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2016届数学一轮(文科)北师大版 第四章 三角函数、解三角形 第5讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用_图文

第5讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图像 及应用
? 夯基释疑 考点一 概要 ? 考点突破 考点二 考点三 ? 课堂小结 例1 例2 例3 训练1

训练2
训练3

夯基释疑

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)利用图象变换作图时“先平移, 后伸缩”与“先伸缩, 后 平移”中向左或向右平移的长度一样.( ) (2)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0)的最大值为 A, 最小值为 -A.( ) (3) 函数 f(x) = Asin(ωx + φ) 的图象的两个相邻对称轴间 的距离为一个周期.( ) (4)函数 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 T,那么函数图 T 象的两个相邻对称中心之间的距离为 .( ) 2

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考点突破 考点一 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
例1 设函数 f(x)=sin ωx+ 3cos ωx(ω>0)的周期为 π.

(1)求它的振幅、初相; (2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象; (3)说明函数 f(x)的图象可由 y=sin x 的图象经过怎样的变换而得到.

解 (1)f(x)=sin ωx+ 3cos ωx
?1 =2? sin ?2 ? ? π? 3 ωx+ cos ωx?=2sin?ωx+3?, 2 ? ? ? 2π 又∵T=π,∴ ω =π,即 ω=2. ? π? ∴f(x)=2sin?2x+3 ?. ? ?

π ∴函数 f(x)=sin ωx+ 3cos ωx 的振幅为 2,初相为 . 3
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考点突破 考点一 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
例1 设函数 f(x)=sin ωx+ 3cos ωx(ω>0)的周期为 π.

(1)求它的振幅、初相; (2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象; (3)说明函数 f(x)的图象可由 y=sin x 的图象经过怎样的变换而得到.
? π? π 解 (2)令 X=2x+3,则 y=2sin?2x+3 ?=2sin X. ? ? 列表,并描点画出图象: π π π 7π 5π x - 6 12 3 12 6 π 3π X π 0 2π 2 2 y=sin X 0 1 0 -1 0 ? π? y=2sin?2x+3 ? 0 2 0 -2 0 ? ?
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考点突破 考点一 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
例1 设函数 f(x)=sin ωx+ 3cos ωx(ω>0)的周期为 π.

(1)求它的振幅、初相; (2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象; (3)说明函数 f(x)的图象可由 y=sin x 的图象经过怎样的变换而得到.

π 解 (3)法一 把 y=sin x 的图象上所有的点向左平移3个单位, ? π? 得到 y=sin?x+3 ?的图象; ? ? ? π? 1 再把 y=sin?x+3 ?的图象上的点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变), 2 ? ? ? π? 得到 y=sin?2x+3 ?的图象; ? ? ? π? 最后把 y=sin?2x+3 ?上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变), ? ? ? π? 即可得到 y=2sin?2x+3?的图象. ? ?
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考点突破 考点一 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
例1 设函数 f(x)=sin ωx+ 3cos ωx(ω>0)的周期为 π.

(1)求它的振幅、初相; (2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象; (3)说明函数 f(x)的图象可由 y=sin x 的图象经过怎样的变换而得到.
1 解 (3)法二 将 y=sin x 的图象上每一点的横坐标 x 缩短为原来的2倍, 纵坐标不变, 得到 y=sin 2x 的图象; π 再将 y=sin 2x 的图象向左平移 个单位, 6
? ? π? π? 得到 y=sin 2?x+6 ?=sin?2x+3 ?的图象; ? ? ? ? ? ? π ? 再将 y=sin 2x+3 ?的图象上每一点的横坐标保持不变, ? ? ? π? 纵坐标伸长到原来的 2 倍, 得到 y=2sin?2x+ ?的图象. 3? ?
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考点突破 考点一 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换

规律方法
(1)五点法作图:用“五点法”作 y=Asin(ωx+φ)的简图,主 π 3 要是通过变量代换,设 z=ωx+φ,由 z 取 0, ,π, π,2π 来 2 2 求出相应的 x, 通过列表, 计算得出五点坐标, 描点后得出图象. (2)图象的变换:由函数 y=sin x 的图象通过变换得到 y= Asin(ωx+φ)的图象有两种途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后 平移”.

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考点突破 考点一 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
【训练 1】 设函数
? ? π f(x)=cos(ωx+φ)?ω>0,-2<φ<0?的最小正 ? ?

3 周期为 π,且 .(1)求 ω 和 φ 的值; 2 (2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0,π]上的图象.(坐标系见 下页)
解析

?π? f?4 ?= ? ?

2π (1)∵T= ω =π,ω=2,

?π? ? π ? f?4 ?=cos?2×4+φ?= ? ? ? ?

3 , 2

3 ∴sin φ=- , 2 π π 又- <φ<0,∴φ=- . 2 3
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考点突破 考点一 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
【训练 1】设函数
? ? π f(x)=cos(ωx+φ)?ω>0,-2<φ<0?的最小正 ? ?

3 周期为 π,且 .(1)求 ω 和 φ 的值; 2 (2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0,π]上的图象. ? π? 图象如图. (2)由(1)得 f(x)=cos?2x-3 ?, 列表: ? ?
2x- π 3 x f(x) π - 3 0 1 2 0 π 6 1 π 2 5 π 12 0 π 2 π 3 -1 3 π 2 11 π 12 0 5 π 3 π 1 2
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?π? f?4 ?= ? ?

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考点突破 考点二 由图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
【例题 2】函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分 图象如图所示,则函数 f(x)的解析式为________.

解析
T 7π π π 法一 = - = , 4 12 3 4 所以 T=π,故 ω=2,

因此 f(x)= 2sin(2x+φ), ?π ? 又? ,0?对应五点法作图中的第三个点,深度思考 ?3 ? 此类题目一般是 ω 的值 π π 是唯一确定的, 但 φ 的值 因此 2× +φ=π,所以 φ= 3 3 ? 是不确定的, 它可能有无 π? 故 f(x)= 2sin?2x+ ?. 数个,但一般都限制了 φ 3? ? 的取值范围, 还要注意用 哪一个点求 φ 易出错.
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考点突破 考点二 由图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
【例题 2】函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分 图象如图所示,则函数 f(x)的解析式为________.
?π ? 法二 以? ,0?为第二个“零点”, ?3 ? ?7π ? ? ,- 2 ?为最小值点, ?12 ?

? π ? ω=2, + φ= π, ? ?ω· 3 解得? π 列方程组 ? φ= , 7π 3π ? ? ω· ? 3 + φ= , ? 12 2
故 f(x)=
? π? 2sin?2x+ ?. 3? ? ? π? 2sin?2x+ ? 3? ?
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答案 f(x)=

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考点突破 考点二 由图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式

规律方法
已知 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0)的部分图象求其解析式 时,A 比较容易看图得出,困难的是求待定系数 ω 和 φ,常用如 下两种方法: 2π (1)五点法,由 ω= 即可求出 ω;确定 φ 时,若能求出离原 T 点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标 x0,则令 ωx0+ φ=0(或 ωx0+φ=π),即可求出 φ. (2)代入法,利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标 代入解析式,再结合图形解出 ω 和 φ,若对 A,ω 的符号或对 φ 的范围有要求,则可用诱导公式变换使其符合要求.

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考点突破 考点二 由图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
(2014· 南京、 盐城模拟)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A, ω, ?π ? φ 为常数,A>0,ω>0,0<φ<π)的图象如图所示,则 f? ?的值 ?3 ? 为________. 训练 2
解析 由三角函数图象可得 3 11π π 3 A=2, T= - = π, 4 12 6 4 2π 所以周期 T=π= ,解得 ω=2. ω ?π ? 又函数图象过点? ,2? ?6 ? ?π? ? π ? 所以 f? ?=2sin?2× +φ?=2, 0<φ<π, ?6 ? ? 6 ? ?2π π? ?π ? π? π 所以 f(x)=2sin? ? ? ? ? ? 2x+ , f =2sin + ?=1. 解得 φ= , 6 ? ?3 ? 6? ? ?3 6 答案 1
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考点突破

考点三

函数y=Asin(ωx+φ)的性质应用

π π 例 3 已知函数 f(x)= 3sin(ωx+φ)(ω>0, )(- ≤φ< )的图象 2 2 π 关于直线 x= 对称,且图象上相邻最高点的距离为 π. 3 ?π ? π ? ? (1)求 f 的值; (2)将函数 y=f(x)的图象向右平移 个单位后, 12 ?4 ? 图像 显隐 得到 y=g(x)的图象,求 g(x)的单调递减区间.

解析(1) 因为 f(x)的图象上相邻最高点的距离为 π, 2π 所以 f(x)的最小正周期 T=π,从而 ω= =2. T π π π 又 f(x)的图象关于直线 x= 对称,所以 2× +φ=kπ+ ,k∈Z, 3 3 2 π π π 2π π 因为- ≤φ< ,所以 k=0, 所以 φ= - =- , 2 2 2 3 6 ?π? ? π π? ? π 3 π? ? ? ? ? ? ? 则 f = 3sin 2× - = 3sin = . 所以 f(x)= 3sin 2x- , 3 2 ?4 ? ? 4 6? 6? ?
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考点突破

考点三

函数y=Asin(ωx+φ)的性质应用

π? 解析 (2)将 f(x)的图象向右平移π个单位后,得到 f? ?x- ?的图象, 12? 6 ? ? ? ? ? π ? π? π? π? 所以 g(x)=f?x-12?= 3sin?2?x-12?-6 ?= 3sin?2x-3 ?. ? ? ? ? ? ? ? ? π π 3π 当 2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+ (k∈Z), 2 3 2 5π 11π 即 kπ+ ≤x≤kπ+ (k∈Z)时,g(x)单调递减. 12 12 ? 5π 11π? 因此 g(x)的单调递减区间为?kπ+ ,kπ+ ?(k∈Z). 12 12 ? ?
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考点突破

考点三

函数y=Asin(ωx+φ)的性质应用

规律方法
函数 y= Asin(ωx+ φ)(A>0, ω>0)的单调区间和对称性的确 定, 基本思想是把 ωx+φ 看做一个整体. 在单调性应用方面, 比 较大小是一类常见的题目, 依据是同一区间内函数的单调性. 对 称性是三角函数图象的一个重要性质, 因此要抓住其轴对称、 中 心对称的本质, 同时还要会综合利用这些性质解决问题, 解题时 可利用数形结合思想.

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考点突破 考点三 函数y=Asin(ωx+φ)的性质应用
训练 3 已知函数 f(x)=2
?x π? ?x π? 3sin? + ?· cos? + ?-sin(x+π). ?2 4 ? ?2 4 ?

π (1)求 f(x)的最小正周期.(2)若将 f(x)的图象向右平移 个单位,得 6 到函数 g(x)的图象, 求函数 g(x)在区间[0, π]上的最大值和最小值.
? ? ?x π? 解析 (1)f(x)=2 3sin?x+π?· cos? + ?-sin(x+π) ?2 4 ? ?2 4 ? ? π? 2π = 3cos x+sin x=2sin?x+ ? 于是 T= =2π. 3? 1 ? ? ? π? π? (2)由已知得 g(x)=f?x- ?=2sin?x+ ? 6? 6? ? ? π ?π 7π? ? ? ? 1 ? π ? ? ∵x∈[0,π],∴x+ ∈ , x+ ?∈?- ,1?, 6 ?6 6 ? ∴sin? 6? ? 2 ? ? ? ? π ? ∴g(x)=2sin x+ ?∈[-1,2] 6? ? 故函数 g(x)在区间[0,π]上的最大值为 2,最小值为-1.
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课堂小结

思想方法

1.由图象确定函数解析式 由函数y=Asin(ωx+φ)的图象确定A,ω,φ的题型,常常以“ 五点法”中的五个点作为突破口,要从图象的升降情况找准第一 个“零点”和第二个“零点”的位置.要善于抓住特殊量和特殊点 . 2.对称问题 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与 x 轴的每一个交点均为其对 称中心,经过该图象坐标为(x,± A)的点与 x 轴垂直的每一条直 线均为其图象的对称轴,这样的最近两点间横坐标的差的绝对 值是半个周期(或两个相邻平衡点间的距离).

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课堂小结

易错防范

1.在进行三角函数图象变换时,提倡“先平移,后伸缩”,但“ 先伸缩,后平移”也经常出现在题目中,所以也必须熟练掌握 ,无论是哪种变形,切记每一个变换总是对字母x而言,即图 象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角”变化多少. 2.复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数 y=Asin(ωx +φ)(A>0,ω>0)的单调区间的确定,基本思想是把 ωx+φ 看 做一个整体,若 ω<0,要先根据诱导公式进行转化.

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(见教辅)

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