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2011年湖北省高考数学试卷(文科)答案与解析


2011 年湖北省高考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分) (2011?湖北)已知 U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},B={2,4, 5}则?U(A∪B) ( ) A.{6,8} B.{5,7} C.{4,6,7} D.{1,3,5,6,8} 【考点】补集及其运算;并集及其运算. 【专题】计算题. 【分析】由已知中 U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},B={2,4,5},我们 根据集合并集的运算法则求出 A∪B,再利用集合补集的运算法则即可得到答案. 【解答】解:∵U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},B={2,4,5} ∴A∪B={1,2,3,4,5,7}, ∴Cu(A∪B)={6,8} 故选 A 【点评】本题考查的知识点是集合补集及其运算,集合并集及其运算,属于简单题型,处理 时要“求稳不求快”
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2. (5 分) (2011?湖北) 若向量 = (1, 2) , = (1, ﹣1) , 则2 + 与 A.﹣ B. C. D.
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的夹角等于 (



【考点】数量积表示两个向量的夹角.

【分析】由已知中向量 =(1,2) , =(1,﹣1) ,我们可以计算出 2 + 与 代入向量夹角公式即可得到答案. 【解答】解:∵ =(1,2) , =(1,﹣1) , ∴2 + =(3,3) =(0,3) 则(2 + )?( |2 |= ,| = )=9 |=3

的坐标,

∴cosθ= ∴θ= 故选 C

1

【点评】本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角,其中利用公式 ,是利用向量求夹角的最常用的方法,一定要熟练掌握.

3. (5 分) (2011?湖北)若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x)+g(x) =e ,则 g(x)=( A.e ﹣e
x
﹣x

x


x
﹣x ﹣x

B. (e +e ) C. (e ﹣e ) D. (e ﹣e )
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x

x

﹣x

【考点】偶函数;函数解析式的求解及常用方法;奇函数. 【专题】计算题.

【分析】根据已知中定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=e , 根据奇函数和偶函数的性质,我们易得到关于 f(x) 、g(x)的另一个方程:f(﹣x)+g(﹣ x)=e ,解方程组即可得到 g(x)的解析式. 【解答】解:∵f(x)为定义在 R 上的偶函数 ∴f(﹣x)=f(x) 又∵g(x)为定义在 R 上的奇函数 g(﹣x)=﹣g(x) x 由 f(x)+g(x)=e , ﹣x ∴f(﹣x)+g(﹣x)=f(x)﹣g(x)=e , ∴g(x)= (e ﹣e ) 故选:D 【点评】本题考查的知识点是函数解析式的求法﹣﹣方程组法,及函数奇偶性的性质,其中 根据函数奇偶性的定义构造出关于关于 f(x) 、g(x)的另一个方程:f(﹣x)+g(﹣x)=e
﹣x ﹣x

x

x

﹣x

,是解答本题的关键.
2

4. (5 分) (2011?湖北)将两个顶点在抛物线 y =2px(p>0)上,另一个顶点是此抛物线焦 点的正三角形个数记为 n,则( ) A.n=0 B.n=1 C.n=2 D.n≥3 【考点】抛物线的简单性质. 【专题】计算题. 【分析】根据题意和抛物线以及正三角形的对称性,可推断出两个边的斜率,进而表示出这 两条直线,每条直线与抛物线均有两个交点,焦点两侧的两交点连接,分别构成一个等边三 角形.进而可知这样的三角形有 2 个.
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【解答】解:y =2px(P>0)的焦点 F( ,0) 等边三角形的一个顶点位于抛物线 y =2px(P>0)的焦点,另外两个顶点在抛物线上,则 等边三角形关于 x 轴轴对称 两个边的斜率 k=±tan30°=± ,其方程为:y=± (x﹣ ) ,
2

2

每条直线与抛物线均有两个交点,焦点两侧的两交点连接,分别构成一个等边三角形. 故 n=2, 故选 C
2

【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质.主要是利用抛物线和正三角形的对称性. 5. (5 分) (2011?湖北)有一个容量为 200 的样本,其频率分布直方图如图所示,根据样本 的频率分布直方图估计,样本数据落在区间[10,12)内的频数为( )

A.18 B.36 C.54 D.72 【考点】频率分布直方图. 【专题】计算题;阅读型. 【分析】从直方图得出数据落在[10,12)外的频率后,再根据所求频率和为 1 求出落在[10,
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12)外的频率,再由频率=

,计算频数即得.

【解答】解:观察直方图易得 数据落在[10,12)的频率=(0.02+0.05+0.15+0.19)×2=0.82; 数据落在[10,12)外的频率=1﹣0.82=0.18; ∴样本数落在[10,12)内的频数为 200×0.18=36, 故选:B. 【点评】本题考查读频率分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力,同时考查频率、 频数的关系:频率= .

6. (5 分) (2011?湖北)已知函数 f(x)= 范围为( ) A.{x|kπ+ C.{x|kπ+ ≤x≤kπ+π,k∈Z} ≤x≤kπ+ B.{x|2kπ+

sinx﹣cosx,x∈R,若 f(x)≥1,则 x 的取值 ≤x≤2kπ+π,k∈Z} ≤x≤2kπ+ ,k∈Z}

,k∈Z} D.{x|2kπ+
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【考点】三角函数的化简求值. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】利用两角差的正弦函数化简函数 f(x)= 形式,根据 f(x)≥1,求出 x 的范围即可. 【解答】解:函数 f(x)= ≥1,所以, 所以 f(x)≥1,则 x 的取值范围为:{x|2kπ+ sinx﹣cosx=2sin(x﹣

sinx﹣cosx 为一个角的一个三角函数的 ) ,因为 f(x)≥1,所以 2sin(x﹣ )

≤x≤2kπ+π,k∈Z}

3

故选:B 【点评】本题是基础题,考查三角函数的化简,三角函数不等式的解法,考查计算能力,常 考题型. 7. (5 分) (2011?湖北)设球的体积为 V1,它的内接正方体的体积为 V2,下列说法中最合 适的是( ) A.V1 比 V2 大约多一半 B.V1 比 V2 大约多两倍半 C.V1 比 V2 大约多一倍 D.V1 比 V2 大约多一倍半 【考点】球内接多面体;棱柱、棱锥、棱台的体积;球的体积和表面积. 【专题】计算题. 【分析】设出球的半径,求出球的体积,内接正方体的体积,然后比较即可得到正确选项.
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【解答】解:设球的半径为 r,所以球的体积为:

;球的内接正方体的对角线就是球

的直径,所以正方体的棱长为:

,正方体的体积为:

=



所以

=

=

故选 D 【点评】本题是基础题,考查球的体积,球的内接正方体的体积,考查计算能力,常考题型.

8. (5 分) (2011?湖北)直线 2x+y﹣10=0 与不等式组

表示的平面区域的公共

点有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.无数个 【考点】二元一次不等式(组)与平面区域. 【专题】作图题;数形结合. 【分析】画出不等式组表示的平面区域、画出直线 2x+y﹣10=0;由图判断出直线与平面区 域的公共点. 【解答】解:画出不等式组表示的平面区域如下
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4

作出直线 2x+y﹣10=0,由图得到 2x+y﹣10=0 与可行域只有一个公共点(5,0) 故选 B 【点评】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合数学数学方法. 9. (5 分) (2011?湖北) 《九章算术》“竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节的 容积成等差数列, 上面 4 节的容积共 3 升, 下面 3 节的容积共 4 升, 则第五节的容积为 ( ) A.1 升 B. 升 C. 升 D.
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【考点】等差数列的性质. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】设出竹子自上而下各节的容积且为等差数列,根据上面 4 节的容积共 3 升,下面 3 节的容积共 4 升列出关于首项和公差的方程, 联立即可求出首项和公差, 根据求出的首项和 公差,利用等差数列的通项公式即可求出第 5 节的容积. 【解答】解:设竹子自上而下各节的容积分别为:a1,a2,…,a9,且为等差数列, 根据题意得:a1+a2+a3+a4=3,a7+a8+a9=4, 即 4a1+6d=3①,3a1+21d=4②,②×4﹣①×3 得:66d=7,解得 d= 把 d= 则 a5= 代入①得:a1= + (5﹣1)= , . ,

故选 B 【点评】此题考查学生掌握等差数列的性质,灵活运用等差数列的通项公式化简求值,是一 道中档题. 10. (5 分) (2011?湖北)若实数 a,b 满足 a≥0,b≥0,且 ab=0,则称 a 与 b 互补,记 φ(a, b)= ﹣a﹣b 那么 φ(a,b)=0 是 a 与 b 互补的( )

A.必要不充分条件 B.充分不必要的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】简易逻辑.

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【分析】我们先判断 φ(a,b)=0?a 与 b 互补是否成立,再判断 a 与 b 互补?φ(a,b)=0 是否成立,再根据充要条件的定义,我们即可得到得到结论. 【解答】解:若 φ(a,b)= 则 =(a+b) , ﹣a﹣b=0,

两边平方解得 ab=0,故 a,b 至少有一为 0, 不妨令 a=0 则可得|b|﹣b=0,故 b≥0,即 a 与 b 互补; 若 a 与 b 互补时,易得 ab=0,故 a,b 至少有一为 0, 若 a=0,b≥0,此时 同理若 b=0,a≥0,此时 ﹣a﹣b= ﹣a﹣b= ﹣b=0, ﹣a=0,

即 φ(a,b)=0, 故 φ(a,b)=0 是 a 与 b 互补的充要条件. 故选 C. 【点评】本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的,其中判断 φ(a,b)=0?a 与 b 互补与 a 与 b 互补?φ(a,b)=0 的真假,是解答本题的关键. 二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 11. (5 分) (2011?湖北)某市有大型超市 200 家、中型超市 400 家、小型超市 1400 家.为 掌握各类超市的营业情况, 现按分层抽样方法抽取一个容量为 100 的样本, 应抽取中型超市 20 家. 【考点】分层抽样方法. 【专题】计算题. 【分析】根据所给的三种超市的数目,相加得到共有的超市数目,根据要抽取的超市数目, 得到每个个体被抽到的概率,用中等超市的数目乘以被抽到的概率,得到结果. 【解答】解:∵大型超市 200 家、中型超市 400 家、小型超市 1400 家, ∴共有超市 200+400+1400=2000, ∵按分层抽样方法抽取一个容量为 100 的样本,
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∴每个个体被抽到的概率是 ∴中型超市要抽取 400× =20 家,



故答案为:20. 【点评】本题考查分层抽样,这是一个每年必考的题目,解题的关键是抽样过程中每个个体 被抽到的概率相等. 12. (5 分) (2011?湖北) (x﹣ 值表示) 【考点】二项式定理. 【专题】计算题. ) 的展开式中含 x 的项的系数为 17 . (结果用数
18 15

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6

【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项,令 x 的指数为 15,求出展开式中含 x 的项 的系数. 【解答】解:二项展开式的通项为 令 得 r=2
15

15

所以展开式中含 x 的项的系数为 故答案为 17 【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题. 13. (5 分) (2011?湖北)在 30 瓶饮料中,有 3 瓶已过了保质期.从这 30 瓶饮料中任取 2 瓶,则至少取到一瓶已过保质期的概率为 【考点】古典概型及其概率计算公式. 【专题】概率与统计.
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. (结果用最简分数表示)

【分析】本题是一个古典概型,试验发生所包含的事件是从 30 个饮料中取 2 瓶,共有 C30 种结果,满足条件的事件是至少取到一瓶已过保质期的,它的对立事件是没有过期的,共有 2 C27 种结果,计算可得其概率;根据对立事件的概率得到结果. 【解答】解:由题意知本题是一个古典概型, 2 试验发生所包含的事件是从 30 个饮料中取 2 瓶,共有 C30 =435 种结果, 满足条件的事件是至少取到一瓶已过保质期的, 2 它的对立事件是没有过期的,共有 C27 =351 种结果, 根据对立事件和古典概型的概率公式得到 P=1﹣ 故答案为: 【点评】本题考查古典概型的概率公式,考查对立事件的概率,在解题时若从正面考虑比较 麻烦,可以从事件的对立事件来考虑.本题是一个基础题. 14. (5 分) (2011?湖北)过点(﹣1,2)的直线 l 被圆 x +y ﹣2x﹣2y+1=0 截得的弦长 则直线 l 的斜率为 ﹣1 或﹣ .
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2

=

=



2

2



【考点】直线与圆相交的性质;直线的斜率. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】设出直线的方程,求出圆的圆心、半径,利用半径、半弦长、圆心到直线的距离, 满足勾股定理,求出直线的斜率即可. 【解答】解:设直线的斜率为 k,则直线方程为:y﹣2=k(x+1) ;圆的圆心坐标(1,1)半 径为 1,所以圆心到直线的距离 d= ,

所以

,解得 k=﹣1 或 k=﹣

7

故答案为:﹣1 或﹣ 【点评】 本题是基础题, 考查直线与圆相交的性质, 考查直线的斜率的求法, 考查计算能力, 常考题型. 15. (5 分) (2011?湖北)里氏震级 M 的计算公式为:M=lgA﹣lgA0,其中 A 是测震仪记录 的地震曲线的最大振幅,A0 是相应的标准地震的振幅,假设在一次地震中,测震仪记录的 最大振幅是 1000,此时标准地震的振幅 A0 为 0.001,则此次地震的震级为 6 级;9 级地 震的最大的振幅是 5 级地震最大振幅的 10000 倍. 【考点】对数的运算性质. 【专题】计算题;压轴题.
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【分析】根据题意中的假设,可得 M=lgA﹣lgA0=lg1000﹣lg0.001=6;设 9 级地震的最大的 振幅是 x,5 级地震最大振幅是 y,9=lgx+3,5=lgy+3,由此知 9 级地震的最大的振幅是 5 级地震最大振幅的 10000 倍. 【解答】解:根据题意,假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是 1000,此时标准地 震的振幅为 0.001, 则 M=lgA﹣lgA0=lg1000﹣lg0.001=3﹣(﹣3)=6. 设 9 级地震的最大的振幅是 x,5 级地震最大振幅是 y, 6 2 9=lgx+3,5=lgy+3,解得 x=10 ,y=10 , ∴ .

故答案为:6,10000. 【点评】本题考查对数的运算法则,解题时要注意公式的灵活运用. 三、解答题(共 6 小题,满分 75 分) 16. (12 分) (2011?湖北)设△ ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 a=1, b=2,cosC= (Ⅰ)求△ ABC 的周长; (Ⅱ)求 cos(A﹣C)的值. 【考点】余弦定理;两角和与差的余弦函数. 【专题】计算题. 【分析】 (I)利用余弦定理表示出 c 的平方,把 a,b 及 cosC 的值代入求出 c 的值,从而求 出三角形 ABC 的周长; (II)根据 cosC 的值,利用同角三角函数间的基本关系求出 sinC 的值,然后由 a,c 及 sinC 的值,利用正弦定理即可求出 sinA 的值,根据大边对大角,由 a 小于 c 得到 A 小于 C,即 A 为锐角,则根据 sinA 的值利用同角三角函数间的基本关系求出 cosA 的值,然后利用两角 差的余弦函数公式化简所求的式子,把各自的值代入即可求出值.
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【解答】解: (I)∵c =a +b ﹣2abcosC=1+4﹣4× =4, ∴c=2, ∴△ABC 的周长为 a+b+c=1+2+2=5.

2

2

2

8

(II)∵cosC= ,∴sinC=

=

=



∴sinA=

=

=



∵a<c,∴A<C,故 A 为锐角.则 cosA=

= ,

∴cos(A﹣C)=cosAcosC+sinAsinC= × +

×

=



【点评】 本题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识, 同时考查学生的基本 运算能力,是一道基础题. 17. (12 分) (2011?湖北)成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别加上 2、 5、13 后成为等比数列{bn}中的 b3、b4、b5. (Ⅰ)求数列{bn}的通项公式; (Ⅱ)数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求证:数列{Sn+ }是等比数列. 【考点】等比关系的确定;等比数列的通项公式;等比数列的前 n 项和. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】 (I)利用成等差数列的三个正数的和等于 15 可设三个数分别为 5﹣d,5,5+d,代
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入等比数列中可求 d,进一步可求数列{bn}的通项公式 (II)根据(I)及等比数列的前 n 项和公式可求 Sn,要证数列{Sn+ }是等比数列

?

即可.

【解答】解: (I)设成等差数列的三个正数分别为 a﹣d,a,a+d 依题意,得 a﹣d+a+a+d=15,解得 a=5 所以{bn}中的依次为 7﹣d,10,18+d 依题意,有(7﹣d) (18+d)=100,解得 d=2 或 d=﹣13(舍去) 故{bn}的第 3 项为 5,公比为 2 由 b3=b1?2 ,即 5=4b1,解得 所以{bn}是以 首项,2 为公比的等比数列,通项公式为
2

(II)数列{bn}的前和

9



,所以



因此{

}是以 为首项,公比为 2 的等比数列

【点评】本题主要考查了等差数列、等比数列及前 n 和公式等基础知识,同时考查基本运算 能力 18. (12 分) (2011?湖北)如图,已知正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面边长为 2,侧棱长为 3 ,点 E 在侧棱 AA1 上,点 F 在侧棱 BB1 上,且 AE=2 ,BF= . (I) 求证:CF⊥C1E; (II) 求二面角 E﹣CF﹣C1 的大小.

【考点】二面角的平面角及求法;空间中直线与直线之间的位置关系. 【专题】计算题;证明题.

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【分析】 (I)欲证 C1E⊥平面 CEF,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证 C1E 与平面 CEF 内两相交直线垂直,根据勾股定理可知 EF⊥C1E,C1E⊥CE,又 EF∩CE=E,满足线面 垂直的判定定理,最后根据线面垂直的性质可知 CF⊥C1E; (II)根据勾股定理可知 CF⊥EF,根据线面垂直的判定定理可知 CF⊥平面 C1EF,而 C1F? 平面 C1EF,则 CF⊥C1F,从而∠EFC1 即为二面角 E﹣CF﹣C1 的平面角,在△ C1EF 是等腰 直角三角形,求出此角即可. 【解答】解: (I)由已知可得 CC1= ,CE=C1F= , 2 2 2 EF =AB +(AE﹣BF) ,EF=C1E= , 2 2 2 2 2 2 于是有 EF +C1E =C1F ,CE +C1E =C1C , 所以 EF⊥C1E,C1E⊥CE.又 EF∩CE=E, 所以 C1E⊥平面 CEF 由 CF?平面 CEF,故 CF⊥C1E; (II)在△ CEF 中,由(I)可得 EF=CF= ,CE= , 2 2 2 于是有 EF +CF =CE ,所以 CF⊥EF, 又由(I)知 CF⊥C1E,且 EF∩C1E=E,所以 CF⊥平面 C1EF 又 C1F?平面 C1EF,故 CF⊥C1F 于是∠EFC1 即为二面角 E﹣CF﹣C1 的平面角 由(I)知△ C1EF 是等腰直角三角形,所以∠EFC1=45°,即所求二面角 E﹣CF﹣C1 的大小 为 45°
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【点评】 本题主要考查了空间直线与平面的位置关系和二面角的求法, 同时考查了空间想象 能力和推理论证的能力. 19. (12 分) (2011?湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一 般情况下,大桥上的车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函 数,当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超 过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/小时,研究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流 密度 x 的一次函数. (Ⅰ)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; (Ⅱ)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆 /小时)f(x)=x?v(x)可以达到最大,并求出最大值. (精确到 1 辆/小时) . 【考点】函数模型的选择与应用;基本不等式在最值问题中的应用. 【专题】应用题. 【分析】 (Ⅰ)根据题意,函数 v(x)表达式为分段函数的形式,关键在于求函数 v(x)在 20≤x≤200 时的表达式,根据一次函数表达式的形式,用待定系数法可求得; (Ⅱ)先在区间(0,20]上,函数 f(x)为增函数,得最大值为 f(20)=1200,然后在区 间[20,200]上用基本不等式求出函数 f(x)的最大值,用基本不等式取等号的条件求出相 应的 x 值,两个区间内较大的最大值即为函数在区间(0,200]上的最大值. 【解答】解: (Ⅰ) 由题意:当 0≤x≤20 时,v(x)=60;当 20<x≤200 时,设 v(x)=ax+b
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再由已知得

,解得

故函数 v(x)的表达式为



(Ⅱ)依题并由(Ⅰ)可得 当 0≤x<20 时,f(x)为增函数,故当 x=20 时,其最大值为 60×20=1200 当 20≤x≤200 时, 当且仅当 x=200﹣x,即 x=100 时,等号成立. 所以,当 x=100 时,f(x)在区间(20,200]上取得最大值 综上所述,当 x=100 时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值为 . ,

即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大值,最大值约为 3333 辆/小时. 答: (Ⅰ) 函数 v(x)的表达式 (Ⅱ) 当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大值,最大值约为 3333 辆/小时.
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【点评】 本题主要考查函数、 最值等基础知识, 同时考查运用数学知识解决实际问题的能力, 属于中等题. 20. (13 分) (2011?湖北)设函数 f(x)=x +2ax +bx+a,g(x)=x ﹣3x+2,其中 x∈R,a、 b 为常数,已知曲线 y=f(x)与 y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线 l. (Ⅰ) 求 a、b 的值,并写出切线 l 的方程; (Ⅱ)若方程 f(x)+g(x)=mx 有三个互不相同的实根 0、x1、x2,其中 x1<x2,且对任 意的 x∈[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x﹣1)恒成立,求实数 m 的取值范围. 【考点】函数与方程的综合运用;函数恒成立问题;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】综合题;压轴题;函数思想;转化思想. 【分析】 (I) 利用曲线 y=f(x)与 y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线 l,可得 f(2) =g(2)=0,f'(2)=g'(2)=1.即为关于 a、b 的方程,解方程即可.
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3

2

2

(II)把方程 f(x)+g(x)=mx 有三个互不相同的实根转化为 x1,x2 是 x ﹣3x+2﹣m=0 的 两相异实根.求出实数 m 的取值范围以及 x1,x2 与实数 m 的关系,再把 f(x)+g(x)< m(x﹣1)恒成立问题转化为求函数 f(x)+g(x)﹣mx 在 x∈[x1,x2]上的最大值,综合在 一起即可求出实数 m 的取值范围. 【解答】解: (I) f'(x)=3x +4ax+b,g'(x)=2x﹣3. 由于曲线 y=f(x)与 y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线 l. 故有 f(2)=g(2)=0,f'(2)=g'(2)=1. 由此得 ,解得 ,
2

2

所以 a=﹣2,b=5..切线的方程为 x﹣y﹣2=0. (II)由(I)得 f(x)=x ﹣4x +5x﹣2,所以 f(x)+g(x)=x ﹣3x +2x. 2 依题意,方程 x(x ﹣3x+2﹣m)=0,有三个互不相等的实根 0,x1,x2, 2 故 x1,x2 是 x ﹣3x+2﹣m=0 的两相异实根. 所以△ =9﹣4(2﹣m)>0,解得 m>﹣ . 又对任意的 x∈[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x﹣1)恒成立, 特别地取 x=x1 时,f(x1)+g(x1)﹣mx1<﹣m 成立, ∵x1 是方程 f(x)+g(x)=mx 的一个根, ∴f(x1)+g(x1)﹣mx1=0,得 m<0. 由韦达定理得 x1+x2=3>0,x1x2=2﹣m>0.故 0<x1<x2. 对任意的 x∈[x1,x2],x﹣x2≤0,x﹣x1≥0,x>0. 则 f(x)+g(x)﹣mx=x(x﹣x1) (x﹣x2)≤0,又 f(x1)+g(x1)﹣mx1=0. 所以 f(x)+g(x)﹣mx 在 x∈[x1,x2]上的最大值为 0. 于是当 m<0,对任意的 x∈[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x﹣1)恒成立, 综上得:实数 m 的取值范围是(﹣ ,0) . 【点评】本题主要考查函数,导数,不等式等基础知识,同时考查综合运用数学知识进行推 理论证的能立,以及函数与方程和特殊与一般的思想. 21. (14 分) (2011?湖北)平面内与两定点 A1(﹣a,0) ,A2(a,0) (a>0)连线的斜率之 积等于非零常数 m 的点的轨迹,加上 A1、A2 两点所成的曲线 C 可以是圆、椭圆或双曲线. (Ⅰ)求曲线 C 的方程,并讨论 C 的形状与 m 值的关系;
12
3 2 3 2

(Ⅱ)当 m=﹣1 时,对应的曲线为 C1;对给定的 m∈(﹣1,0)∪(0,+∞) ,对应的曲线 为 C2,设 F1、F2 是 C2 的两个焦点.试问:在 C1 上,是否存在点 N,使得△ F1NF2 的面积 2 S=|m|a .若存在,求 tan∠F1NF2 的值;若不存在,请说明理由. 【考点】轨迹方程;圆锥曲线的综合. 【专题】计算题;综合题;压轴题;动点型;开放型;分类讨论. 【分析】 (Ⅰ)设动点为 M,其坐标为(x,y) ,求出直线 A1、MA2M 的斜率,并且求出它 们的积,即可求出点 M 轨迹方程,根据圆、椭圆、双曲线的标准方程的形式,对 m 进行讨
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论,确定曲线的形状; (Ⅱ)由(I)知,当 m=﹣1 时,C1 方程为 x +y =a ,当 m∈(﹣1,0) ∪(0,+∞)时,C2 的焦点分别为 F1(﹣a ,0) ,F2(a ,0) ,假设在 C1 上存在 2 点 N(x0,y0) (y0≠0) ,使得△ F1NF2 的面积 S=|m|a ,的充要条件为 ,求出点 N 的坐标,利用数量积和三角形面积公式可以求

2

2

2

得 tan∠F1NF2 的值. 【解答】解: (Ⅰ)设动点为 M,其坐标为(x,y) , 当 x≠±a 时,由条件可得
2 2 2



即 mx ﹣y =ma (x≠±a) , 2 2 2 又 A1(﹣a,0) ,A2(a,0)的坐标满足 mx ﹣y =ma . 当 m<﹣1 时,曲线 C 的方程为
2 2 2

,C 是焦点在 y 轴上的椭圆;

当 m=﹣1 时,曲线 C 的方程为 x +y =a ,C 是圆心在原点的圆; 当﹣1<m<0 时,曲线 C 的方程为 ,C 是焦点在 x 轴上的椭圆;

当 m>0 时,曲线 C 的方程为

,C 是焦点在 x 轴上的双曲线.
2 2 2

(Ⅱ)由(I)知,当 m=﹣1 时,C1 方程为 x +y =a , 当 m∈(﹣1,0)∪(0,+∞)时,C2 的焦点分别为 F1(﹣a ,0) ,F2(a ,0) , 对于给定的 m∈(﹣1,0)∪(0,+∞) ,C1 上存在点 N(x0,y0) (y0≠0) ,使得△ F1NF2 的 2 面积 S=|m|a ,

的充要条件为

由①得 0<|y0|≤a,由②得|y0|= 当 0< ≤a,即
2

, ,或 时,

存在点 N,使 S=|m|a ,

13

当 当 m∈[ x0,﹣y0) , 可得 令 则由

,即 ,0)∪(0,

,或 ]时,由

时,不存在满足条件的点 N. =(﹣a ﹣x0,﹣y0) , =(a ﹣

=x0 ﹣(1+m)a +y0 =﹣ma . =r1,| |=r2,∠F1NF2=θ,
2

2

2

2

2

=r1r2cosθ=﹣ma ,可得 r1r2= =﹣ =|m|a ,即 tanθ=
2

, ,于是由 S=|m|a , ,
2 2

从而 s= r1r2sinθ= 可得﹣ 综上可得: 当 m∈[ 当 m∈(0, 当

, 0) 时, 在 C1 上存在点 N, 使得△ F1NF2 的面积 S=|m|a , 且 tanθ=2; ]时,在 C1 上存在点 N,使得△ F1NF2 的面积 S=|m|a ,且 tanθ=﹣2; 时,不存在满足条件的点 N.
2

【点评】 此题是个难题. 考查曲线与方程、 圆锥曲线等基础知识, 同时考查推理运算的能力, 以及分类与整合和数形结合的思想.其中问题(II)是一个开放性问题,考查了同学们观察、 推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力.

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