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2016闸北高三数学二模练习卷(理文合卷 )


闸北区 2015 学年度第二学期高三数学(理、文合卷)期中练习卷
考生注意: 1. 本次测试有试题纸和答题纸,解答必须在答题纸上,写在试题纸上的解答无效. 2. 答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号,以及试卷类型等填写清楚, 并在规定区域内贴上条形码. 3. 本试卷共有 18 道试题,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 一、填空题(60 分)本大题共有 10 题,要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果,每 个空格填对得 6 分,否则一律得零分.

1 ) ? 3 , 0 ) ?f ( 1 ) 1. 设函数 f ( x) ? a x ? a? x (a ? 0且a ? 1 , 且 f( 则 f( )

? ( 2 ) f

的值是



2.已知集合 A ? {x || x ? 2 |? a} , B ? {x | x2 ? 2 x ? 3 ? 0} ,若 B ? A ,则实数 a 的取值范 围是 .
2

3.如果复数 z 满足 | z |? 1 且 z ? a ? bi ,其中 a, b ? R ,则 a ? b 的最大值是



4. (理 )在直角坐标系 xoy 中,已知三点 A(a,1), B(2, b), C (3, 4) ,若向量 OA , OB 在向 量 OC 方向上的投影相同,则 3a ? 4b 的值是

??? ?

??? ?

??? ?



?x ? y ? 5 ? 0 ? (文) 已知 x 、y 满足 ? x ? y ? 0 ,若使得 z ? ax ? y 取最大值的点 ( x, y ) 有无数个,则 a ? x ? 3 ?
的值等于 . 5. (理)某科技创新大赛设有一、二、三等奖(参与活动的都有奖)且相应奖项获奖的概率是 以 a 为首项, 2 为公比的等比数列,相应的奖金分别是以 7000 元、 5600 元、 4200 元, 则参加此次大赛获得奖金的期望是 元.

(文) )在直角坐标系 xoy 中,已知三点 A(a,1), B(2, b), C (3, 4) ,若向量 OA ,OB 在向 量 OC 方向上的投影相同,则 3a ? 4b 的值是 6.已知 F 1 、 F2 是 椭 圆 C :

??? ?

??? ?

??? ?



x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 两 个焦 点 , P 为 椭 圆 上 一点 ,且 a 2 b2 ???? ???? ? . PF1 ? PF2 ,若 ?PF1F2 的面积为 9 ,则 b ?
2 2 2

7. ?ABC 中, a, b, c 分别是 ?A, ?B, ?C 的对边且 ac ? c ? b ? a ,若 ?ABC 最大边长 是 7 且 sin C ? 2sin A ,则 ?ABC 最小边的边长为 .

8. ( 理 ) 在 极 坐 标 系 中 , 曲 线 ? ? sin ? ? 2 与 ? sin ? ? 2 的 公 共 点 到 极 点 的 距 离 为 _________. (文) 设等差数列 {an } 的公差为 d , 若 a1 ,a2 ,a3 ,a4 ,a5 ,a6 ,a7
1

的方差为 1 , 则d =



9. (理) 如右图, A 、B 是直线 l 上的两点, 且 AB ? 2 , 两个半径相等的动圆分别与 l 相切于 A 、B 两点,C 是这两个圆的公共点,则圆弧 AC ,圆弧 CB 与线段
A C B l

AB 围成图形面积 S 的取值范围是



? ?x ,| x |? 1 ?cos (文) 已知函数 f ( x) ? ? , 则关于 x 的方程 f 2 ( x) ? 3 f ( x) ? 2 ? 0 的实根 2 2 ? ? x ? 1,| x |? 1
的个数是 个. 10. (理) 设函数 f ( x) ? x2 ?1 , 对任意 x ? ? ,?? ? , f ? 恒成立,则实数 m 的取值范围是 (文)设函数 f ( x) ? x ? 的取值范围是 .

?3 ?2

? ?

?x? 2 ? ? 4m f ( x) ? f ( x ? 1) ? 4 f (m) ?m?

1 ,对任意 x ? [1, ??) , f (mx) ? mf ( x) ? 0 恒成立,则实数 m x


二、选择题(15 分)本大题共有 3 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确 的,必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 11 . ( 理 ) 已 知 a 与 b 均 为 单 位 向 量 , 其 夹 角 为 ? , 则 命 题 P : | a ? b |? 1 是 命 题

?

?

? ?

Q :? ? [

? 5?
2 , 6

) 的(

)

A .充分非必要条件

B .必要非充分条件

C .充分且必要条件

D .非充分且非必要条件

(文)若一个长方体共顶点的三个面的对角线长分别是 a, b, c ,则长方体的对角线长是 ( )

A . a2 ? b2 ? c2 B .

3(2b ? bc ? ac) a 2 ? b2 ? c 2 C . ab ? bc ? ac D . 2 2

12. (理)已知 S , A, B, C 是球 O 表面上的点, SA ? 平面 ABC , AB ? BC , SA ? AB ? 1

BC ? 2 ,则球 O 的表面积等于(
A . 4?



B . 3? D .? C . 2? ? ? ? ? ( 文 ) 已 知 a 与 b 均 为 单 位 向 量 , 其 夹 角 为 ? , 则 命 题 P : | a ?b | ? 1是 命 题 ? 5? Q : ? ? [ , ) 的( ) 2 6 A .充分非必要条件 B .必要非充分条件

C .充分且必要条件

D .非充分且非必要条件
2

13.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,对任意正整数 n , an?1 ? 3Sn ,则下列关于 {an } 的论 断中正确的是( )

A .一定是等差数列

B .一定是等比数列 D .可能是等比数列,但不会是等差数列

C .可能是等差数列,但不会是等比数列

三、解答题(本题满分 75 分)本大题共有 5 题, 解答下列各题必须在答题纸的规定区域(对 应的题号)内写出必要的步骤. 14. (理) (本题满分 12 分,第(1)小题 5 分,第(2)小题 7 分)

AB ? 2 , AD ? 1 , AA1 ? 1 ,点 E 在棱 AB 上移动. 在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
(1)探求 AE 多长时,直线 D1E 与平面 AA1D1D 成 45 角; (2)点 E 移动为棱 AB 中点时,求点 E 到 平面 A1DC1 的距离.
?

D1 A1 B1 D A E. B

C
1

C

14. (文) (本题满分 12 分,第(1)小题 5 分,第(2)小题 7 分) 如图几何体是由一个棱长为 2 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 与一个侧棱长为 2 的正四棱 P 锥 P? A 1B 1C1D 1 组合而成. (1)求该几何体的主视图的面积; (2)若点 E 是棱 BC 的中点,求异面直线 AE 与 PA1 所成角 的大小(结果用反三角函数表示). A 15. (本题满分 14 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分) 某公司生产的某批产品的销售量 P 万件(生产量与销售量相等)与促销费用 x 万元满 A1 D B D1 B1 C C1

.E

x?2 1 (其中 0 ? x ? a , a 为正常数).已知生产该批产品还需投入成本 6( P ? ) 万 4 P 20 ) 元/件. 元(不含促销费用),产品的销售价格定为 ( 4 ? P
足P ? (1)将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数; (2)当促销费用投入多少万元时,该公司的利润最大?
3

16. (本题满分 15 分,第(1)小题 7 分,第(2)小题 8 分) 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) (? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的周期为 ? , 图象的一个对称中心为

?π ? ? , 0 ? .将函数 f ( x) 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再将所得到 ?4 ? ? 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 g ( x) 的图象. 2
(1)求函数 f ( x ) 与 g ( x) 的解析式; (2) (理)求证:存在 x0 ? ( 成等差数列. (文)定义:当函数取得最值时,函数图像上对应的点称为函数的最值点,如果函数

? ?

, ) ,使得 f ( x0 ) , g ( x0 ) , f ( x0 ) ? g ( x0 ) 能按照某种顺序 .... 6 4

y ? F ( x) ? 3 sin

?x
k

的图像上至少有一个最大值点和一个最小值点在圆

x2 ? y 2 ? k 2 (k ? 0) 的内部或圆周上,求 k 的取值范围.
17. (本题满分 16 分,第(1)小题 8 分,第(2)小题 8 分) 若动点 M 到定点 A(0,1) 与定直线 l : y ? 3 的距离之和为 4 . (1)求点 M 的轨迹方程,并在答题卡所示位置画出方程的曲线草图; (2) (理)记(1)得到的轨迹为曲线 C ,问曲线 C 上关于点 B(0, t )(t ? R) 对称的不同点 有几对?请说明理由. (文) 记 (1) 得到的轨迹为曲线 C , 若曲线 C 上恰有三对不同的点关于点 B(0, t )(t ? R) 对称,求 t 的取值范围.

18. (本题满分 18 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(2)小题 8 分) 已知数列 {an } , Sn 为其前 n 项的和,满足 S n ? (1)求数列 {an } 的通项公式;

n(n ? 1) . 2

1 } 的前 n 项和为 Tn ,数列 {Tn } 的前 n 项和为 Rn ,求证:当 n ? 2, n ? N * 时 an Rn?1 ? n(Tn ?1) ; m n 1 ) ? ( ) m ,其中 m ? 1, 2,?, n ,求满足 (3) (理)已知当 n ? N * ,且 n ? 6 时有 (1 ? n?3 2
(2)设数列 {

3n ? 4n ??? (n ? 2)n ? (an ? 3)an 的所有 n 的值.

4

(文)若函数 f ( x) ?

1 的定义域为 R ,并且 lim f (an ) ? 0(n ? N *) ,求证 n ?? ( p ? 1) ? 3qx ? 1

p ? q ? 1.

5


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