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第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系


《创新设计》2019版 高三一轮总复习实用课件
数学

1

第4节

直线与圆、圆与圆的位置关系
01
诊断自测

02

考点一

直线与圆的位置关系

例1 训练1

目录
CONTENTS

03

考点二

圆的切线、弦长问题

例2 训练2

@《创新设计》

04

考点三

圆与圆的位置关系

例 3 训练3

2

目录

诊断自测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)“k=1”是“直线 x-y+k=0 与圆 x2+y2=1 相交”的必要不充分条 件.( ) (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外切.( (3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.( ) 则 O,P,A,B 四点共圆且直线 AB 的方程是 x0x+y0y=r2.( )

)

(4)过圆 O:x2+y2=r2 外一点 P(x0,y0)作圆的两条切线,切点分别为 A,B,

解析 (1)“k=1”是“直线 x-y+k=0 与圆 x2+y2=1 相交”的充分不必要条件; (2)除外切外,还有可能内切;(3)两圆还可能内切或内含. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√

3

@《创新设计》

目录

考点一 直线与圆的位置关系

[例 1](1)(2018· 青岛测试)已知点 M(a,b)在圆 O:x2+y2=1 外,则直线 ax+by=1 与圆 O 的位置关系是( ) A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定
解析 (1)因为 M(a,b)在圆 O:x2+y2=1 外,

所以 a2+b2>1,
而圆心 O 到直线 ax+by=1 的距离

判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法:利用d与r的关系. (2)代数法:联立方程之后利用Δ判断

|a· 0+b· 0-1| 1 d= = 2 <1, 2 2 2 a +b a +b
故直线与圆 O 相交.
答案 (1)B

4

@《创新设计》

目录

考点一 直线与圆的位置关系

[例 1](2)(一题多解)圆 x2+y2=1 与直线 y=kx+2 没有公共点的充要条件是 ________.
解析 (2)法一 将直线方程代入圆方程, 得(k2+1)x2+4kx+3=0, 直线与圆没有公共点的充要条件是 Δ=16k2-12(k2+1)<0,
2 法二 圆心(0, 0)到直线 y=kx+2 的距离 d= 2 , k +1 2 直线与圆没有公共点的充要条件是 d>1,即 2 >1, k +1
判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法:利用d与r的关系. (2)代数法:联立方程之后利用Δ判断

解得- 3<k< 3.

解得- 3<k< 3. 答案 (2)- 3<k< 3
5
@《创新设计》

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考点一 直线与圆的位置关系

判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法:利用 d 与 r 的关系. (2)代数法:联立方程之后利用 Δ 判断. (3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断 直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法适用于动直线 问题.

6

@《创新设计》

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考点一 直线与圆的位置关系

【训练 1】 (1)圆(x-1)2+(y+2)2=6 与直线 2x+y-5=0 的位置关系是( A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.相交过圆心 D.相离

)

解析

(1)由题意知圆心(1,-2)到直线 2x+y-5=0 的距离

|2× 1-2-5| d= = 5< 6且 2× 1+(-2)-5≠0, 2 2 2 +1
所以直线与圆相交但不过圆心.

答案

(1)B

7

@《创新设计》

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考点一 直线与圆的位置关系

【训练 1】 (2)(2018· 湖北七市联考)已知圆 C:(x-1)2+y2=r2(r>0),设条件 p: 0<r<3,条件 q:圆 C 上至多有 2 个点到直线 x- 3y+3=0 的距离为 1,则 p 是 q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 (2)由题意知,圆心 C(1,0)到直线 x- 3y+3=0 的距离

|1+3| d= =2, 2 至多有 2 点到直线的距离为 1 时,0<r<3;
反之也成立,故选 C.

答案
8

(1)C
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考点二 圆的切线、弦长问题

[例 2](1)(2016· 全国Ⅰ卷)设直线 y=x+2a 与圆 C:x2+y2-2ay-2=0 相交于 A, B 两点,若|AB|=2 3,则圆 C 的面积为________.
解析 (1)圆 C:x2+y2-2ay-2=0,
若弦心距为 d,圆的半径长为 r, 则弦长 l=2 r2-d2

即 C:x2+(y-a)2=a2+2,圆心为 C(0,a),

|0-a+2a| |a| C 到直线 y=x+2a 的距离为 d= = . 2 2 ?2 3?2 ? |a| ?2 ? ? ? 2 又由|AB|=2 3,得? + ? ? ? ? =a +2, ? 2 ? ? 2?
解得 a =2,
2

y
4 B 3 2 A 1 C 1 2

所以圆的面积为 π(a +2)=4π. 答案
9

2

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0C –1 –2 –3
@《创新设计》

x

(1)4π

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考点二 圆的切线、弦长问题

[例 2](2)过点 P(2,4)引圆(x-1)2+(y-1)2=1 的切线,则切线方程为________.
设切线方程为y-y0=k(x 解析 (2)当直线的斜率不存在时,直线方程为x=2, -x0),利用点到直线的 此时,圆心到直线的距离等于半径,直线与圆相切,符合题意; 距离公式表示出圆心到 切线的距离d,然后令d 当直线的斜率存在时,设直线方程为y-4=k(x-2), =r,进而求出k. 即kx-y+4-2k=0, y ∵直线与圆相切, 5 P(2,4) ∴圆心到直线的距离等于半径, 4 |k-1+4-2k| |3-k| 4 3 即 d= = = 1 , 解得 k = , 3 k2+(-1)2 k2+1 2 4 4 1 ∴所求切线方程为 x-y+4-2× =0, 3 3 –3 –2 –1 0 1 2 3 x 即 4x-3y+4=0. –1 综上,切线方程为 x=2 或 4x-3y+4=0. –2 答案 (2)x=2 或 4x-3y+4=0
10
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考点二 圆的切线、弦长问题

1.弦长的两种求法 (1)代数方法:将直线和圆的方程联立方程组,消元后得到一个一元二 次方程.在判别式 Δ>0 的前提下,利用根与系数的关系,根据弦长公 式求弦长. (2)几何方法:若弦心距为 d,圆的半径长为 r,则弦长 l=2 r2-d2. 2.圆的切线方程的两种求法 (1)代数法:设切线方程为 y-y0=k(x-x0),与圆的方程组成方程组, 消元后得到一个一元二次方程,然后令判别式 Δ=0 进而求得 k. (2)几何法:设切线方程为 y-y0=k(x-x0),利用点到直线的距离公式表 示出圆心到切线的距离 d,然后令 d=r,进而求出 k.
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@《创新设计》

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考点二 圆的切线、弦长问题

【训练 2】(1)(2018· 合肥测试)过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4 的弦,其中最 短弦的长为________.
解析 (1)设 P(3,1),圆心 C(2,2),

则|PC|= 2,半径 r=2,

由题意知最短的弦过 P(3,1)且与 PC 垂直,
所以最短弦长为 2 22-( 2)2=2 2.

答案

(1)2 2

12

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考点二 圆的切线、弦长问题

【训练 2】(2)过原点 O 作圆 x2+y2-6x-8y+20=0 的两条切线,设切点分别为 P,Q,则线段 PQ 的长为________.
解析 (2)将圆的方程化为标准方程为(x-3)2+(y-4)2=5, 则圆心为(3,4),半径长为 5. 由题意可设切线的方程为 y=kx,

则圆心(3,4)到直线 y=kx 的距离等于半径长 5, |3k-4| 1 11 即 2 = 5,解得 k= 或 k= , 2 2 k +1 1 11 则切线的方程为 y= x 或 y= x. 2 2 ?4 22? ? ? , 解得两切点坐标分别为 (4 , 2) , 联立切线方程与圆的方程, ?5 ?, 5 ? ? 此即为 P,Q 的坐标,由两点间的距离公式得|PQ|=4. 答案 (2)4
13
@《创新设计》

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考点三 圆与圆的位置关系

[例 3] (2017· 郑州调研)已知两圆 x2+y2-2x-6y-1=0,x2+y2-10x-12y+m=0. (1)m 取何值时两圆外切?(2)m 取何值时两圆内切? (3)当 m=45 时,求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
解 因为两圆的标准方程分别为(x-1)2+(y-3)2=11, (x-5)2+(y-6)2=61-m,
(1)当两圆外切时,由 (5-1)2+(6-3)2= 11+ 61-m,
判断两圆的位置关系时常 用几何法,即利用两圆圆 心之间的距离与两圆半径 之间的关系

所以两圆的圆心分别为(1, 3), (5, 6), 半径分别为 11, 61-m,

得 m=25+10 11.
(2)当两圆内切时,因为定圆半径 11小于两圆圆心之间的距离 5, 所以 61-m- 11=5,解得 m=25-10 11.
14
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考点三 圆与圆的位置关系

[例 3] (2017· 郑州调研)已知两圆 x2+y2-2x-6y-1=0,x2+y2-10x-12y+m=0. (1)m 取何值时两圆外切?(2)m 取何值时两圆内切? (3)当 m=45 时,求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.

(3)由(x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10x-12y+45)=0,
得两圆的公共弦所在直线的方程为 4x+3y-23=0.

若两圆相交,则两圆公共 弦所在直线的方程可由两 圆的方程作差消去x2,y2项 得到.

故两圆的公共弦的长为 2

(

?|4+3× ?2 3 - 23| ? 11)2-? ? ? =2 2 2 4 +3 ? ?

7.

15

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考点三 圆与圆的位置关系

1.判断两圆的位置关系时常用几何法,即利用两圆圆心之间的距离 与两圆半径之间的关系,一般不采用代数法. 2. 若两圆相交, 则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差 消去 x2,y2 项得到.

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考点三 圆与圆的位置关系

【训练 3】(1)已知圆 M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线 x+y=0 所得线段的长度是 2 2,则圆 M 与圆 N:(x-1)2+(y-1)2=1 的位置关系是( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
解析 (1)∵圆 M:x2+(y-a)2=a2,

∴圆心坐标为 M(0,a),半径 r1 为 a, |a| 圆心 M 到直线 x+y=0 的距离 d= , 2 ? |a| ?2 ? 2 2 由几何知识得? ? ? +( 2) =a ,解得 a=2. ? 2? ∴M(0,2),r1=2. 又圆 N 的圆心坐标 N(1,1),半径 r2=1,
∴|MN|= (1-0)2+(1-2)2= 2,r1+r2=3,r1-r2=1.

答案
17

(1)B
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考点三 圆与圆的位置关系

【训练 3】(2)(2018· 九江模拟)已知圆 C1:(x-a)2+(y+2)2=4 与圆 C2:(x+b)2+ (y+2)2=1 相外切,则 ab 的最大值为( ) 6 3 9 A. B. C. D.2 3 2 2 4
解析 (2)由圆 C1 与圆 C2 相外切,

可得 (a+b)2+(-2+2)2=2+1=3,

即(a+b)2=9,
根据基本不等式可知
?a+ b?2 9 ? ? ab≤? ? = , 4 ? 2 ?

当且仅当 a=b 时等号成立.

答案
18

(2)C
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目录

本节内容结束

19


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