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2015-2016学年人教A版选修2-1 椭圆的简单几何性质 课时作业


2.2.2

椭圆的简单几何性质

课时目标 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.2.明确标准方程中 a,b 以及 c,e 的几何意义,a、b、c、e 之间的相互关系.3.能利用椭圆的几何性质解 决椭圆的简单问题.

1.椭圆的简单几何性质 焦点的 位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上

图形

标准 方程 范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率 2.直线与椭圆
2 2

短轴长=____,长轴长=____

对称轴是______,对称中心是______

x y 直线 y=kx+b 与椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的位置关系: a b y=kx+b ? ? 2 2 直线与椭圆相切??x y 2+ 2=1 ? ?a b y=kx+b ? ? 2 2 ??x y 2+ 2=1 ? ?a b 有______组实数解,即 Δ ______0.直线与椭圆相交

y=kx+b ? ? 2 2 有______组实数解, 即 Δ ______0, 直线与椭圆相离??x y 2+ 2=1 ? ?a b

________实数解,即 Δ ______0.

一、选择题 2 2 1.椭圆 25x +9y =225 的长轴长、短轴长、离心率依次是( 4 4 A.5,3, B.10,6, 5 5 3 3 C.5,3, D.10,6, 5 5

)

2.焦点在 x 轴上,长、短半轴长之和为 10,焦距为 4 5,则椭圆的方程为( 2 2 2 2 x y x y A. + =1 B. + =1 36 16 16 36
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)

C. + =1
2

x 6

2

y 4

2

D. + =1
2

y 6

2

x 4

2

x y 1 3.若焦点在 x 轴上的椭圆 + =1 的离心率为 ,则 m 等于( 2 m 2 3 8 2 A. 3 B. C. D. 2 3 3 4.如图所示,A、B、C 分别

)

x y 为椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的顶点与焦点,若∠ABC=90°,则该椭圆的离心率为( a b

2

2

)

A.

-1+ 5 2

B.1- D.
2 2

2 2

C. 2-1

x y 2 2 5.若直线 mx+ny=4 与圆 O:x +y =4 没有交点,则过点 P(m,n)的直线与椭圆 + 9 4 =1 的交点个数为( ) A.至多一个 B.2 C.1 D.0

2

2

A.(0,1) C.?0,

? ?

2? ? 2? 题 答 号 案 1

? ? 2 ? D.? ,1? ?2 ?
2 3 4 5 6

B.?0, ? 2

? ?

1?

二、填空题 7.已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为 方程为______________. x y 8. 直线 x+2y-2=0 经过椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的一个焦点和一个顶点, 则该椭圆的 a b 离心率等于______. 2 2 x y 9.椭圆 E: + =1 内有一点 P(2,1),则经过 P 并且以 P 为中点的弦所在直线方程为 16 4 ____________. 三、解答题 10.
2 2

5 ,且过点 P(-5,4),则椭圆的 5

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x y 如图,已知 P 是椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)上且位于第一象限的一点,F 是椭圆的右焦点, a b 2 a O 是椭圆中心, B 是椭圆的上顶点, H 是直线 x=- (c 是椭圆的半焦距)与 x 轴的交点, c 若 PF⊥OF,HB∥OP,试求椭圆的离心率 e.

2

2

11.已知椭圆 4x +y =1 及直线 y=x+m. (1)当直线和椭圆有公共点时,求实数 m 的取值范围; (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.

2

2

能力提升 12. 若一个椭圆长轴的长度、 短轴的长度和焦距成等差数列, 则该椭圆的离心率是( 4 3 2 1 A. B. C. D. 5 5 5 3

)

13.已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为 F1(- 3, ? 1? 0),且右顶点为 D(2,0).设点 A 的坐标是?1, ?. ? 2? (1)求该椭圆的标准方程; (2)若 P 是椭圆上的动点,求线段 PA 的中点 M 的轨迹方程.

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1.椭圆的范围实质就是椭圆上点的横坐标和纵坐标的取值范围,在求解一些存在性和 判断性问题中有着重要的应用. 2.椭圆既是一个轴对称图形,又是一个中心对称图形.椭圆的对称性在解决直线与椭 圆的位置关系以及一些有关面积的计算问题时,往往能起到化繁为简的作用. 3.椭圆的离心率是反映椭圆的扁平程度的一个量,通过解方程或不等式可以求得离心 率的值或范围. 4.在与椭圆有关的求轨迹方程的问题中要注意挖掘几何中的等量关系. 2.2.2 知识梳理 1. 焦点的 位置 椭圆的简单几何性质

焦点在 x 轴上

焦点在 y 轴上

图形

标准 方程 范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率 2.一 = 二 > 没有 < 作业设计

x2 y2 + =1 a2 b2

y2 x2 + =1 a2 b2

-a≤x≤a,-b≤y≤b -b≤x≤b,-a≤y≤a (±a,0),(0,±b) (±b,0),(0,±a) 短轴长=2b,长轴长=2a (±c,0) (0,±c) 2c=2 a -b 对称轴是坐标轴,对称中心是原点
2 2

c e= ,0<e<1 a

1.B [先将椭圆方程化为标准形式: + =1, 9 25 其中 b=3,a=5,c=4.] 2.A 3.B 2 2 2 2 4.A [由(a+c) =a +2b +c , 2 2 2 2 2 ∵b =a -c ,∴c +ac-a =0, c -1+ 5 2 ∵e= ,∴e +e-1=0,∴e= .] a 2 4 2 2 5.B [∵ 2 >2,∴ m +n <4. m +n2 ∴点 P(m,n)在椭圆 + =1 的内部, 9 4 ∴过点 P(m,n)的直线与椭圆 + =1 有两个交点.] 9 4

x2

y2

x2 y2

x2 y2

第 4 页 共 6 页

∴M 点轨迹方程为 x +y =c ,其中 F1F2 为直径, 2 2 2 由题意知椭圆上的点在圆 x +y =c 外部, 设点 P 为椭圆上任意一点,则|OP|>c 恒成立, 由椭圆性质知|OP|≥b,其中 b 为椭圆短半轴长, 2 2 2 2 2 2 ∴b>c,∴c <b =a -c ,∴a >2c , c 2 2 ?c?2 1 ∴? ? < ,∴e= < .又∵0<e<1,∴0<e< .] a 2 2 ?a? 2 7. + =1 45 36

2

2

2

x2

y2

x2 y2 解析 设椭圆的方程为 2+ 2=1 (a>b>0), a b
25 16 将点(-5,4)代入得 2 + 2 =1,

a

b

又离心率 e= =
2

c a

5 c a -b 1 2 ,即 e = 2= 2 = , 5 a a 5
2

2

2

2

解之得 a =45,b =36,故椭圆的方程为 + =1. 45 36 2 5 5 解析 由题意知椭圆的焦点在 x 轴上,又直线 x+2y-2=0 与 x 轴、y 轴的交点分别为 8. (2,0)、(0,1),它们分别是椭圆的焦点与顶点,所以 b=1,c=2,从而 a= 5,e= = 2 5 . 5 9.x+2y-4=0 解析 设弦的两个端点为 M(x1,y1),N(x2,y2),

x2

y2

c a

x y ? ?16+ 4 =1 则? x y ?16+ 4 =1 ?
2 2 2 2

2 1

2 1



?x1+x2??x1-x2? ?y1+y2??y1-y2? 两式相减,得 + =0. 16 4 y1-y2 又 x1+x2=4,y1+y2=2,kMN= , x1-x2 1 ∴kMN=- ,由点斜式可得弦所在直线的方程为 2 1 y=- (x-2)+1,即 x+2y-4=0. 2 10.解 依题意知 H?- ,0?,F(c,0),B(0,b). c 设 P(xP,yP),且 xP=c,代入到椭圆的方程,
2 ? a ?

? ?

b2? b2 ? 得 yP= .∴P?c, ?. a ? a? b2 b-0 a 2 ∵HB∥OP,∴kHB=kOP,即 = .∴ab=c . a2 c 0+ c

第 5 页 共 6 页

∴e= = ,∴e =
4 2

c b a c

2

a2-c2 -2 =e -1. c2
5-1 . 2
2 2

∴e +e -1=0.∵0<e<1,∴e= 11.解
?4x +y =1, ? (1)由? ?y=x+m, ?
2 2

得 5x +2mx+m -1=0.

因为直线与椭圆有公共点, 2 2 所以 Δ =4m -20(m -1)≥0. 5 5 解得- ≤m≤ . 2 2 (2)设直线与椭圆交于 A(x1,y1)、B(x2,y2), 2 2 由(1)知,5x +2mx+m -1=0, 2m 由根与系数的关系得 x1+x2=- , 5 1 2 x1x2= (m -1). 5 设弦长为 d,且 y1-y2=(x1+m)-(x2+m)=x1-x2, 2 2 2 ∴d= ?x1-x2? +?y1-y2? = 2?x1-x2? 2 = 2[?x1+x2? -4x1x2] 2 ?4m 4 2 ? = 2? - ?m -1?? ? 25 5 ? 2 2 = 10-8m . 5 ∴当 m=0 时,d 最大,此时直线方程为 y=x. 2 2 2 12.B [由题意知 2b=a+c,又 b =a -c , 2 2 2 2 ∴4(a -c )=a +c +2ac. 2 2 2 2 ∴3a -2ac-5c =0.∴5c +2ac-3a =0. 3 2 ∴5e +2e-3=0.∴e= 或 e=-1(舍去).] 5 13.解 (1)∵a=2,c= 3,∴b= a -c =1. ∴椭圆的标准方程为 +y =1. 4 (2)设 P(x0,y0),M(x,y),由中点坐标公式,
2 2

x

2 2

? 2, 得? 1 y+ 2 ?y= 2 ,
x= x0+1
0

x0=2x-1, ? ? ∴? 1 y0=2y- . ? 2 ?

2 1?2 ?2x-1? ? 又∵ +y =1,∴ +?2y- ? =1 2? 4 4 ? 即为中点 M 的轨迹方程. 2 0

x2 0

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