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华师一附中2012届高三(新课标)第一轮复习教案(第九章)第二讲:空间几何体的表面积与体积


第二讲

空间几何体的表面积和体积

教学目的:了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式) 。 教学重点:了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式) 。 教学难点:了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式) 。 【知识概要】
知识点 1 多面体的面积和体积公式 名称 棱 柱 棱柱 直棱柱 棱锥 正棱锥 棱台 棱 台 正棱台 侧面积(S 侧) 直截面周长×l 全面积(S 全) 体 积(V)

S 底· h=S 直截面· h S 侧+2S 底 S 底· h S 侧+S 底
1 S 底· h 3
1 h(S 上底+S 下底 3

ch 各侧面积之和

棱 锥

1 ch′ 2
各侧面面积之和

1 (c+c′)h′ 2

S 侧+S 上底+S 下底

+ S下底 ? S下底 )

表中 S 表示面积,c′、c 分别表示上、下底面周长,h 表斜高,h′表示斜高,l 表示侧棱长。 知识点 2 旋转体的面积和体积公式 名称 圆柱 2πrl 2πr(l+r) πr2h(即 πr2l) 圆锥 πrl πr(l+r) 圆台 π(r1+r2)l π(r1+r2)l+π(r21+r22) 4πR2 球

S侧 S全
V

1 2 πr h 3

1 πh(r21+r1r2+r22) 3

4 πR3 3

表中 l、h 分别表示母线、高,r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径,r1、r2 分别表示圆台 上、下底面半 径,R 表示半径

【基础题典例解析】
例 1 (柱体的体积和表面积) 一个长方体全面积是 20cm2,所有棱长的和是 24cm,求长方体的对角线长. 解:设长方体的长、宽、高、对角线长分别为 xcm、ycm、zcm、lcm,∴ ? 由(2)2 得:x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36 (3) 即 l2=16,所以 l=4(cm)。 例 2 (锥体的体积和表面积)

?2( xy ? yz ? zx) ? 20 (1) ( 2) ?4( x ? y ? z ) ? 24

由(3)-(1)得 x2+y2+z2=16

已知正方体 AC1 的棱长为 a,E,F 分别为棱 AA1 与 CC1 的中点,求四棱锥 A1 ? EBFD1 的体积。
a 5 解:因为 EB ? BF ? FD1 ? D1E ? a 2 ? ( ) 2 ? a ,所以四棱锥 A1 ? EBFD 的底面是菱形,连接 EF, 1 2 2
第二讲 空间几何体的表面积与体积 1

则△EFB≌△EFD1,由于三棱锥 A1 ? EFB 与三棱锥 A1 ? EFD1 等底同高,
1 1 所以 VA1 ? EBFD1 ? 2VA1 ? EFB ? 2 ? ? S?EBA1 ? a ? a3 。 3 6

例 3 (球的体积和表面积) 如图所示,球面上有四个点 P、A、B、C,如果 PA,PB,PC 两两互相垂直,且 PA=PB=PC=a,求 这个球的表面积。 解:如图,设过 A、B、C 三点的球的截面圆半径为 r,圆心为 O′,球心到该圆面的距离为 d。 在三棱锥 P—ABC 中,∵PA,PB,PC 两两互相垂直,且 PA=PB=PC=a, ∴AB=BC=CA=a,且 P 在 △ABC 内的射影即是△ABC 的中心 O′。由正弦定理,得 =2r,∴r=

6 a。又根据球的截面的性质,有 3
2 2

OO′⊥平面 ABC,而 PO′⊥平面 ABC,∴P、O、O′共线,球的半径 R= r ? d 。
2 2 又 PO′= PA ? r = a ?

2

3 2 2 a = a, ∴OO′=R - 3 3

3 3

a=d= R ? r ,(R-
2 2

3 3

a)2=R2 – (

6 2 a) , 3

解得 R=

3 a,∴S 球=4πR2=3πa2。 2

指出:本题也可用补形法求解。将 P—ABC 补成一个正方体,由对称性可知,正方体内接于球,则球 的直径就是正方体的对角线,易得球半径 R=

3 a,下略 2

例 4 (组合体中的体积和表面积) (1)表面积为 324? 的球,其内接正四棱柱的高是 14 ,求这个正四棱柱的表面积。 (2)正四面体 ABCD 的棱长为 a,球 O 是内切球,球 O1 是 与正四面体的三个面和球 O 都相切的一个小球, 求球 O1 的体积。 解: (1)设球半径为 R ,正四棱柱底面边长为 a , 则作轴截面如图, AA? ? 14 , AC ?
2 又∵ 4? R ? 324? ,∴ R ? 9 , AC ?

2a ,
AC ?2 ? CC ?2 ? 8 2 ,
王新敞
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∴ a ? 8 ,∴ S表 ? 64 ? 2 ? 32 ?14 ? 576

(2)如图,设球 O 半径为 R,球 O1 的半径为 r,E 为 CD 中点,球 O 与平面 ACD、BCD 切于点 F、 G,球 O1 与平面 ACD 切于点 H 由题设 AG ?
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AE 2 ? GE 2 ?

6 a 3

王新敞
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6 a?R R 6 3 ? a ∵△AOF∽△AEG ,∴ ,得 R ? 12 3 3 a a 6 2

王新敞
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第二讲

空间几何体的表面积与体积

2

∵△AO1H∽△AOF,∴

6 3 a ? 2R ? r r 6 4 3 4 ? 6 ? 6 3 3 ? ? ,得 r ? a ∴ V球O1 ? ?r ? ? ? ? 24 a ? ? 1728 a R 24 3 3 ? 6 ? a?R 3
王新敞
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【综合题典例解析】
例1 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,AB=8,AD=4 3 ,侧面 PAD 为等边三角形,

并且与底面所成二面角为 60° 。 (1)求四棱锥 P-ABCD 的体积; (2)证明:PA⊥BD。 解: 1) ( 如图, AD 的中点 E, 取 连结 PE, PE⊥AD。 PO⊥平面 ABCD, 则 作 垂足为 O,连结 OE。根据三垂线定理的逆定理得 OE⊥AD,所以∠PEO 为 侧面 PAD 与底面所成二面角的平面角。由已知条件可知∠PEO=60° ,PE=6, 所以 PO=3 3 。故四棱锥 P-ABCD 的体积为:VP-ABCD=

1 ×8×4 3 ×3 3 =96。 3

(2)如图,以 O 为原点建立空间直角坐标系,可计算得 P(0,0,3 3 ) , A(2 3 ,-3,0) ,B(2 3 ,5,0) ,D(-2 3 ,-3,0) ,则 , 。因为 PA · =0, PA =(2 3 ,-3,-3 3 ) BD =(-4 3 ,-8,0) BD 所以 PA⊥BD。 例 2 如图, 四面体 ABCD 中, AB、 BC、 两两互相垂直, AB=BC=2, BD 且 E 是 AC 中点, 异面直线 AD 与 BE 所成角的大小为 arccos

10 , 求四面体 ABCD 10

的体积。 解:如图,建立空间直角坐标系,由题意,有 A(0,2,0) ,C(2,0,0) , E(1,1,0) ,B(0,0,0) 。设 D 点的坐标为(0,0,z) (z>0) ,则 , 。 BE =(1,1,0) AD (0,-1,z) 设 BE 与 AD 所成角为 θ,则 AD · = 2 · 4 ? z 2 θ=-2,且 AD 与 BE BE 所成的角的大小为 arccos

2 1 10 .∴cos2θ= ? ,解得 z=4, 2 10 10 4?2

故 BD 的长度为 4,故 VA-BCD=

1 1 8 8 AB×BC×BD= ×2×2×4= 。因此,四面体 ABCD 的体积为 。 6 6 3 3 例 3 如图所示,在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,已知 AB=5,AD=4,AA1=3,AB⊥AD,

∠A1AB=∠A1AD=

? 。 3

(1)求证:顶点 A1 在底面 ABCD 上的射影 O 在∠BAD 的平分线上; (2)求这个平行六面体的体积

第二讲

空间几何体的表面积与体积

3

解: (1)如图 2,连结 A1O,则 A1O⊥底面 ABCD。作 OM⊥AB 交 AB 于 M,作 ON⊥AD 交 AD 于 N,连结 A1M,A1N。由三垂线定得得 A1M⊥AB,A1N⊥AD。∵∠A1AM=∠A1AN, ∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA,∴A1M=A1N,从而 OM=ON。∴点 O 在∠BAD 的平分线上。 (2) ∵AM=AA1cos=3×=

3 9 9 AM 3 = 又在 Rt△AOA1 中, 1O2=AA12 – AO2=9- = , A 2。 , ∴AO= ? 2 2 2 2 cos 4

例 4 (2009 年广东卷文) 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 4 所示,墩的上半部分是正四棱 锥 P-EFGH,下半部分是长方体 ABCD-EFGH.图 5、图 6 分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图. (1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图; (2)求该安全标识墩的体积 (3)证明:直线 BD ? 平面 PEG 解:(1) 侧视图同正视图,如下图所示. (2)该安全标识墩的体积为:

V ? VP ? EFGH ? VABCD ? EFGH

1 ? ? 402 ? 60 ? 402 ? 20 ? 32000 ? 32000 ? 64000 3

? cm ?
2

(3)如图,连结 EG,HF 及 BD,EG 与 HF 相交于 O,连结 PO. 由正四棱锥的性质可知, PO ? 平面 EFGH , ? PO ? HF ,又 EG ? HF ,

? HF ? 平面 PEG,又 BD P HF ,? BD ? 平面 PEG;∴A1O=
3 2 ? 30 2 。 2

3 2 , 2

平行六面体的体积为 V ? 5 ? 4 ?

例 5(2009 安徽卷文)如图,ABCD 的边长为 2 的正方形,直线 l 与平面 ABCD 平行,g 和 F 式 l 上 的两个不同点,且 EA=ED,FB=FC, 和 是平面 ABCD 内的两点, 和 都与平面 ABCD 垂直, (Ⅰ)证明:直线 垂直且平分线段 AD: (Ⅱ)若∠EAD=∠EAB=60° ,EF=2,求多面体 ABCDEF 的体积。
.

解: (Ⅰ)由于 EA=ED 且 ED ' ? 面ABCD ? E ' D ? E ' C ,

? 点 E ' 在线段 AD 的垂直平分线上,同理点 F ' 在线段 BC 的垂直平分线上.又 ABCD 是四方形,? 线段 BC 的垂直平分线也就是线段 AD 的垂直平分线即点 E ' F ' 都居线段 AD 的垂直平分线上. 所以,直线 E ' F ' 垂直 平分线段 AD. EC (Ⅱ) 连接 EB、 由题意知多面体 ABCD 可分割成正四棱锥 E—ABCD 和正四面体 E—BCF 两部分.
.

第二讲

空间几何体的表面积与体积

4

设 AD 中点为 M,在 Rt△MEE ' 中,由于 ME ' =1, ME ? 3 ? EE ' ? 2 .

?VE —ABCD 1

1 4 2 ? ? S四方形 ABCD ? EE ' ? ? 22 ? 2 ? 3 3 3

又 V —BCF=VC-BEF=VC-BEA=VE-ABC
E

1 1 1 2 2 , ? S? ABC ? EE ' ? ? ? 22 ? 2 ? 3 3 2 3

?多面体 ABCDEF 的体积为 VE—ABCD+VE—BCF= 2 2 。

补充参考习题:
1.(2009 全国卷Ⅰ理)直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的各顶点都在同一球面上,若 AB ? AC ? AA1 ? 2 ,

?BAC ? 120? ,求此球的表面积。
解: 在 ?ABC 中 AB ? AC ? 2 , ?BAC ? 120? ,可得 BC ? 2 3 ,由正弦定理,可得 ?ABC 外接圆半径 r=2,设此圆圆心为 O? , 球心为 O , R ? O 在 T O B
2 ? 中, 易得球半径 R ? 5 , 故此球的表面积为 4? R ? 20? .

2.已知过球面上 A, B, C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半,且 AB ? BC ? CA ? 2 ,求球的表面 积 解:设截面圆心为 O? ,连结 O?A ,设球半径为 R ,则 O?A ?

2 3 2 3 ? ?2 ? , 3 2 3

在 Rt ?O?OA 中, OA ? O?A ? O?O ,∴ R ? (
2 2 2
2

2 3 2 1 2 4 64 ) ? R ,∴ R ? ,∴ S ? 4? R 2 ? ? 。 3 4 3 9

3. (1)我国首都靠近北纬 40 纬线,求北纬 40 纬线的长度等于多少 km ?(地球半径大约为 6370km ) (2)在半径为 13cm 的球面上有 A, B, C 三点, AB ? BC ? AC ? 12cm ,求球心到经过这三点的截面 的距离。 解: (1)如图, A 是北纬 40 上一点, AK 是它的半径,∴ OK ? AK ,设 C 是北纬 40 的纬线长,
? ?

?

?

∵ ?AOB ? ?OAK ? 40 ,∴ C ? 2? ? AK ? 2? ? OA ? cos ?OAK ? 2? ? OA ? cos 40
?

?

? 2 ? 3.14 ? 6370 ? 0.7660 ? 3.066 ?104 (km) 。
(2)设经过 A, B, C 三点的截面为⊙ O? ,设球心为 O ,连结 OO? ,则 OO? ? 平面 ABC ,

第二讲

空间几何体的表面积与体积

5

∵ AO? ?

3 2 ?12 ? ? 4 3 ,∴ OO? ? OA2 ? OA?2 ? 11 ,∴球心到截面距离为11cm . 2 3
?

4.在北纬 45 圈上有 A, B 两点,设该纬度圈上 A, B 两点的劣弧长为 点间的球面距离 解:设北纬 45 圈的半径为 r ,则 r ?
?

2 ? R ( R 为地球半径) A, B 两 ,求 4

2 R ,设 O? 为北纬 45? 圈的圆心, ?AO' B ? ? , 4

∴?r ?

2 2 2 ? ? ? R ,∴ R? ? ? R ,∴ ? ? ,∴ AB ? 2r ? R ,∴ ?ABC 中, ?AOB ? , 4 2 4 2 3

∴ A, B 两点的球面距离等于

? R. 3

5.正四面体的性质:设正四面体的棱长为 a,则这个正四面体的 (1) 全面积:S 全= 3 a2; (2) 体积:V=

2 3 a; 12 6 a; 4

(3) 对棱中点连线段的长:d=

2 a; 2

(4) 内切球半径:r=

6 a; 12

(5) 外接球半径 R=

(6) 正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高)。 6.直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.直角四面体有下列性质: 如图,在直角四面体 AOCB 中,∠AOB=∠BOC=∠COA=90° ,OA=a,OB=b,OC=c。则: ① 不含直角的底面 ABC 是锐角三角形; ② 直角顶点 O 在底面上的射影 H 是△ABC 的垂心; ③ 体积 V=

1 abc; 6

④ 底面△ABC=

1 2

a 2b 2 ? b 2c2 ? c2a 2 ;

⑤ S2△ABC=S△BHC· △ABC; S ⑦

⑥ S2△BOC=S2△AOB+S2△AOC=S2△ABC

1 1 1 1 = 2 + 2 + 2 ; 2 OH a b c 1 a 2 ? b2 ? c2 ; ⑧ 外切球半径 R= 2
⑨ 内切球半径 r=

S ?AOB ? S ?BOC - S ?ABC a?b?c

7. 球的截面 用一个平面去截一个球,截面是圆面. (1) 过球心的截面截得的圆叫做球的大圆;不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆; (2) 球心与截面圆圆心的连线垂直于截面; (3) 球心和截面距离 d,球半径 R,截面半径 r 有关系:r= R - d .
第二讲 空间几何体的表面积与体积 6
2 2

8.经度、纬度: 经线:球面上从北极到南极的半个大圆;

纬线:与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆;

经度:某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的 半平面与 0 经线及轴确定的半平面所成的二面角 的度数 纬度:某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数。 9. 两点的球面距离: 球面上两点之间的最短距离,就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度,我们把这个弧长叫 做两点的球面距离 两点的球面距离公式: (其中 R 为球半径, ? 为 A,B 所对应的球心角的弧度数)
王新敞
奎屯 新疆

?

第二讲

空间几何体的表面积与体积

7


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