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直线方程x=my+n的简单运用


第 3期 

高中数学教 与学  

直 线 方 程  =m y+   的  一 一   简单运用 
武增明  
( 云南 省玉 溪第 一 中学 , 6 5 3 1 0 0 )  
在 解 析几 何 中 , 直 线 与 圆 锥 曲线 的 位 置  关系是经久不衰 的热点 , 在设 直线 方程 时 , 我  们 总 习惯 用 与 直 线 斜 率 有 关 的 直 线 方 程 , 即  角 为  (   ≠ 0) , 贝 U   m =c o t  .  




简求“ 焦 点 三 角 形 ”面 积 的 最 值 

例 1   设  ,   是椭 圆 2   +3 y  = 6的 

点 斜 式 或斜 截 式 . 这 当然 没有错 , 但 由于 这 些 
直线 方 程 不 能 表 示 与  轴 垂 直 的 直 线 , 故 在 解  答时, 容 易 忽 视 对 斜 率 不 存 在 的 情 形 或 者 运  算较 繁 , 需 要 讨 论 几 种 情 形. 如 果 当 我 们 知 道  直线 的斜 率 不为 零 时 , 可 将 其 方 程 设 为  =   my+n . 这 样 不 仅 可 以避 免 讨 论 直 线 斜 率 的 存  在性 , 而且 有 时 可 大 大 简 化 运 算 .   下 面我 们 首 先 来 看 看 直 线 方 程   = my+   ,  的特 征 , 第 一 是 直 线 与  轴 的 交 点 为 ( n, 0) ;  
第 二 是 此 方 程 能 表 示 与  轴 垂 直 的直 线 ( m =  

左、 右焦点 , 弦A B过  . 求 △F 。 A B的面 积 的最 
大值 .  

分 析  显 然 过 焦点  的 直 线 A B的倾 斜  角 不 为零 , 故 可 设 其 直 线 方 程 为  = m y+ 1 ,  
与椭 圆 2   +3 y  = 6联 立 , 消 去  , 整理得 
( 2 m +3 ) y  +4 my一4 = 0 .  

又设 A(  。 , Y 。 ) , B(   , Y 2 ) , 则 
— —

4m

— — 4  

Y l  Y 2  

:  
1  

’ Y l Y 2  

’  

于 是  S  A 口=  1  l   Fl F 2   1 . 1   Y l— Y 2   l  


0) , 但 不 能 表 示 与 Y轴 垂 直 的 直 线 ; 第 三 是 所 
1  

表 示 直 线 的斜 率 为  ( m ≠ 0) , 若 直 线 的倾 斜 
”● … ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●…

 ̄ / ( y l +y 2 )  一4 y l y 2  

? ●… ? ●… ? ●… ? ●… ? ●…

? ●… ? ●…

? ●… ? ●…

? ●… ? ●… ? ●~ 

正解  令 


+4=t ( t ≥2 ) , 则 y=t  

小值为 4   .   剖析  式 ① 等号成立 时有  =Y , 式 ② 
等号成立时有  :一 2


l   ̄ E [ 2


+∞ ) 上是增 函数 , 从而) , ≥2+  
、 

显 然二者矛盾 , 因此 

、 


÷, 故最小值为÷.  
例4   已知  >0 , y>0 ,  +Y:1 , 求 

Y 

+   最小值 为 4   是错 的.  
正 解  . 。   >0 , Y>0 ,   +Y = 1 ,  
. .  . . 



2 的最 小 值
Y  

+ 

: 

+ 

(  ±  
Y 

Y 

错 解  ? . ?   >0 ,   >0 , . ? .   + Y≥ 2  

,  



由   + ) , = 1 , 得  ≤ { ,  
而  +2
y  y

①  
② 

3 + ( ÷ + 等 ) ≥ 3 + 2  

故  +   最小 值为 3+2   4  ̄ - .  
y  

> 1   2  

、 /  

, ,  

所 以在利用基 本不等式解题 时, 一定要保 
证三个条件均满足 缺一不可 , 在连续使用基本 

由 ① 得_ _ l _ +   ≥4   所 以  + 2 的最 


Y 

Y 

不等式时要保证所有等号成立条件一致.  
?

47 ?  

高 中数学教 与学  

2 0 1 0年  

:  



 

/ 4 8 ( m   +1 )  
( 2 m +3 )  ’  

从而  

I  B   I =  弓 _ _ .  
Sl n  o t  

令 m  +1= t ( t≥ 1 ) , 则 
S 从^ 8 = 4√ 3?  

评 注  在 没直 线 方 程 为  =my+n时 , 要 

注 意 m 与其 倾 斜 角  的关 系 .  
三、 简 易 判 断动 直 线 是 否 过 定 点  例 3   已知 点 A( ‰, 2 )在 曲 线 C: y 2=4 x  

可证明函数  t )= 4 t + ÷, 当t ≥l 时为  
增 函数 , 故 t= 1时  t )的最 小 值 为  1 )=  
5 .  

上, 过 点 A作 曲线 c的两 条 弦 A D, A E, 且A D、   A E的 斜 率 分 别 为 k 。 、 k :满 足 k 。 k := 2 , 试 判 断  动直线 D E 是否 过 定 点 ? 证 明你 的结 论 .   分 析  因为 动 直 线 D E与  轴 相 交 , 且 倾 
斜角可能为 9 O 。 , 又 动 直 线 DE的 倾 斜 角 不 可  能为零 , 故 设 动 直 线 DE的方 程 为  =my+n ,  

所以S  

的 最 大值 为 

.  

此 时 m =0, 即直 线 A B垂 直 于  轴 .   评 注  设 直 线 A B的 方程 为  = my+l ,   避 免 了对 直 线 A B 的 斜 率 存 在 与 不 存 在 的 讨  论 .本 题 恰 好 足 直 线 A B的斜率不存在 时,  

以期 给 运算 带 来 简 化.  

又 设 D ( 等 , Y 1 ) , E ( 等 , Y 2 ) , 易 知 A ( 1 , 2 ) ,  
则  。=  
J l


=  
1  

.  

S  达 到 最 大 值 华. 因 此 , 在 已 知 直 线 过  
轴 上 的某 点 , 或 在 要 考 虑 斜 率 不 存 在 的 直 线  方程时 , 设 此 方 程 形 式 不 仅 能 显 示 出 其 优 越  性, 而 且 能 回避 陷入 僵 局 的情 形 .  
二、 简 求 弦 长或 弦 长 的最 值 
同理 得 

k  

-  

因为 k l k   :2, 所 以  Y l Y 2+2( Y l+Y 2 )一4 = 0 .  
理 得 


(¥)  

例2   过抛物线 Y  =2 p x ( p >0)的焦 点  的一 条 直 线 和 抛 物 线 相 交 于 A, B两 点 , 若 直  线 AB的斜 率 角 为 O l ( O L≠ 0) , 求证 :  
I  A  } : 
si n‘  

把  = my+n与 Y  =4 x联 立 , 消 去 , 整 
4 mv 一 4   =0 .  





于是Y I +Y 2=4 m, Y j Y 2=一4 n , 代人(   )  
.  

式, 得 n =2 m 一1 , 因此动直线 D E的 方 程 为  +1 = m( Y+2) , 由此知 , 动直 线 D E 过 定 点 
(一1 ,一2 ) .  

分 析  若 设 直 线 A B 的 方 程 为 斜 截 式 或  点斜式 , 则 需 要 讨 论 其倾 斜 角 O L 为 直 角 与 非 直 
角两种情形.  

评 注  设 出动 直 线 DE的方 程 为  = my  

由于 直 线 AB不 与 Y轴 垂 直 , 故设 直 线 A B   的 方 程 为  =my+   ( 其 中 m =c o t   a) , 又设  
A(  l , Y 1 ) , B(  2 , Y 2 ) .  

+r g , 避 免 了对 倾 斜 角 为 9 0 。的情 形 的讨 论 , 并 
且 由 于其 方 程 的常 数 项 为 1 7 , , 在 将 直 线 方 程 代  人 曲线 方程 时 , 简化 了运 算 .  

根 据题设 条 件 , 选 用 恰 当 的 直 线 方 程 形  联立 , 消 去 ,  

将  = my+   与Y  =  
整 理 得 

式是 达 到求 简 目 的 的 重 要 手 段 , 一 旦 灵 活 选 
用恰 当 的 方 程 , 就 可 以 大 大 简 化 求 解 过 程.当  直 线 过 圆 锥 曲 线 在  轴 上 的 焦 点 或 直 线 和 圆 

Y  一 2 p my —P   = 0.  

锥曲线相交 , 且 与  轴 相 交 时 , 常 常 可 以 设 出 

于是 Y l   Y 2:2 p m 亭2 p c o t   o t , Y l Y 2 = 一P   .  

直线 方 程 为  = my+n , 这样既避免 了讨论 ,   又 提 高 了 解题 速 度.  

1   A B   I   =( 1+m   ) [ ( Y l+Y 2 )   一4 y I Y 2 ]  


( 1+c o t  ) ( 4 p   c o t   +4 p   )  

?

48 ?  


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