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欧拉四平方和恒等式

欧拉四平方和恒等式[编辑]
欧拉四平方和恒等式说明, 如果两个数都能表示为四个平方数的和, 则这两个数的积也能表 示为四个平方数的和。等式为:

欧拉在 1748 年 5 月 4 日寄给哥德巴赫的一封信中提到了这个恒等式。[1][2]它可以用基本的 代数来证明,在任何交换环中都成立。如果 as 和 bs 是实数,有一个更加简洁的证明:这个 等式表达了两个四元数的积的绝对值就是它们绝对值的积的事实,就像婆罗摩笈多-斐波那 契恒等式与复数的关系一样。 拉格朗日用这个恒等式来证明四平方和定理。

婆罗摩笈多-斐波那契恒等式[编辑]
婆罗摩笈多-斐波那契恒等式是以下的恒等式:

这个恒等式说明了如果有两个数都能表示为两个平方数的和, 则这两个数的积也可以表示为 两个平方数的和。例如,

(1)和(2)都可以用展开多项式的方法来证实。(2)可以通过把(1)中的 b 换成?b 来得出。 这个等式在整数环和有理数环中都成立。更一般地,在任何的交换环中都成立。 它在数论中有很多应用,例如费马平方和定理说明任何被 4 除余 1 的素数都能表示为两个 平方数的和,则根据婆罗摩笈多-斐波那契恒等式,任何两个被 4 除余 1 的素数的积也都能 表示为两个平方数的和。

证明[编辑]

而若将



互换位置,即可得

相关等式[编辑]
四平方和恒等式是一个类似的等式,含有四个平方和,与四元数有关。还有一个八平方和恒 等式。

与复数的关系[编辑]
如果 a、b、c 和 d 是实数,那么这个等式与复数的绝对值的乘法性质是等价的,也就是说:

由于

两边平方,得

根据绝对值的定义,

用范数来解释[编辑]
在 a、b、c 和 d 是有理数的情况中,这个等式可以解释为域 Q(i)的范数是积性的。也就是 说: 且 而且

所以,这个等式就是说

李善兰恒等式[编辑]
李善兰恒等式为组合数学中的一个恒等式,由中国清代数学家李善兰于 1859 年在《垛积比 类》一书中首次提出,因此得名。 有幂级数[1]和概率[2]两种证明方法。

表达式[编辑]

其中


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