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高考数学一轮复习 专题9_4 直线与圆、圆与圆的位置关系(讲)

专题 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系 【考纲解读】 要 内 容 A B C 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能根据给定 直线与圆、 平面解析 圆与圆的 几何初步 位置关系 √ 两个圆的方程判断两圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 【直击考点】 题组一 常识题 2 2 求 备注 1.直线 l:mx-y+1-m=0 与圆 C:x +(y-1) =5 的位置关系是________. 【解析】圆心(0,1)到直线 l 的距离 d= 2 2 |m| m2+1 <1< 5,故直线与圆相交. 2.直线 3x+4y-5=0 与圆 x +y =4 相交于 A,B 两点,则弦 AB 的长等于________. 【解析】圆 x +y =4 的圆心(0,0)到直线 3x+4y-5=0 的距离 d=1,则|AB|=2 r -d =2 3. 2 2 2 2 3.圆 x +y -4x=0 在点 P(1, 3)处的切线方程为________________. 2 2 题组二 常错题 2 2 4.过点(2,3)与圆(x-1) +y =1 相切的直线的方程为____________________. 5 .已知两圆 O1 : x + y = 9 , O2 : (x - 3) + (y + 4) = m 相切,则实数 m 的取值组成的集合为 ________________. 【解析】当两圆内切时, |m|-3= 2 2 2 2 2 2 2 (3-0) +(-4-0) ? m=±8;当两圆外切时, 3+|m|= 2 2 3-0) +(-4-0) ? m=±2.所以实数 m 的取值组成的集合为{-8,-2,2,8}. 题组三 常考题 2 2 6. 设直线 y=x+2 2与圆 C:x +y -2 2y-2=0 相交于 A,B 两点,则|AB|=________. 【解析】 x +y -2 2y-2=0,即 x +(y- 2) =4,则圆心为 C(0, 2),半径为 2.C 到直线 y=x |0- 2+2 2| 2 2 +2 2的距离 d= =1,所以|AB|=2 2 -1 =2 3. 2 7 . 若 点 P( - 2 , 2) 在 以 坐 标 原 点 为 圆 心 的 圆 上 , 则 该 圆 在 点 P 处 的 切 线 方 程 为 ________________________________________________________________________. 【解析】依题意圆的方程为 x +y =8,所以该圆在点 P 处的切线方程为-2×x+2×y=8,即 x-y+4 =0. 8. 已知圆 M:x +y -2ay=0(a>0)与圆 N:(x-1) +(y-1) =1 相外切,则 a=________. 【解析】圆 M 的圆心和半径分别为(0,a),a;圆 N 的圆心和半径分别为(1,1),1.依题意,两圆心的 1 2 2 距离等于半径之和,即 (1-0) +(1-a) =1+a,解得 a= . 4 【知识清单】 考点 1 直线与圆相切 1.直线与圆相切:直线与圆有且只有一个公共点; 2.几何法:圆心到直线的距离等于半径,即 d ? r ; 3.代数法: ? ? 0 ,方程组有一组不同的解. 考点 2 直线与圆相交及弦长 1.直线与圆相交:直线与圆有两个公共点; 2.几何法:圆心到直线的距离小于半径,即 d ? r ; 3.代数法: ? ? 0 ,方程组有两组不同的解. 考点 3 圆与圆的位置关系 设两圆的圆心分别为 C1 、 C2 ,圆心距为 d ? C1C2 ,半径分别为 R 、 r ( R ? r ). (1)两圆相离:无公共点; d ? R ? r ,方程组无解. (2)两圆外切:有一个公共点; d ? R ? r ,方程组有一组不同的解. (3)两圆相交:有两个公共点; R ? r ? d ? R ? r ,方程组有两组不同的解. (4)两圆内切:有一公共点; d ? R ? r ,方程组有一组不同的解. (5)两圆内含:无公共点; 0 ? d ? R ? r ,方程组无解.特别地, d ? 0 时,为两个同心圆. 考点 4 直线、圆的位置关系的综合应用 设两圆的圆心分别为 C1 、 C2 ,圆心距为 d ? C1C2 ,半径分别为 R 、 r ( R ? r ). 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1)两圆相离:无公共点; d ? R ? r ,方程组无解. (2)两圆外切:有一个公共点; d ? R ? r ,方程组有一组不同的解. (3)两圆相交:有两个公共点; R ? r ? d ? R ? r ,方程组有两组不同的解. (4)两圆内切:有一公共点; d ? R ? r ,方程组有一组不同的解. (5)两圆内含:无公共点; 0 ? d ? R ? r ,方程组无解.特别地, d ? 0 时,为两个同心圆. 【考点深度剖析】 直线与圆,圆与圆的位置关系一直是高考考查的热点,主要考查: (1)方程中含有参数的直线与圆的位置关系的判断; (2)利用相切或相交的条件确定参数的值或取值范围; (3)利用相切或相交求圆的切线或弦长. 【重点难点突破】 考点 1 直线与圆相切 【1-1】设直线过点 (0, a), 其斜率为 1,且与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切,则 a 的值为 【答案】 ?2 【解析】据题意,设直线方程为 x ? y ? a ? 0 .因为直线与圆相切,所以 2 ? 【1-2】过点 M ? 3,2 ? 作圆 O : x ? y ? 4x ? 2 y ? 4 ? 0 的切线方程是 2 2 ; a 2 ? a ? ?2 . . 【答案】 y ? 2 或 5 x ? 12 y ? 9 ? 0 ?2k ? 1 ? 2 ? 3k k2 ?1 【思想方法】

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