当前位置:首页 >> 数学 >>

欧拉四平方和恒等式


欧拉四平方和恒等式[编辑]
欧拉四平方和恒等式说明, 如果两个数都能表示为四个平方数的和, 则这两个数的积也能表 示为四个平方数的和。等式为:

欧拉在 1748 年 5 月 4 日寄给哥德巴赫的一封信中提到了这个恒等式。[1][2]它可以用基本的 代数来证明,在任何交换环中都成立。如果 as 和 bs 是实数,有一个更加简洁的证明:这个 等式表达了两个四元数的积的绝对值就是它们绝对值的积的事实,就像婆罗摩笈多-斐波那 契恒等式与复数的关系一样。 拉格朗日用这个恒等式来证明四平方和定理。

婆罗摩笈多-斐波那契恒等式[编辑]
婆罗摩笈多-斐波那契恒等式是以下的恒等式:

这个恒等式说明了如果有两个数都能表示为两个平方数的和, 则这两个数的积也可以表示为 两个平方数的和。例如,

(1)和(2)都可以用展开多项式的方法来证实。(2)可以通过把(1)中的 b 换成?b 来得出。 这个等式在整数环和有理数环中都成立。更一般地,在任何的交换环中都成立。 它在数论中有很多应用,例如费马平方和定理说明任何被 4 除余 1 的素数都能表示为两个 平方数的和,则根据婆罗摩笈多-斐波那契恒等式,任何两个被 4 除余 1 的素数的积也都能 表示为两个平方数的和。

证明[编辑]

而若将



互换位置,即可得

相关等式[编辑]
四平方和恒等式是一个类似的等式,含有四个平方和,与四元数有关。还有一个八平方和恒 等式。

与复数的关系[编辑]
如果 a、b、c 和 d 是实数,那么这个等式与复数的绝对值的乘法性质是等价的,也就是说:

由于

两边平方,得

根据绝对值的定义,

用范数来解释[编辑]
在 a、b、c 和 d 是有理数的情况中,这个等式可以解释为域 Q(i)的范数是积性的。也就是 说: 且 而且

所以,这个等式就是说

李善兰恒等式[编辑]
李善兰恒等式为组合数学中的一个恒等式,由中国清代数学家李善兰于 1859 年在《垛积比 类》一书中首次提出,因此得名。 有幂级数[1]和概率[2]两种证明方法。

表达式[编辑]

其中


相关文章:
欧拉四平方和恒等式.doc
欧拉四平方和恒等式 - 欧拉四平方和恒等式[编辑] 欧拉四平方和恒等式说明, 如
费马平方和定理 拉格朗日四平方和定理.doc
拉格朗日四平方和定理拉格朗日四平方和定理:每个正整数均可表示为 4 个整数的平方和。 1743 年,瑞士数学家欧拉发现了一个著名的恒等式: 根据上述欧拉恒等式或四元...
四平方和定理.doc
此后,拉格朗日和欧拉分别在 1770 年和 1773 年作出最后的证明。 证明折叠编辑本段根据上面的四平方和恒等式及算术基本定理, 可知只需证明质数可以表示成四个整数的...
近世代数教案_4.doc
4. 综合应用数环与数域的初等方法证明欧拉二平方和定理、Lagrange 四平方和定理...但是,因为 4 元欧拉平方和恒等式来源于 Hamilton 四元数的运算性质, 因此我们...
几个有关欧拉数的恒等式和同余式严婉丽_图文.doc
几个有关欧拉数的恒等式和同余式严婉丽 - 本科生毕业设计(论文) ( 2010 届 ) 题 目: 几个有关欧拉数的恒等式和同余式 学专 院: 业: 数理信息工程...
十大数学公式.doc
十大数学公式 - 1. 欧拉恒等式 这是一个非常著名的恒等式。它给出了 3 个看似随机的量之间的联系:π、e 和-1 的平方根。许多人 认为这是数学中最漂亮的...
欧拉恒等式的推广_论文.pdf
欧拉恒等式的推广 - 受用四元数证明欧拉恒等式的启发,利用八元数导出了一个恒等式,从而推广了欧拉恒等式欧拉四平方定理.
平面几何中的欧拉公式和欧拉不等式_图文.pdf
第二十四中学 ,350015) 设/ xABC的外 心、 内心分 别为 O和j_, 外接圆...公式 OI =R 2R r称 为平 面几何 中的 欧拉公 式, 我们 先来 证 明...
数学英雄欧拉.doc
任何一个正整数都 通信而出名的 一定能写成不超过四个平方数之和是欧拉最早...写下了一个公式: 并解释道: 代表成功, 写下了一个公式:A=x+y+z.并解释...
欧拉方程的求解.doc
公式、定 理等等,让人敬佩跟羡慕.但是,迄今为止,...本文在所学的欧拉方 程的求解的基础上,对欧拉方程..., x x p? ? 和 y? ? 解之,得方程(4)的通...
MATLAB改进欧拉法与四阶龙格-库塔求解一阶常微分方程.doc
掌握使用MATLAB程序求解常微分 程问题的方法。 二、实验内容 1、 分别写出改进欧拉四阶龙格-库塔求解的算法, 编写程序上机调试出结果, 要求所编程序适用于...
Euler的四面体问题.doc
a 2 a3 将上式平方,得 a1 36 V 2 b1 b2 b3...?l 2 r 2 2 这就是 Euler 的四面体体积公式. ...Euler商中的p次方幂 暂无评价 4页 2.00 欧拉...
奥鹏南开16春学期《数学的思维方式(尔雅)》在线作业.doc
在 Z77 中,4平方根都有哪些? . 1、2、6、77 . 2、-2 . 2、9、...与 m 是否互合 . 与 m 是否互素 正确答案: 10. 黎曼对欧拉恒等式的创新...
个人精心整理!高中数学联赛竞赛平面几何四大定理~及考....doc
到三角形三顶点距离的 平方和最小的点--重心。...复数的指数形式,欧拉公式,棣
数论01二次同余式与平方剩余_图文.ppt
数论01二次同余式与平方剩余 - 第四章 二次同余式与平方剩余 一 二次同余式的概念 ? 二 二次同余式的应用 ? 三 模为奇素数的平方剩余与平方 非剩余 ? ...
二次同余式和平方剩余_图文.ppt
二次同余式和平方剩余 - 第五章 二次同余式和平方剩余 一般二次同余式为 ax2
5.2 奇质数模的平方剩余与平方非剩余_图文.ppt
反之,若(2)式成立,则由第四 § 4定理5得a是...于是,由欧拉判别条件得,ab为模p的平方剩余,ac为模...
欧拉函数算法实现及其应用.pdf
(( 推论三: 设N 为质数 P 的平方, 即N=P×,...总之, 公式 1)(2)和3) 都是从各自 的侧面来...4 关于欧拉函数的几个猜想( 1) 欧拉函数 ψN) ...
欧拉方程解法_图文.ppt
( ( ) 将上式代入欧拉方程, 将上式代入欧拉方程...一类含对数函数的欧拉方... 4页 2下载券 第...
费马大定理的故事.doc
c=z4+x4,d=y2xz.反复利用熟知的恒等式:(s+t)...但他并不具备整数的全部性质,欧拉证明中用到的最...方 程,并断言这个椭圆方程不能模形式化,从而和谷...