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2016届高三第二次学情检测数学试题

2016 届高三第二次学情检测(2015.12.17)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分,请把答案 填写在答题卡的相应位置 上. ........ 1.设集合 M ? ?2,0, x? ,集合 N ? ?0,1? ,若 N ? M ,则 x ? ▲ .

2.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采 用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科 生人数之比为 4∶5∶5∶6, 则应从一年级本科 生中抽取 ▲ 名学生.
S ?0 For I From 1 To 10 S?S?I End For Pr int S

3. 已知复数 z 满足 ?3 ? 4i ? z ? 1( i 为虚数单位) , 则 z 的模为 ▲ .

4.根据如图所示的伪代码,最后输出的 S 的 值为 ▲ .

5.现有 5 道试题,其中甲类试题 2 道,乙类试题 3 道,现从中随机 取 2 道试题,则至少有 1 道试题是乙类试题的概率为 ▲ .
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

6.在 ?ABC 中,若 AB ? 1 , BC ? 2 , CA ? 5 ,则 AB ? BC ? BC ? CA ? CA ? AB 的 值是 ▲ .

?2 x ? y ≤ 2 7.若实数 x, y 满足约束条件 ? ? x ? y ≥ ?1 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值 ? x ? y ≥1 ?






1 3

8.已知 sin(15? ? ? ) ? ,则 cos(30? ? 2? ) 的值为
a ? a a 2 S5 , 9. 已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 若a 28 36


? ?2 6

. , 则 a1 的

值是



.
1

y2 ? 1的一条渐近线与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 平行, 10. 已知双曲线 x ? 则 a
2

离心率 e ?





11.一个圆柱和一个圆锥同底等高,若圆锥的侧面积是其底面积 的 2 倍,则圆柱的侧面积是其底面积的
?e x f ( x ) ? 12.已知函数 ? ?x ?1 ( x ? 0) ( x ? 0)



倍.

,则不等式 f ( x2 ) ? f (2 ? x)

的解集为



3) , 13.已知函数 y ? a x ? b(b ? 0) 的图像经过点 P(1,

如右图所示,则

4 1 ? 的最小值为 a ?1 b




(第 13 题)

14. 已知直线 x ? y ? 3 ? 0 与圆 O : x2 ? y2 ? r 2 (r ? 0) 相交于 M , N 两点,

???? ? ???? 若 OM ? ON ? 3 ,则圆的半径 r

?





二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内 ......... 作答,解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.
? ? ? 15.(本小题满分 14 分)设函数 f ( x) ? sin( x ? ) ? cos x .
4 6 4

(1)求 f ( x) 的单调增区间; (2)若 x ? (0, 4) ,求 y ? f ( x) 的值域.

16. (本小题满分 14 分)
AC , BD 相交于点 O , 如图, 在多面体 ABCDEF 中, 四边形 ABCD 是菱形,
EF / / AB , AB ? 2EF ,平面 BCF ?

平面 ABCD , BF ? CF ,点 G 为 BC 的
E F

中点. (1)求证:直线 OG / / 平面 EFCD ; (2)求证:直线 AC ? 平面 ODE .
2
A D O B G C

17. (本小题满分 14 分) 如图,已知椭圆 C :
1 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,离 a 2 b2

心率为 .过原点的直线与椭圆 C 交于 A , B 两点( A , B 不 是椭圆 C 的顶点) .点 D 在椭圆 C 上,且 AD ? AB . (1)若椭圆 C 的右准线方程为: x ? 4 ,求椭圆 C 的方程; (2)设直线 BD 、 AB 的斜率分别为 k1 、 k2 ,求
k1 的值. k2

y A D

O

x

B

18. (本小题满分 16 分)如图,某小区有一矩形地块 OABC ,其中
OC ? 2 , OA ? 3 ,单位:百米.已知 OEF 是一个游泳池,计划在地

块 OABC 内修一条与池边 EF 相切于点 M 的直路 l (宽度不计) ,交 线段 OC 于点 D , 交线段 OA 于点 N . 现以点 O 为坐标原点, 以线段 OC 所 在 直 线 为 x 轴 , 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 , 若 池 边 EF 满 足 函 数
y ? ?x2 ?2 ( 0 ? x ? 2 ) 的图象.若点 M 到 y 轴距离记为 t .

(1)当 t ? 2 时,求直路 l 所在的直线方程;
3

(2)当 t 为何值时,地块 OABC 在直路 l 不含 泳池那侧的面积取到最大,最大值时多少?

3

19. (本小题满分 16 分) 若函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处取得极大值或极小 值 , 则 称 x0 为 函 数 y ? f ( x) 的 极 值 点 .
f ( x) ? ax3 ? 3x ln x ?1(a ? R) .

已 知 函 数

(1)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的极值;
1 (2)若 f ( x) 在区间 ( , e) 上有且只有一个极值点,求实数 a 的 e

取值范围.

20. (本小题满分 16 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且对一切正
1 2 * (1)求证: an?1 ? an ? 4n ? 2 ( n ? N ) ;

整数 n 都有 Sn ? n2 ? an .

(2)求数列 ?an ? 的通项公式;

(3)是否存在实数 a ,使不等式 (1 ? )(1 ?

1 a1

1 1 2a 2 ? 3 )?(1 ? ) ? 对一 a2 an 2a 2n ? 1

切正整数 n 都成立?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,请说明 理由。

4

灌云县第一中学 2016 届高三第二次学情检测 附加题
1.已知矩阵 A ? ? 特征向量.

?2 a ? ? ? a ? R ? 的一个特征值为 ?1 ,求矩阵 A 的另一个特征值及对应的 2 1 ? ?

2.已知圆 C 的参数方程为 ?

极轴建立极坐标系, 直线 l 的极坐标方程为 ? sin ? 得的弦长.

? x ? 2 ? 3cos ? ,以原点为极点, x 轴的正半轴为 (? 为参数) y ? 3sin ? ? 2 ?

? 2? cos ? ? 3 ,求直线 l 被圆 C 截

3.在棱长为 4 的正方体 ABCD ? A?B?C ?D? 中,点 P 在棱 CC ? 上,且 CC ? ? 2CP . (1)求直线 AA? 与平面 APD? 所成角的正弦值; (2)求二面角 A ? D?P ? B 的余弦值.

4.已知 n 为正整数,从数列 1, , , ,? , 列

3 5 2n ? 1 , ,? , .对新数列继续上述操作,直至最后剩下一个数 X n . 4 12 2n(n ? 1) (1)求 X 4 ;
(2)推断数列 ? X n ? 的通项公式,并给出证明.

1 1 1 2 3 4

1 中分别求相邻两个数的算术平均数,得出新数 n

5

参考答案
一、 填空题 1.1 2.60 3. 1
5

4. 55 14.

5. 9
6

10

6. -5 7. 1

8. 7 9. -2 10.
9

5 11. 2 3 2

12. (-2,1) 13. 9

2

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内 作答,解答时应写出文 ......... 字说明、证明或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分)设函数 f ( x) ? sin( (1)求 f ( x ) 的单调增区间; (2)若 x ? (0, 4) ,求 y ? f ( x) 的值域. 解:(1) f ( x) ? sin(

?

x ? ) ? cos x . 4 6 4

?

?

?

? ? 3 ? 3 ? ? ? x ? ) ? cos x ? sin x ? cos x ? 3 sin( x ? ) 4 6 4 2 4 2 4 4 3
?

∵?

?
2

? 2 k? ?

?
4

x?

?
3

?
2

……4 分

? 2k?

∴?

2 10 ? 8k ? x ? ? 8k , k ? Z 3 3
……7 分

2 10 ? 8k , ? 8k ](k ? Z ) 3 3 ? ? ? 2? 3 ? ? (2)∵ x ? (0,4) ∴? ? x? ? ∴? ? sin( x ? ) ? 1 3 4 3 3 2 4 3 3 ∴ f ( x ) 的值域为: (? , 3] ……14 分 2
∴ f ( x ) 的单调增区间为: [? 16. (本小题满分 14 分)

如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是菱形, AC , BD 相交于点 O , EF / / AB , AB ? 2EF ,平面 BCF ? 平面 ABCD , BF ? CF ,点 G 为 BC 的中点. (1)求证:直线 OG / / 平面 EFCD ; E F (2)求证:直线 AC ? 平面 ODE . 解:方法 1, (1)证明:四边形 ABCD 是菱形 AC ? BD ? O 又 点 G 为 BC 的中点A
OG ? 平面 EFCD EF ? 平面 EFCD ? OG / / DC (2)证明:

D O B G

C

? O 为 BD 的中点



…………………………………3 分 ? OG / / 平面 EFCD .……………7 分

6

? ? ? ? ? ? FG ? BC ? G为BC的中点? ? ? ? ………………………………………9 分 又FG ? 平面BFC ? ? FG ? 平面ABCD ? ? ? ? FG ? AC . ……………………10 分 ? 平面BFC ? 平面ABCD ? ? ? 平面BFC ? 平面ABCD =BC ? ? ? ? 又 AC ? 平面ABCD ? BF ? CF
? EF / / OG 且 EF ? OG . EF / / AB 且 AB ? 2EF 又 ? 四边形 OGEF 是平行四边形 ? EO / / FG …………………………………………… 11 分 ? AC ? EO 又 FG ? AC ? AC ? 平面 ODE . 四边形 ABCD 是菱形 ? AC ? BD ,即 AC ? DO EO ? DO ? O 又

O、G 分别为 CA、CB 的中点 ? OG / / AB 且 AB ? 2OG

……………………………………………………………14 分 方法,2, 证明: (1)∵四边形 ABCD 是菱形, AC ? BD ? O ,∴点 O 是 BD 的中点, ∵点 G 为 BC 的中点 ∴ OG / / CD , ……………………3 分 又∵ OG ? 平面 EFCD , CD ? 平面 EFCD ,∴直线 OG / / 平面 EFCD .……………7 分 (2)∵ BF ? CF ,点 G 为 BC 的中点,∴ FG ? BC . ∵平面 BCF ? 平面 ABCD ,平面 BCF ? 平面 ABCD ? BC , FG ? 平面 BCF , FG ? BC ∴ FG ? 平面 ABCD , ………………9 分 ∵ AC ? 平面 ABCD ,∴ FG ? AC , ∵ OG / / AB, OG ?
E F

1 1 AB , EF / / AB, EF ? AB , 2 2

∴ OG / / EF , OG ? EF , ∴四边形 EFGO 为平行四边形, ∴ FG / / EO , ………………11 分
A

D O B G

C

∵ FG ? AC , FG / / EO ,∴ AC ? EO , ∵四边形 ABCD 是菱形,∴ AC ? DO , ∵ AC ? EO , AC ? DO , EO ? DO ? O , EO、 DO 在平面 ODE 内, ∴ AC ? 平面 ODE . 17. (本小题满分 14 分) 如图,已知椭圆 C : ………………14 分

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,离心率为 .过原 2 2 a b

点的直线与椭圆 C 交于 A , B 两点( A , B 不是椭圆 C 的顶点) .点 D 在椭圆 C 上, 且 AD ? AB . (1)若椭圆 C 的右准线方程为: x ? 4 ,求椭圆 C 的方程;
y A D O x

k (2)设直线 BD 、 AB 的斜率分别为 k1 、 k2 ,求 1 的值. k2

7

B

c 1 ? e? ? ? ?a ? 2 x2 y 2 ? a 2 2 ? ? 1 ……6 分 解:(1)∵ ? 2 ,解得: ? ∴ b ? 3 ∴椭圆方程为: 4 3 c ? 1 a ? ? ?4 ? ? c (2)法(一) 设 A( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) ,则 B(? x1 , ? y1 ) ,∵ A , D 在椭圆上

? x12 y12 ? ?1 ? 1 1 ? a 2 b2 ∴? ∴ 2 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 2 ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 2 2 a b ? x2 ? y2 ? 1 2 2 ? b ?a 1 1 c 1 b2 3 3 ∴ 2 ? 2 k AD ? k BD ? 0 ∵e ? ? ∴ 2 ? ∴ k1 ? ? a b a 2 a 4 4k AD 3 ? k 4k AD 3 1 ? ∵ AD ? AB ∴ k2 ? ? ∴ 1 ? 1 k2 4 k AD ? k AD
法(二) 设 A( x0 , y0 ) , D( x1 , y1 ) ,则 B(? x0 , ? y0 ) 则 k AD ? k BD ?

……11 分

……14 分

y1 ? y0 y1 ? y0 y ? y0 ? ? ? x1 ? x0 x1 ? x0 x ? x0 2
2 1 2 1 2

b 2 (1 ?

x0 2 x12 2 ) ? b (1 ? ) 2 a2 a 2 ? ? b ,下同法(一) x12 ? x0 2 a2

18. (本小题满分 16 分)如图,某小区有一矩形地块 OABC,其中 OC=2,OA=3,单位: 百米.已知 O EF 是一个游泳池,计划在地块 OABC 内修一条与池边 EF 相切于点 M 的直 路 (宽度不计) l , 交线段 OC 于点 D, 交线段 OA 于点 N. 现以点 O 为坐标原点, 以线段 OC 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系,若池边 EF 满足函数 y=﹣x +2( 图象.若点 M 到 y 轴距离记为 t. (1)当 时,求直路 l 所在的直线方程; (2)当 t 为何值时,地块 OABC 在直路 l 不含泳池那侧的面积取到最大,最大值时多少? 【解答】解: (1)把 ∵y'=﹣2x, ∴k=﹣ , ∴直线方程为 y=﹣ x+ ; 2 (2)由(1)知,直线的方程为 y=﹣2tx+t +2, 令 y=0,x= (t+ ) ,令 x=0,y=t +2, ∴ (t+ )≤2,t +2≤3, ∴2﹣ ≤t≤1,
8
2 2 2

)的

代入函数 y=﹣x +2,得 M( ,

2

) ,

∴s△ OND=

(t+ ) (t +2)= (t +4t+ ) ,
3

2

3

令 g(t)= (t +4t+ ) ,

∴g'(t)= 当 t= 时,g'(t)=0, ,



当 t∈(2﹣ 当 t∈(

)时,g'(t)<0,

,1)时,g'(t)>0, )= , .

g(t)≥g(

所以所求面积的最大值为 6﹣

19. (本小题满分 16 分)若函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处取得极大值或极小值,则称 x0 为 函数 y ? f ( x) 的极值点. 已知函数 f ( x) ? ax3 ? 3x ln x ?1(a ? R) . (1)当 a ? 0 时,求 f ( x ) 的极值; (2)若 f ( x ) 在区间 ( , e) 上有且只有一个极值点,求实数 a 的取值范围. 解: (1)当 a=0 时,f(x)=3xlnx﹣1 的定义域为(0,+∞) , f′(x)=3lnx+3=3(lnx+1) , 故 f(x)=3xlnx﹣1 在(0, )上是减函数,在( ,+∞)上是增函数; 故 f(x)在 x= 时取得极小值 f( )=﹣3 ﹣1;……………………………4 分 (2)函数 f(x)=ax3+3xlnx﹣1 的定义域为(0,+∞) , f′(x)=3(ax2+lnx+1) , 令 g(x)=ax2+lnx+1,则 g′(x)=2ax+

1 e

1 2ax 2 ? 1 = , x x

当 a>0 时,g′(x)>0 在(0,+∞)恒成立, 故 f '( x) =3(ax2+lnx+1)在(0,+∞)上是增函数, 而 f '( ) =3[a(

1 e

1 2 1 1 ) +ln +1]=3a( )2>0, e e e
9

……………………………6 分

1 ,e)时, f '( x) >0 恒成立, e 1 故 f ( x ) 在区间( ,e)上单调递增, e 1 故 f ( x ) 在区间( ,e)上没有极值点; ……………………………10 分 e 1 当 a=0 时,由(1)知, f ( x ) 在区间( ,e)上没有极值点; e
故当 x∈(

2ax 2 ? 1 1 当 a<0 时,令 =0 解得,x= ? ; x 2a
故 g ( x) =ax2+lnx+1 在(0, ? 12 分 ①当 g(e)?g( g(x)在(

1 1 )上是增函数,在( ? ,+∞)上是减函数,… 2a 2a

1 2 )<0,即﹣ 2 <a<0 时, e e

1 ,e)上有且只有一个零点,且在该零点两侧异号, e 1 a ②令 g( )=0 得 2 =0,不可能; ………………………………14 分 e e
③令 g(e)=0 得 a=﹣

2 1 1 ,所以 ? ∈( ,e) , 2 e e 2a

而 g( ? 又 g(

e e 1 )=g( )= +ln >0, 2 2 2a

1 )<0, e

1 ,e)上有且只有一个零点,且在该零点两侧异号, e 2 综上所述,实数 a 的取值范围是[﹣ 2 ,0) .……………………………16 分 e
所以 g(x)在( 20 . ( 本 小 题 满 分 16 分 ) 已 知 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 且 对 一 切 正 整 数 n 都 有

1 Sn ? n2 ? an . 2 (1)求证: an ?1 ? an ? 4n ? 2 ( n ? N * ) ;
(2)求数列 ?an ? 的通项公式;

(3)是否存在实数 a ,使不等式 (1 ?

1 1 1 2a 2 ? 3 )(1 ? )?(1 ? ) ? 对一切正整数 n 都成 a1 a2 an 2a 2n ? 1

立?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,请说明理由。

10

1 1 an ( n ? N * )① ∴ Sn?1 ? (n ? 1)2 ? an?1 ( n ? N )② 2 2 1 1 1 1 由② ? ①得 Sn?1 ? Sn ? [(n ? 1)2 ? an?1 ] ? (n2 ? an ) ? 2n ? 1 ? an?1 ? an ( n ? N * ) , 2 2 2 2 ∴ an ?1 ? an ? 4n ? 2 ( n ? N * ). …………………………4 分
解: (1)证明:∵ Sn ? n2 ? (2)解:方法 1,∵ an ?1 ? an ? 4n ? 2 ( n ? N * )……③ ∴ an? 2 ? an?1 ? 4n ? 6 ( n ? N ) , ……④ ④—③,得 an ? 2 ? an ? 4. ( n ? N * ) ………………………6 分 从而 数列 {an } 的奇数项依次成等差数列,且首项为 a1 ? 2 ,公差为 4; 数列 {an } 的偶数项也依次成等差数列,且首项为 a2 ,公差为 4.

1 1 2 2 在③中令 n ? 1 得 a2 ? 2 ? 4 ? 2 ,∴ a2 ? 4. ……………………………7 分 n ?1 ∴当 n ? 2 k ? 1 ( k ? N * )时, k ? , an ? a2 k ?1 ? a1 ? 4(k ? 1) ? 4k ? 2 ? 2n ; …8 分 2 n ∴当 n ? 2k ( k ? N * )时, k ? , an ? a2 k ? a2 ? 4(k ? 1) ? 4k ? 2n ;……………9 分 2 综上所述, an ? 2n ( n ? N * ). ………………………………10 分
在①中令 n ? 1 得 S1 ? 12 ? a1 ,又∵ S1 ? a1 ,∴ a1 ? 1 ? a1 ? a1 ? 2. 方法 2,由③式知, an ?1 ? (2n ? 2) ? ?(an ? 2n) ( n ? N * ) , ………………………7 分 记 bn ? an ? 2n ( n ? N * ) ,则 bn?1 ? ?bn . ( n ? N * ) ,

1 1 2 2 从而 b1 ? 2 ? 2 ?1 ? 0 ,∴ bn ? 0 ( n ? N * ) 即 an ? 2n ( n ? N * ). ……………10 分
在①中令 n ? 1 得 S1 ? 12 ? a1 ,又∵ S1 ? a1 ,∴ a1 ? 1 ? a1 ? a1 ? 2. (3)解:令 f (n) ? (1 ? 且

1 1 1 )(1 ? )?(1 ? ) ? 2n ? 1 ( n ? N * ) ,则 f (n) ? 0 a1 a2 an

4n2 ? 8n ? 3 f (n ? 1) 1 2n ? 3 (2n ? 1) 2n ? 3 ? ? 1 ………………12 分 ? ? (1 ? ) 4n2 ? 8n ? 4 f ( n) an ?1 2n ? 1 (2n ? 2) 2n ? 1 (或 f (n ? 1) ? f (n) 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? )(1 ? ) ? ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 2n ? 3 ? (1 ? )(1 ? ) ? ? ? (1 ? ) ? 2n ? 1 a1 a2 an an ?1 a1 a2 an
1 1 1 1 2n ? 1 ? (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) ? ( 4n 2 ? 8n ? 3 ? 4n 2 ? 8n ? 4) ? 0 ……12 分) 2 4 6 2n 2n ? 2 3 ∴ f (n ? 1) ? f (n) ,∴ f ( n) 单调递减,∴ [ f ( n) max ? f (1) ? . ……………………13 分 2 1 1 1 2a 2 ? 3 3 ∴不等式 (1 ? )(1 ? )?(1 ? ) ? 对一切正整数 n 都成立等价于 f (n) ? a ? a1 a2 an 2a 2a 2n ? 1
3 3 3 ? a ? . …………………14 分 ,即 2a 2 2a 2 2a ? 3a ? 3 (a ? 3)(2a ? 3) 3 ? 0 ,即 ? 0 ,解之得 a ? 3, 或 ? ? a ? 0. ∴ 2a a 2 3 ,0) ? ( 3, ??). ………16 分 综上所述,存在实数 a 适合题意, a 的取值范围是 ( ? 2 附加题
对一切正整数 n 都成立等价于 [ f (n)]max ? a ?
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1.已知矩阵 A ? ? 特征向量.

?2 a ? ? ? a ? R ? 的一个特征值为 ?1 ,求矩阵 A 的另一个特征值及对应的 ?2 1 ?

? x ? 2 ? 3cos? ,以原点为极点, x 轴的正半轴为 (? 为参数) ? y ? 3sin? ? 2 极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? sin ? ? 2? cos ? ? 3 ,求直线 l 被圆 C 截得的
2.已知圆 C 的参数方程为 ? 弦长.

3.在棱长为 4 的正方体 ABCD ? A?B?C ?D? 中,点 P 在棱 CC ? 上,且 CC ? ? 2CP . (1)求直线 AA? 与平面 APD? 所成角的正弦值; (2)求二面角 A ? D?P ? B 的余弦值.

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4. 已知 n 为正整数,从数列 1, , , ,? , 列

3 5 2n ? 1 , ,? , .对新数列继续上述操作,直至最后剩下一个数 X n . 4 12 2n(n ? 1) (1)求 X 4 ;
(2)推断数列 ? X n ? 的通项公式,并给出证明. 略

1 1 1 2 3 4

1 中分别求相邻两个数的算术平均数,得出新数 n

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