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2016莆田考数学试卷与答案


莆田市 2016 年初中毕业(升学)考试试卷









(满分:150 分;考试时间:120 分钟)
一、精心选一选:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.每小题给出的四个选项中有且只 有一个选项是符合题目要求的.答对的得 4 分, 答错、 不答或答案超过一个的一律得 0 分.

1. ?

1 的绝对值为 ( ) . 2 1 1 A. B. ? 2 2

C.2

D.-2 C.a6÷a3=a2 ) . C.5.5 D.(a2)3=a5 D .6

2. 下列运算正确的是( ) . A.3a-a=2 B.a· a2=a3 3. 一组数据 3,3,4,6,8,9 的中位数是( A.4 B .5 4. 图中三视图对应的几何体是( ) .

5. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( ) . A.对边相等 B.对角相等 C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直 6. 如图,OP 是∠AOB 的平分线,点 C,D 分别在角的两边 OA,OB 上, 添加下列条件,不能判定△POC≌△POD 的选项是( ) . A. PC⊥OA,PD⊥OB B. OC=OD C. ∠OPC=∠OPD D. PC=PD 2 7. 关于 x 的一元二次方程 x +ax-1=0 的根的情况是( ) . A.没有实数根 B.只有一个实数根 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根 8. 规定:在平面内,将一个图形绕着某一点旋转一定的角度(小于周角)后能和自身重合, 则称此图形为旋转对称图形.下列图形中是旋转对称图形,且有一个旋转角是 60°的是 ( ) . A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.正十边形 9. 如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC=4,将△ABC 折叠,使点 A 落在 BC 边上的 点 D 处,EF 为折痕,若 AE=3,则 sin∠BFD 的值为( ) . A.

1 3

B.

2 2 3

C.

2 4

D.

3 5

1

10. 如图,在平面直角坐标系中,点 A(0,2) ,在 x 轴上任取一点 M,完成以下作图步骤: ①连接 AM,作线段 AM 的垂直平分线 l1,过点 M 作 x 轴的垂线 l2,记 l1,l2 的交点为 P; ② 在 x 轴上多次改变点 M 的位置,用①的方法得到相应的点 P,把这些点用平滑的曲线 顺次连接起来,得到的曲线是( ) . A.直线 B.抛物线 C.双曲线 D.双曲线的一支

二、细心填一填:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 11. 莆田市海岸线蜿蜒曲折,长达 217 000 米.用科学记数法表示 217 000 为______________. 12. 在平面直角坐标系中,点 P ( -1 , 2 )向右平移 3 个单位长度得到的点的坐标是 ______________. 13. 已知直线 a∥b ,一块直角三角板 ABC 按如图所示放置,若∠ 1 = 37 °,则∠ 2 = _______________. 14. 在大课间活动中,同学们积极参加体育锻炼.小红在全校随机抽取一部分同学就“一分钟 跳绳”进行测试,并以测试数据为样本绘制如图所示的部分频数分布直方图(从左到右 依次分为六个小组,每小组含最小值,不含最大值)和扇形统计图.若“一分钟跳绳”次 数不低于 130 次的成绩为优秀,全校共有 1200 名学生,根据图中提供的信息,估计该校 学生“一分钟跳绳”成绩优秀的人数为_____________人.

15. 如图,CD 为⊙O 的弦,直径 AB 为 4, AB⊥CD 于 E, ∠A=30°, 则 的长为

_____________(结果保留π ). 16. 魏朝时期,刘徽利用下图通过“以盈补 虚,出入相补”的方法,即“勾自乘为 朱方,股自乘为青方,令出入相补,各 从其类” ,证明了勾股定理.若图中 BF =1,CF=2,则 AE 的长为__________.

2

三、耐心做一做:本大题共 10 小题,共 86 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤.

?1? 17.(8 分)计算: 2 ? 3 ? 16 ? ? ? . ? 3?

0

18.(8 分)先化简,再求值:

x?2 x ?1 1 ? 2 ? ,其中 x=-1. x?2 x ?4 x?2

? x ? 3 x - 2) ? 4, ? 19.(8 分)解不等式组: ?1 ? 2 x ? x ? 1. ? ? 3
20.(8 分)小梅家的阳台上放置了一个晒衣架如图 1,图 2 是晒衣架的侧面示意图,A,B 两 点立于地面,将晒衣架稳固张开,测得张角∠AOB=62°,立杆 OA=OB=140cm.小梅 的连衣裙穿在衣架后的总长度为 122cm, 问将这件连衣裙垂挂在晒衣架上是否会拖落到地 面?请通过计算说明理由. (参考数据:sin59°=0.86,cos59°=0.52,tan59°=1.66)

21.(8 分)在一次数学文化课题活动中,把一副数学文化创意扑克牌中的 4 张扑克牌(如图 所示) 洗匀后正面向下放在桌面上, 从中随机抽取 2 张牌.请你用列表或画树状图的方法, 求抽取的 2 张牌的数字之和为偶数的概率.

3

22.(8 分)甲车从 A 地驶往 B 地,同时乙车从 B 地驶往 A 地,两车相向而行,匀速行驶.甲 车距 B 地的距离 y(km)与行驶时间 x(h)之间的函数关系如图所示,乙车的速度是 60 km/h. (1) (3 分)求甲车的速度; (2) (5 分)当甲乙两车相遇后,乙车速度变为 a(km/h) ,并保持匀速行驶,甲车保持不 变,结果乙车比甲车晚 38 分钟到达终点,求 a 的值.

23.(8 分)如图,在□ABCD 中,∠BAC=90°,对角线 AC,BD 相交于点 P,以 AB 为直径 的⊙O 分别交 BC,BD 于点 E,Q,连接 EP 并延长交 AD 于点 F. (1) (4 分)求证:EF 是⊙O 的切线; (2) (4 分)求证:EF2=4BP·QP.

24.(8 分)如图,反比例函数 y ?

k (x>0)的图像与直线 y=x 交于点 M,∠AMB=90°, x

其两边分别与两坐标轴的正半轴交于点 A,B,四边形 OAMB 的面积为 6. (1) (3 分)求 k 的值; (2) (5 分)若点 P 在反比例函数 y ?

k (x>0)的图像上,若点 P 的横坐标为 3,∠EPF x

=90°,其两边分别与 x 轴的正半轴,直线 y=x 交于点 E,F.问是否存在点 E,使 得 PE=PF?若存在,求出点 E 的坐标;若不存在,请说明理由.

4

25.(10 分)若正方形的两个相邻顶点在三角形的同一条边上,其余两个顶点分别在三角形的 另两条边上,则正方形称为三角形该边上的内接正方形.△ABC 中,设 BC=a,AC=b, AB=c,各边上的高分别记为 ha,hb,hc,各边上的内接正方形的边长分别记为 xa,xb, xc. (1) (3 分)模型探究:如图,正方形 EFGH 为△ABC 边 BC 上的内接正方形. 求证:

1 1 1 ; ? ? a ha x a
1 1 ? 的值; b c

(2) (3 分)特殊应用:若∠BAC=90°,xb=xc=2,求

(3) (4 分)拓展延伸:若△ABC 为锐角三角形,b<c,请你判断 xb 与 xc 的大小,并说明 理由.

5

26.(12 分)如图,抛物线 C1: y ? ? 3x 2 ? 2 3x 的顶点为 A,与 x 轴的正半轴交于点 B. (1) (3 分)将抛物线 C1 上的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的 2 倍,求变换后得到的 抛物线的解析式; (2)将抛物线 C1 上的点(x,y)变为(kx,ky) (|k|>1) ,变换后得到的抛物线记作 C2. 抛物线 C2 的顶点为 C,点 P 在抛物线 C2 上,满足 S△PAC=S△ABC,且∠ACP=90°. ①(7 分)当 k>1 时,求 k 的值; ②(2 分)当 k<-1 时,请你直接写出 k 的值,不必说明理由.

6

莆田市 2016 年初中毕业(升学)考试试卷参考答案及评分标准
一、精心选一选:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.每小题给出的四个选项中有且只 有一个选项是符合题目要求的.答对的得 4 分,答错、不答或答案超过一个的一律得 0 分. 1.A 2.B 3.B 4.C 5.D 6.D 7.D 8.C 9.A 10.B

二、细心填一填:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 11.2.17×105 12. (2,2) 13.53° 14.480 15.

2 π 3

16. 3 10

三、耐心做一做:本大题共 10 小题,共 86 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤. 17.解:原式= 3 ? 2 ? 4 ? 1 ????????????????????6 分 =?

2 .???????????????????????8 分
0

?1? (注: 2 ? 3 ? 3 ? 2 , 16 ? 4 , ? ? ? 1 ,每个各 2 分) ? 3?
18.解:原式=

x?2 x ?1 ? ? ( x ? 2) ?????????????2 分 x ? 2 (x ? 2)(x ? 2)

x ? 2 x ?1 ? ????????????????????4 分 x?2 x?2 3 = .???????????????????????6 分 x?2 3 ? ?1 .??????????????????8 分 当 x=-1 时,原式= ?1? 2
= 19.解:由①得: x ? 3 x ? 6 ? 4 .?????????????????1 分

? 2 x ? ?2 .???????????????????2 分 x ? 1 .?????????????????????3 分
由②得: 1 ? 2 x ? 3x ? 3 .?????????????????????4 分

? x ? ?4 .??????????????????????5 分 x ? 4 .????????????????????????6 分
∴原 不等式组 的解集为 x ? 1 .??????????????????8 分 20.解:如图,过 O 作 OE⊥AB 于 E. ???????????1 分 ∵OA=OB,∠AOB=62°, ∴∠A=∠B =59°. ?????????????????3 分 在 Rt△AEO 中,OE=OA· sinA=140· sin59°

7

≈140×0.86=120.4. ????????6 分 ∵120.4<122,???????????????????7 分 ∴这件连衣裙垂挂在晒衣架上会拖落到地面. ??????8 分 21.解:

????????4 分 由树状图可知,所有可能出现的结果共有 12 种,它们出现的可能性相等,抽取的 2 张牌的数 字之和为偶数的有 4 种.

4 1 ? .???????????????????8 分 12 3 280 ? 120 ? 80 (km/h).?????????????3 分 22.解: (1)V 甲= 2 280 ? 2 (h). ????????????????4 分 (2)相遇时间: 80 ? 60 60 ? 2 38 80 ? 2 ? ? 依题意得: .??????????????????7 分 80 60 a
P(抽取的 2 张牌的数字之和为偶数)= 解得 a=75. ????????????????????????8 分 经检验得 a=75 是原分式方程的解. 23.证明: (1)如图,连接 AE,OE. ∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠AEB=∠AEC=90°. ??????1 分 在□ABCD 中,PA =PC. ∴PA=PC=PE. ∴∠PAE=∠PEA. ????????2 分 ∵OA=OE, ∴∠OAE=∠OEA. ????????3 分 ∴∠OEP=∠OAC=90°. ∴EF 是⊙O 的切线. ???????4 分 (2)连接 AQ. 在 Rt△ABP 中,∵∠AQB=90°, ∴△APQ∽△BPA. ∴PA2=BP·QP. ??????????????????????6 分 ∵∠PAF=∠PCE, ∠APF=∠CPE,PA=PC, ∴△AFP≌△CEP. ∴PF=PE=PA. ????????????????????????7 分 ∴EF2=4BP·QP. ?????????????????????8 分 24.解: (1)如图 1,过 M 作 MC⊥x 轴于 C,MD⊥y 轴于 D.则 ∠MCA=∠MDB=90°,∠AMC=∠BMD,MC=MD. ∴△AMC≌△BMD. ????????????????????1 分 ∴S 四边形 AMBO= S 四边形 CMDO =6. ????????????????2 分 ∴k=6. ?????????????????????????3 分 (2)依题意得 P(3,2).?????????????????4 分

8

情况 1:如图 2,过 P 作 PG⊥x 轴于 G,过 F 作 FH⊥PG 于 H,交 y 轴于 K. ∵∠PGE=∠PHF=90°,∠EPG=∠PFH,PE=PF, ∴△PEG≌△FPH. ∴PG=FH=2,FK=OK=3-2=1,PH=GE=1. ????????????5 分 ∴E(4,0). ??????????????????????????6 分 情况 2:如图 3,同理可得 E(6,0). ???????????????8 分

25.解: (1)在正方形 EFGH 中. ∵EH∥FG,∴△AEH∽△ABC. ???????????????1 分 ∵AD⊥BC,∴

EH AK ? .??????????????????2 分 BC AD



xa ha ? xa 1 1 1 .∴ ? .????????????????3 分 ? ? a ha x a a ha
1 1 1 ? ? .???????4 分 b hb xb
1 1 1 ? ? .????????6 分 b c 2

(2)方法一:由(1)得:

∵∠A=90°,∴ hb ? c .∴ 方法二:如图,∵FE∥AB, ∴△CEF∽△CBA.∴

FE CF ? .?????????4 分 AB CA

∵xb=xc=2,∴AF=EF=2,CF=b-2?????????5 分 ∴

b?2 2 1 1 1 ? .∴ ? ? .????????????6 分 b c b c 2

(3)xb>xc. ?????????????????7 分 证明:由(1)得:

1 1 1 1 1 1 ? ? , ? ? . b hb xb c hc xc

∴ xb ? ∵S=

bhb chc , xc ? .?????????????????????8 分 b ? hb c ? hc

1 1 bhb ? ch c ,∴ bhb ? chc =2S. 2 2

又∵ hb ? c ? sin A , hc ? b ? sin A ,

9



1 1 b ? hb ? (c ? xc ) b ? c sin A ? (c ? b sin A) (b ? c)(1 ? sin A) ? ? .???9 分 ? ? 2S 2S xb x c 2S

∵b<c, sin A <1, ∴

1 1 ? ? 0 .∴xb>xc. ????????????????????10 分 xb x c

26.解: (1)∵ y ? ? 3x 2 ? 2 3x ? ? 3( x ? 1) 2 ? 3 , ∴抛物线 C1 经过原点 O,A(1, 3 )和 B(2,0)三点. ??????1 分 ∴变换后得到的抛物线经过原点 O, (2, 2 3 )和(4,0)三点. ????2 分 ∴变换后得到的抛物线的解析式为 y ? ?

3 2 x ? 2 3x .?????????3 分 2

(2)①当 k>1 时,∵抛物线 C2 经过原点 O, (k, 3 k)和(2k,0)三点. ∴抛物线 C2 的解析式为 y ? ?

3 2 x ? 2 3x .??????????????5 分 k

∴O,A,C 三点共线,且顶点 C 为(k, 3 k). 解法一:如图 1,∵S△PAC=S△ABC,∴BP∥AC. ??????????????6 分 过点 P 作 PD⊥x 轴于 D,过 B 作 BE⊥AO 于 E. 依题意得△ABO 是边长为 2 的正三角形,四边形 CEBP 是矩形. ∴OE=1,CE=BP=2k-1. ??????????7 分 ∴BD= k ?

1 3 ,PD= (2k ? 1) . 2 2

∴P( k ?

3 3 , (2k ? 1) ). ???????????????????8 分 2 2



9 3 3 3 3 (2k ? 1) ? ? (k ? ) 2 ? 2 3 (k ? ) .解得 k= .??????????10 分 2 3 k 2 2

解法二:如图 2,过点 C 作 MN∥x 轴,交 y 轴于 M,过点 P 作 PN⊥MN 于 N,过 B 作 BE⊥ AO 于 E. ∵S△PAC=S△ABC,∴PC=BE= 3 . ??????????????6 分

10

∵∠PCN=∠COM=30°, ∴PN=

3 3 ,CN= . ??????????7 分 2 2 3 3 , (2k ? 1) ). ???????????????????8 分 2 2

∴P( k ?

以下同解法一.

解法三:如图 3,过点 C 作 CM⊥x 轴交 BP 于 M,则四边形 OBMC 为平行四边形. ∴CM=OB=2,∠CMP=60°. ∴MP=1.??????????????6 分 ∴BP= 2k ? 1 . ??????????7 分 ∴P( k ?

3 3 , (2k ? 1) ). ???????????????????8 分 2 2

以下同解法一. 解法四:如图 4,过点 C 作 CM∥x 轴于 M,过点 P 作 PN⊥CM 于 N,过 B 作 BE⊥AO 于 E. ∵S△PAC=S△ABC,∴PC=BE= 3 . ??????????????6 分

∵∠CPN=∠OCM=30°,∴CN=

3 3 ,PN= . ??????????7 分 2 2

∴P( k ?

3 3 , (2k ? 1) ). ???????????????????8 分 2 2

以下同解法一.

11

解法五:如图 1,设 P( x , ?

3 2 ,则 BD= x ? 2 ,PB=CE= 2k ? 1 . x ? 2 3x ) k


∵PD= 3 BD,∴ ?

3 2 2 ,整理得 x ? kx ? 2k ? 0 . x ? 2 3x = 3 ( x ? 2 ) k
3 . 2


∵PB=2BD,∴ 2k ? 1 =2( x ? 2 ) ,整理得 x ? k ? 联立①②,解得 k= ②k= ?

9 . 2

9 .????????????????????????????12 分 2

12


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