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厦门市2014~2015学年度第二学期高二年级质量检测 理科数学


厦门市 2014~2015 学年度第二学期高二年级质量检测

理科数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分,考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 参考公式: 随机变量 K 2 ? 临界值表

n(ad ? bc)2 (其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

P K2 ? k
k

?

?

0.50 0.455

0.40 0.708

0.25

0.15

0.10 2.706

0.05

0.025

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

1.323 2.072

3.841 5.024

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.复数 z ?

1? i ( i 是虚数单位),则在复平面内复数 z 对应的点在 i
B.第二象限
3

A.第一象限
5

C.第三象限

D.第四象限

2.在 ? x ? 1? 的展开式中,含 x 项的系数是 A.﹣10 B.﹣5 C.5 D.10 3.某同学对所在社区幼儿园、小学、初中、高中学生的身高与体重做了一次调查,并用回归 分析方法分别求得相关系数 r 如下表: 幼儿园 小学
0.78

初中
0.69

高中
0.85

r

0.82

则身高与体重线性相关性最强的是 A.幼儿园 B.小学 C.初中 D.高中 4.某校高二体育课开设足球、篮球、排球三门选修课,要求每位学生必须选且只能选一门, 则甲、乙、丙、丁四人选择课程的不同情况种数为 A. 3
4

B. 4

3

C. A4

3

D. C 4

3

5.如图,由曲线 y ?

1 ? 1 ,直线 x ? 2 及 x 轴所围成的阴 x

影部分面积等于 A. ln 2 ? 1 B.1 ? ln 2

6.已知随机变量 ? 服从正态分布 N 2, ? A .0.2 B.0.3

?

C. 2 ? ln 2
2

? ,且 P ?? ? 4? ? 0.8 ,则 P ?0 ? ? ? 2? 等于
C .0.4 D.0.6

D. ln 2 ? 2

7.某数学学习兴趣小组共 5 人,其中女生 2 人,现从该小组中任选 3 人参加数学竞赛,用 ? 表示这 3 人中女生的人数,则 P ?? ? 1? 等于 A.

1 10

B.

3 5

C.

7 10

D.

4 5

1

8. 函数 y ? x ? 3sin x 的图象大致是

.Com]

y o x

y o x

y o x

y o x

A

B

C

D

9.某班从甲、乙等 7 名学生中选 4 人参加校运会接力比赛,要求甲、乙两人至少有一人参赛, 若甲、乙都参赛,则他们不能跑相邻两棒,那么安排接力顺序的不同方式有 A.360 种 B.520 种 C.600 种 D.720 种 10.已知函数 f ( x) 的定义域为 D ,区间 I ? D ,若存在常数 L ,使得对任意 x1 , x2 ? I ,都有

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? L | x1 ? x2 | ,则称函数 f ( x) 在区间 I 上满足李普希兹(Lipschitz)条
件.已知 f ( x) ? x 2 e x 在区间 (??,1] 上满足李普希兹条件,则 L 的最小值是 A. 3e B. 2 e C. e D. 1

第Ⅱ卷(非选择题 共100分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 11.已知函数 f ( x) ? x sin x ,则 f '( ) ?

?

2





12.已知 ? 2x ? 1? ? i ? y ? ? 2 ? y? i ( x, y ? R , i 是虚数单位),若复数 z ? x ? yi ,则 z ? ▲ . 13. 从一副不含大小王的 52 张扑克牌中不放回地抽取 2 次, 每次抽 1 张. 已知第 1 次抽到 A , 则第 2 次也抽到 A 的概率为____ ▲____. 14 . 若 ?1 ? mx ? ? a0 ? a1 x ? a2 x ?
6 2

? a6 x 6 , 且 a1 ? a 2 ?
2 2

? a 6? 63 , 则 实 数 m ?

▲ . 15.在平面直角坐标系中,圆 C : ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 5 在点 A(2,3) 处的切线方程可如下求解: 设 P( x, y ) 为 切 线 上 任 意 一 点 , 则 由 CA ? AP , 即 CA ? AP ? 0 , 可 得

(2 ?1) ? ? x ? 2? ? (3 ?1) ? ? y ? 3? ? 0 ,所以切线方程为 x ? 2 y ? 8 ? 0 ;类比上述方法,在
2 2 2 空间直角坐标系中,球 M : ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? (z ? 2) ? 6在点 A(2, 0, 4) 处的切面方程为





2

16.已知函数 f ? x ? ? ex ? ax2 ,下列命题: ①对于任意 a ? ?0, ??? ,都有 f ? x ? ? 0 恒成立; ②对于任意 a ? ? 0, ??? ,函数 f ? x ? 存在最小值; ③存在 a ? ? ??,0? ,使得函数 f ? x ? 有三个零点; ④存在 a ? ? ??,0? ,函数 f ? x ? 有减区间. 其中正确命题的序号是 ▲ (写出所有正确命题的序号) . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 76 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? x3 ? 3x2 ? a ,常数 a ? R . (Ⅰ)求函数 f x 的极大值; (Ⅱ)若直线 y ? 9 x 与曲线 y ? f ? x ? 相切,求 a 的值. 18. (本小题满分 12 分) 在一次考试后,甲同学对本班的数学成绩及物理成绩进行分析,统计本班 50 位同学的数 学及物理成绩优秀的情况,结果为:物理有 20 人优秀,数学有 15 人优秀,其中数学与 物理都优秀的有 10 人. (Ⅰ)请根据以上数据完成下列 2 ? 2 列联表; 数学优秀 物理优秀 物理不优秀 总计 数学不优秀 总计

()

(Ⅱ) 能否在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为物理成绩优秀与数学成绩优秀有关? 并说明理由. 19. (本小题满分 12 分) 一边长为 a 的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长均为 x 的小正方形,然后做成一个 无盖方盒. (Ⅰ)试把方盒的容积 V 表示为 x 的函数; (Ⅱ) x 多大时,方盒的容积 V 最大?

3

20. (本小题满分 12 分) 甲、乙两队进行知识竞赛,规则如下:竞赛开始时,甲、乙两队各记 2 分,在回答每轮 问题后,如果哪一队获胜,那么该队总分增加 1 分,同时对手的总分减少 1 分.当某队 的总分达到 4 分时,竞赛结束,该队获胜.根据两队队员实力分析,知道甲队每轮获胜 的概率为 p ,每轮竞赛均没有平局.假设每轮竞赛结果互不影响. (Ⅰ)求两轮竞赛后甲队得分 ? 的分布列和数学期望; (Ⅱ)求甲队恰好经过六轮竞赛获胜的概率. 21. (本小题满分 14 分)
k k ?1 k ? 杨辉三角中蕴含许多性质. 如在图 1 中有 Cn ? Cn ?1 ? Cn ?1 n, k ? N , k ? n ? 1 ,规定

0 C0 ? 1 .斐波那契数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? 1, an ? 2 ? an ?1 ? an

? ? 杨辉三角与斐波那 ?n ? N ? ,
*

契数列有密切联系,依次计算图 2 的杨辉三角中每条斜线上的数字之和,可得下列等式:
0 0 1 0 1 0 1 2 C0 = a1, C10 = a2 , C2 +C1 = a3 , C3 +C2 = a4 , C4 +C3 +C2 = a5 ,

.

(Ⅰ)依此规律,写出第 6 个和第 7 个等式;
* (Ⅱ)猜想第 2 n 个和第 2n ? 1 n ? N 个等式,并证明你的结论.

?

?

0 C0

C10
0 C2 1 C2
1 C3 1 C4 2 C4

1 C1

2 C2

C30
0 C4

C32
3 C4

3 C3 4 C4





… … … 图1

… …





C

0 n

C

1 n

C

n- 1 n

n Cn

图2

22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间;

(Ⅱ)若不等式

f ( x ? 1) x 2 ? ? kx 对所有 x ? (0,??) 恒成立,求实数 k 的取值范围; x ?1 2
2 . e

(Ⅲ)若实数 x1 ? x2 满足 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,证明: x1 ? x2 ?

4


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