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1.4.1 正弦函数、余弦函数图象(上课用)_图文

正余弦函数的图象

知识回顾:
用弧度来度量角,实际上角的集合 与实数集R之间建立一一对应的关系: 正角 零角 负角 正实数 零 负实数
对应角的 弧度数

角的集合

实数集R

一、正弦函数的图象
1.用描点法作出函数图象的主要步骤: (1) 列表

y ? sin x, x ? ?0,2? ?
?
1 2

x
y

0

?
3
3 2

?

6

2

2? 3
3 2

5? 6
1 2

?
0

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

0

1

?1 2

?

3 2

? 1 ? 23

?1 2

0

(2) 描点

y 10

?

2

?

-

-

-

-

3? 2

2?

x

(3) 连线

?1 -

2、几何法 三角函数 正弦函数
sin?=MP
cos?=OM tan?=AT
y P ?
-1
T

三角函数线 正弦线MP

余弦函数
正切函数

余弦线OM
正切线AT

O

M

A(1,0)

x

? ? 在直角坐标系中如何作点( , sin ) 3 3
y P M O C(

?
3

, sin

?
3

)

x
?

途径:利用单位圆中正弦线来解决。

终边相同角的三角函数值相等 y=sinx x?[0,2?] 即: sin(x+2k?)=sinx, k?Z y=sinx x?R

利用图象平移
B
y

1

O1

A O
-1

? 6

? 3

? 2

2? 5? 3 6

?

7? 6

4? 3? 3 2

5? 3

11? 2? 6

x

描图:用光滑曲线 将这些正弦线的终 点连结起来

正弦函数的图象
y 1
? ? 2

o -1

? 2

?

3? 2

2?

x

y=sinx x?[0,2?] y=sinx x?R
-4? -3? -2? -?

y
1

正弦曲线

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

在函数 y ? sin x, x ?[0, 2? ] 的图象上,
起关键作用的点有:
y

(

?
2

,1)

最高点: 1(0,0)
-1

与x轴的交点:
(? ,0)
(2? ,0)
4? 3 3? 2 5? 3 11? 6 2? 3 5? 6

o

? 6

?
3

?
2

?

7? 6

2?

x

-

-1 -

最低点: ( 3? ,?1)
2

在精度要求不高的情况下,我们可以利用这5个点画出函数 的简图,一般把这种画图方法叫“五点法”。

正弦函数的“五点画图法”
x
sinx y 1
● ●

0 0

?
2

? 0

3? 2

2? 0

1

-1

0

? 2

?



3? 2




2?

x

-1

二、余弦函数的图象
y
1 -4? -3? -2? -?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

正弦函数的图象
y ? sin x 的图象
向左平移 个单位

? 2

正弦曲 线 ?? ? y ? cos x ? sin ? x ? ?的图象 2? ? 余弦曲 线
?
2?

余弦函数的图象 y
1 -4? -3? -2? -?

o
-1

3?

4?

5?

6?

x

在函数 y ? cos x, x ?[0, 2? ] 的图象上,

起关键作用的点有:
与x轴的交点: (0,1) 最高点: 13? ?
-

y

(2? ,1)
5? 3 11? 6

(

2
?
2

,0 )
2? 3

(

2
4? 3

,0 )
3? 2

-1

o
-1 -

? 6

?
3

5? 6

?

7? 6

2?

x

最低点: (? ,?1)

-

余弦函数的“五点画图法”
x
cosx 0 1
?
2

? -1

3? 2

2? 1

0

0

y
1
● ●

o
-1

● ? 2

?


3? 2



2?

x

在函数 y ? cos x, x ?[0, 2? ] 的图象上,

起关键作用的点有: 简图作法: (五点作图法)

(1)列表 ( 列出对图象形状起关键 y 与x轴的交点: (2? ,1) 作用的五点坐标 ); ( 0 , 1 ) 最高点: 3? ?
-

1-

(

(2)描点 (定出五个关键点 ); o ? ? ?
-

2

,0 )
2? 3

(

2

,0 )
3? 2

-1

?

6

3

2

5? 6

7? 6

4? 3

5? 3

11? 6

2?

x

(3)连线(用光滑的曲线顺次连结点 ). (? ,?1)
-1 -

最低点:

例1 画出函数y=1+sinx,x?[0, 2?]的简图:

x
sinx 1+sinx
y 2 1

0 0 1

?
2

? 0 1

3? 2

2? 0 1

1 2

-1 0

y=1+sinx,x?[0, 2?]

? ? 2

o -1

? 2

步骤: 1.列表 2.描点 3.连线
x

?

3? 2

2?

y=sinx,x?[0, 2?]

例2 画出函数y= - cosx,x?[0, 2?]的简图:

x
cosx - cosx
y 1
? 2

0 1 -1

?
2

? -1 1

3? 2

2? 1 -1

0 0

0 0

y=cosx,x?[0, 2?]

?

o -1

? 2

?

3? 2

2?

x

y= - cosx,x?[0, 2?]

练习:画出下列函数的简图 (1)y= 2sinx, x?[0, 2?]
x?[0, 2?] (2)y= 1+cosx,

(1)

2 1

y

y=2sinx

-1 -2 y (2) 2 1

? 2

?

3? 2

2?

x

y=1+cosx
? 2
3? 2

?

2?

x

三、正、余弦函数图象的应用
1 例3、 写 出 满 足 不 等 式 sin x ? 的x的 集 合 . 2
1 解:满足不等式 sin x ? 的x的集合为 2 ? 5? { x | ? 2 k? ? x ? ? 2 k? , k ? ? } 6 6

1 练习:写出满足不等式 sin x ? ? 的x的集合. 2
1 解:满足不等式 sin x ? ? 的x的集合为 2 ? 7? { x | ? ? 2 k? ? x ? ? 2 k? , k ? ? } 6 6

1 3 例 4.利用正弦曲线,求满足 <sin x≤ 的 x 的集合. 2 2

1 3 所以 <sin x≤ 的解集为 2 2 π π 2π 5π {x| +2kπ<x≤ +2kπ,或 +2kπ≤x< +2kπ,k∈ Z}. 3 6 3 6

练习: 函数 y= 2cos x ? 1 的定义域是__________. 解析:要使函数有意义需 2cos x-1≥0,
1 ∴ cos x≥ , 2 π π 结合三角函数图象知 - +2kπ≤x≤ +2kπ,k∈ Z, 3 3 π π 因此函数的定义域是 [- +2kπ, +2kπ],k∈ Z. 3 3 π π 答案:[ - +2kπ, +2kπ],k∈ Z 3 3

课堂小结:
1. 正弦曲线、余弦曲线

几何画法 五点法

2.注意与诱导公式、三角函数线等知识的联系
y 1
? 2

y=cosx,x?[0, 2?]
? 2

?

o -1

?

3? 2

2?

x

y=sinx,x?[0, 2?]

3. 三角函数图象的应用


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