课时作业 1.D 2.D 3.B 4.A [∵D,E,F 依次是 BC 的四等分点, 1 → 1 → → ∴AE= (AB+AC)= (e1+e2), 2 2 → → → BC=AC-AB=e2-e1, → → → ∴AF=AE+EF 1 1→ = (e1+e2)+ BC 2 4 1 1 = (e1+e2)+ (e2-e1) 2 4 1 3 = e1+ e2.] 4 4 → → → 5.B [设 BC 的中点为 D,由已知条件可得 M 为△ABC 的重心,AB+AC=2AD, → 2→ 又AM= AD,故 m=3.] 3
6

7 13 6.p=- m+ n 4 8 解析 设 p=xm+yn,则 3a+2b=x(2a-3b)+y(4a-2b)=(2x+4y)a+(-3x-2y)b
? ?2x+4y=3 得? ?-3x-2y=2 ?

7 ? ?x=-4 ?? 13 ? ?y= 8

.

2 1 7. b+ c 3 3 → → → → 2→ 解析 AD=AB+BD=AB+ BC 3 → 2 → → =AB+ (AC-AB) 3 1→ 2→ 2 1 = AB+ AC= b+ c. 3 3 3 3 → → 8.解 设AB=a,AD=b, 因为 M,N 分别为 DC,BC 的中点, → 1 → 1 所以BN= b,DM= a, 2 2 1 ? ?c=b+2a ∴? 1 ? ?d=a+2b 2 ? ?a=3?2d-c? ,解得? 2 ? ?b=3?2c-d?



→ 2 → 2 即AB= (2d-c),AD= (2c-d). 3 3 → 9.解 设OM=ma+nb (m,n∈R), → → → 则AM=OM-OA=(m-1)a+nb, 1 → → → 1 AD=OD-OA= b-a=-a+ b. 2 2 m-1 n 因为 A,M,D 三点共线,所以 = , -1 1 2 即 m+2n=1, → → → ? 1? 而CM=OM-OC=?m- ?a+nb, ? 4? 1 1 → → → CB=OB-OC=b- a=- a+b, 4 4 1 m- 4 n 因为 C,M,B 三点共线,所以 = , 1 1 - 4 即 4m+n=1.

7

由?

?m+2n=1, ? ? ?4m+n=1,

1 m= , ? ? 7 解得? 3 n= , ? ? 7

→ 1 3 所以OM= a+ b. 7 7

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