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2018版高中数学人教B版必修一学案:第三单元 疑难规律方法 Word版含答案

1 指数与指数运算疑点透析 一、如何理解 n 次方根的概念 n 若一个数 x 的 n 次方等于 a, 那么 x 怎么用 a 来表示呢?是 x= a吗?这个回答是不完整的. 正 确表示应如下: a,n为奇数, ? ? x=?± a,n为偶数,a>0, 不存在,n为偶数,a<0, ? ?0,a=0, n n 主要性质有: ①当 n 为奇数时, n an=a; ?a,a≥0, ? ②当 n 为偶数时, n an=|a|=? ? ?-a,a<0. 二、如何理解分数指数幂的意义 m 分数指数幂 a n 不可以理解为 个 a 相乘, 它是根式的一种新的写法. 规定 a n = am(a>0, m, n n∈N+,且 n>1), a ? m n m m n = 1 a m m = 1 n a m (a>0,m,n∈N+,且 n>1),在这样的规定下,根式与 分数指数幂表示相同意义的量, 它们只是形式上的不同而已.0 的正分数指数幂为 0,0 的负分数 指数幂无意义,负数的分数指数幂是否有意义,应视 m,n 的具体数而定. 三、分数指数幂和整数指数幂有什么异同 相同:分数指数幂与整数指数幂都是有理指数幂,都可以利用有理指数幂的运算性质进行运 算.其运算形式为 ar· as=ar s;(ar)s=ars;(ab)r=ar· br,式中 a>0,b>0,r、s∈Q,对于这三 + 条性质,不要求证明,但需记准. 不同:整数指数幂表示的是相同因式的连乘积,而分数指数幂是根式的一种新的写法,它表 示的是根式. 四、指数幂的运算 在这里要注意的是,对于计算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负 指数. 例 1 化简 a 2 a ?3 ? 3 9 3 1 a ?7 3 a13 . 1 1 2 1 3 ? ?7 1 ? 9 ?3 2 ? 13 3 ? 3 2 解 原式 ? ? a (a ) ? ? ?(a ) (a ) ? ? ? ? ? ? (a a ) ? (a 4 9 6 ? 1 2 17 ? 6 a )?a 13 6 9 7 3 13 ? ? ? 6 6 6 6 ? a 0 ? 1. 例 2 求 81 ? 9 的值. 4 1 4 ? ? 解 原式= ?34 ? (33 ) 2 ? ? ? 4+ 2 3 2 3 1 =(3 ) =3 1 4 14 4 ? 3 1 6 =3 =3 3. 7 6 例 1、例 2 两道例题都既含有分数指数幂又有根式,应该把根式统一化成分数指数幂的形式, 便于计算. 2 解读指数函数的四个难点 在学习了指数函数的性质后,下面来分析突破指数函数的几大难点,供同学们学习掌握. 难点之一:概念 指数函数 y=ax 有三个特征:①指数:指数只能是自变量 x,而不能是 x 的函数;②底数:底 数为常数,大于 0 且不等于 1;③系数:系数只能是 1. 例 1 给出五个函数:①y=2×6x;②y=(-6)x;③y=πx; ④y=xx;⑤y=22x 1. + 以上是指数函数的个数是________. 分析 义. 根据所给的函数对系数、底数、指数三个方面进行考查,判断是否满足指数函数的定 解析 对于①,系数不是 1;对于②,底数小于 0;对于④,底数 x 不是常数;对于⑤,指数 是 x 的一次函数,故①、②、④、⑤都不是指数函数.正确的是③,只有③符合指数函数的定 义. 答案 1 难点之二:讨论 指数函数 y=ax(a>0,且 a≠1),当 a>1 时,是增函数;当 0<a<1 时,是减函数. a 例 2 函数 y=ax(a>0,且 a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大 ,求 a 的值. 2 分析 遇到底数是参数时,应优先分类讨论,此题应先对 a 进行分类讨论,再列出方程并求 出 a. a 解 当 a>1 时,函数 y=ax 在[1,2]上的最大值是 a2,最小值是 a,依题意得 a2-a= ,即 a2 2 3a 3 = ,所以 a= ;当 0<a<1 时,函数 y=ax 在[1,2]上的最大值是 a,最小值是 a2,依题意得 2 2 a a 1 a-a2= ,即 a2= ,所以 a= . 2 2 2 3 1 综上可知,a= 或 a= . 2 2 难点之三:复合 指数函数 y=ax(a>0,且 a≠1)与一次函数、反比例函数及二次函数等进行复合时,特别是研 究单调性时,应掌握好“同增异减”法则. 1 例 3 求函数 y=( ) 3 -x2+x+2 的单调递减区间. 分析 指数函数与指数型复合函数的区别在于, 指数自变量是 x 还是 x 的函数. 此题先求出函 数的定义域,再利用复合函数的“同增异减”法则求解. 解 由-x2+x+2≥0 知,函数的定义域是[-1,2]. 1 9 1 令 u=-x2+x+2=-(x- )2+ ,则 y=( ) 2 4 3 u , 1 1 当 x∈[-1, ]时,随 x 的增大,u 增大,y 减小,故函数的递减区间为[-1, ]. 2 2 难点之四:图象 指数函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的图象特征是:当 a>1 时,在 y 轴的右侧,a 越大,图象越往 上排;在 y 轴左侧,a 越大,图象越往下排.当 0<a<1 时恰好相反. 例 4 利用指数函数的图象比较 0.7 -0.3 与 0.4 -0.3 的大小. 分析 可在同一坐标系中作出 y=0.7x 及 y=0.4x 的图象,从图象中得出结果. 解 如图所示,作出 y=0.7x、y=0.4x 及 x=-0.3 的图象, 易知 0.7 -0.3 <0.4 -0.3 . 评注 图象应记忆准确,在第二象限中靠近 y 轴的函数应是 y=0.4x,而不是 y=0.7x,这一点 应注意. 3 对数与对数运算学习讲解 1.对数的定义 一般地,如果 ax=N(a>0,且 a≠1),那么 x 叫做以 a 为底 N

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